7-4 几何法求空间角（精讲）（基础版）（解析版）

7.4几何法求空间角（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一线线角【例1】（2022·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．故选：C．【一隅三反】1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点，连接，，，，由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角的平面角为，又，则，，则，所以，故选：C．2．（2022·全国·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设底面圆心为O，连接PO，OC，取PO的中点E，连接DE，CE，则，且，所以为AB与CD所成的角（或其补角）.由题意知，，所以，所以.由题意知，，，AB，平面POB，所以平面POB.又平面POC，所以平面平面POB，又平面平面，平面POB且，所以平面POC，因为平面POC，所以.又，所以，所以.故选:B.3．（2022·黑龙江）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、,即为异面直线AM与CN所成的角，由已知条件得，则,,由余弦定理得,在△中，有余弦定理可知,即,解得，故选：D.考点二线面角【例2-1】（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥底面边长为2，侧棱长为4，为侧棱中点，则直线与底面所成角的正弦值为（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【解析】作底面与于，连接.因为正四棱锥底面边长为2，故，又侧棱长为4，故.又为侧棱中点，故到底面的距离为.又,由余弦定理有,故直线与底面所成角的正弦值为故选：D【例2-2】（2022·全国·模拟预测（理））如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将棱台补全为如下棱锥，由，，，易知：，，由平面，平面，则，，所以，，故，所以，若到面的距离为h，又，则，可得，综上，与平面所成角，则，即.故选：A【一隅三反】1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝AB，E是BP的中点．(1)求证：EC∥平面APD；(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)如图，取中点，连接.因为是的中点，所以，又，故，所以四边形是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以∥平面(2)取中点，连接，因为，所以，因为平面平面于，所以平面，故是在平面内的投影.所以是与平面所成角.因为四边形中，，所以四边形是直角梯形，又，设，则，在中，易得，所以，，又因为，所以是等腰直角三角形，.所以，故在中，2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点.(1)求证：平面PAD；(2)设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)取PD的中点E，连接EM，AE，则且，而，，则，又，所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故.因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.(2)当N为AE的中点时，面PBD，理由如下：（法一）面ABCD，面ABCD，，又，，平面PAD，所以面PAD，而面PAD，则，又，E是PD的中点，即，而，面ABME，所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N，所以，又，面PBD，所以面PBD，易知：，而，，，即，而，N为AE的中点时，面PBD.作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角，因为，，，则.即直线BN与平面AD所成角的正弦值为.（法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).设，则，，.因为平面PBD，故，可得.，又平面的法向量为，设BN与平面ABCD所成角为，则.即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为.3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，已知三棱台中，点在平面内的射影D在上，，，，M，N分别为、的中点．(1)证明：直线平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：连接，因为，分别为、的中点，所以，又平面，平面，故直线平面.(2)由（1）知，只需要求直线与平面所成角的大小，过作交于，连，，所以，所以四点、、、共面，因为在三棱台中，，因为，所以，所以，因为点在平面内的射影D在上，所以平面，因为平面，所以，因为，且平面，所以平面，即平面，在直角三角形中，，，所以，，在直角三角形中，，则，过作交延长线于点，连接，同样可证平面，且，，所以，所以到平面的距离等于，故即为所求，在中，，故，即直线与平面所成角的大小为，从而直线与平面所成角的大小.考点三二面角【例3-1】（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）四面体中，，则二面角的平面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点A作交于点M，过点M作交于点N，如图，则是二面角的平面角，设，则，在和中，由余弦定理，，所以，故选：C【例3-2】．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.(2)过点作，连接，与，分别交于点，点.因为分别是，的中点，所以，所以，是平面与平面的交线.由是等边三角形，是的重心，知点，点分别是线段，的中点.平面，平面，所以，又，平面，，则平面，所以平面，又平面，于是，，为平面与平面所成二面角的平面角.由等边三角形的边长为，可得，，，，，在中，由余弦定理，得，所以平面与平面夹角的余弦值为.【一隅三反】1．（2022·广东广州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面平面.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)作于，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，则，又因为平面，平面，则，又平面，，则平面；(2)作于，作于，连接，由（1）知平面，平面，则，又面，，则面，又面，则，则即为二面角的平面角.又平面，则，不妨设，则，，又由（1）知平面，平面，则，则，平面，平面，则，则，，则，则，即二面角为.2．（2022·湖南）如图，在三棱锥中，.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）∵，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面⊥平面．取的中点，连接，则，由（1）知平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面.所以.作，垂足为点，连接，因为,平面.所以平面.又平面则，则为二面角的平面角．设，则．由题意得，中，，∴二面角的平面角的正弦值为.3．（2022·江苏·如皋市第一中学）已知矩形，E，F分别是线段中点，底面．(1)若棱上一点G满足，求证：面；(2)若，求二面角的正切值．【答案】(1