7-5 空间向量求空间角（精练）（基础版）（解析版）

7.5空间向量求空间角（精练）（基础版）题组一题组一线线角1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设则，则直线MN，PB所成角的余弦值为故选：D．2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，连接交于点，连接，因为四棱锥为正四棱锥，可得底面，由底面边长为，可得，所以，在直角中，，可得，又由，在直角中，可得，即点在以为圆心，以为半径的圆上，所以当圆与的交点时，此时两点间距离最小，最小值为，以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，可得，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：A.3．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．【答案】【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，，所以可得，所以，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，是棱长为的正方体，、分别是下底面的棱、的中点，是上底面的棱上的一点，，过、、的平面交上底面于，在上，则异面直线与所成角的余弦值为___________．【答案】【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，设点，，，因为，所以，，即点，，，所以，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.题组二题组二线面角1．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体中，，，是棱上的点，且．(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)由，．(2)以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则，，．

设平面的一个法向量为，则，，即，令，则设直线与平面所成角的为，则，所以设直线与平面所成角的正弦值为2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.(1)求到平面的距离；(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为为的中点，，所以，设到平面的距离为h，则到平面的距离为，因为，即，即，得，即到平面的距离.(2)因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则点，，，，.则，，.设平面的法向量为，则由解得.令，则，于是平面的一个法向量为.所以直线与平面所成角的正弦值为.故直线与平面所成角的正弦值为.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝．(1)证明：；(2)点在棱上，且＝，求直线与平面的夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：取的中点，连，，∵为等边三角形，且是边的中点，∴，∵平面底面，且它们的交线为，∴平面，则，∵，且∴平面，∴；(2)由（1）知，面，，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，易求各点坐标如下，则设平面的一个法向量为则令，得平面的一个法向量为4．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)与平面所成的角的正弦值为【解析】(1)因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，E分别是，AB的中点，且.(1)证明：；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）法一：（1），D为BC中点，在直三棱柱中,平面ABC，又AD平面ABC，.又，平面，平面,又平面，.法二:如图建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，则，，，，，，，，（2）法一：由（1）得，平面，设AB=a，由得,.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则，，，，，，设为平面的一个法向量，即令，设与平面所成角为，则法二：，D为BC中点，在直三棱柱中，平面ABC，又AD平面ABC，又，平面，平面,设AB=a，由得，.则，，，，，，，设为平面的一个法向量，，即令，，设与平面所成角为，则.题组三题组三二面角1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，，.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)取的中点为，的中点为，连接，，，因为平面，平面，故，而为等边三角形，，所以，又M、N分别为BE、AB所在棱的中点，所以，又，，所以，，故四边形为平行四边形，所以，则，，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面.(2)由（1）可知，为直线与平面所成角，设，则，，则，解得法一：向量法（通性通法）如图建立空间直角坐标系，则、、∴、设平面的法向量，则，令，解得，，则∵平面，∴是平面的一个法向量∴所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.法二：几何法：延长ED交AC的延长线于S，连接BS，则平面平面由（1）易知，，则，所以平面，又平面，所以，，故为平面与平面所成的锐二面角，又，则，故所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.(1)证明：.(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故(2)由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为；①求三棱锥P-ACE的体积；②求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)①；②【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴.∵，有，且ABCD是直角梯形，∴，即，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面（2）①由（1）易知平面，∴即为直线与平面所成角.∴，∴，则∴.②取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以、、为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，则，，得，取，，得设平面的法向量，则，，取，，，得.∴.所求二面角为锐角，二面角的余弦值为.4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．【答案】(1)(2)不改变，【解析】(1)取的中点为，连接，，因为，，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，又EN∥平面BMD，EN⊂平面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.(2)取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，即.又平面的法向量，所以，即随着值的变化，二面角的大小不变．且.所以二面角的正弦值为.5．（2023·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.(1)求证：平面平面.(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为平面平面，平面平面，平面∴平面又平面，所以又，且∴平面又平面，所以平面平面(2)取的中点O，连接如图：以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则点，，，设平面的法向量则有取,设平面的法向量即，取，可得即平面的一个法向量设二面角大小为，由图知为锐角6．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.(1)证明：AE⊥平面PCD；(2)若，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.【答案】(1)证明