伪噪声序列理论和应用

伪噪声序列理论和应用第1页，共89页，2023年，2月20日，星期三6.1伪噪声序列性质IS-95伪随机序列或伪噪声（PN）序列：数据加扰和扩谱调制随机序列要求：接收机必须可以再生随机序列再生必须和发送端同步用LFSR（n级）生成伪随机序列：初始状态、周期性、零初始、n位2进制数、2n-1第2页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/322n-1最大长度序列：m序列PN序列IS-95扩谱处理增益为m序列基本性质：平衡特性：在PN序列一个完整周期中，“１”的总数目与“0”的总数目相差不超过1游程特性相关特性：一个完整序列和其移位序列相比较，对应比特相同数目总比不同的数目少1第3页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/336.2扩展伽罗瓦域和本原多项式

如何生成扩展域？

PN序列和扩展域之间的关系第4页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/34用n次既约多项式生成扩展域GF（）选择一个n次不可约（既约）多项式：选择符号，代表多项式根：第5页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/353.由的幂次和0构成的集合：

{0，}有个元素，称为扩展域GF（）第6页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/36该扩展域乘法运算规则如下：

（（k+t）/mod（2n-1））加法运算规则如下：根据式将，表示成幂次小于n的多项式：第7页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/37则第8页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/38举例：构成一个扩展域GF（）=GF（8），结果如下表：第9页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/39其中多项式用序列表示：将多项式系数取出，排成序列，反之亦然表中给出了扩展域GF（8）三种表示方法，验证计算，GF（8）中所有元素及计算结果如表6.2所示：第10页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/310第11页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/311第12页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/312本原元:满足最小正整数P：元素阶；（一般地为幂次形式）如果的阶为P，则元素：，，，…，是完全不同的元素

阶：元素所有幂次中完全不同的元素个数第13页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/313如果,n是生成GF（）既约多项式的次数，则称为GF（）的本原元阶计算公式：设

则的阶=GCD（n,k)是n，k最大公约数第14页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/314注意：域GF（）的阶（域中元素个数）与域中元素的阶不同.验证表6.1中的元素的阶第15页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/315本原多项式如果一个n次多项式能够生成个不同元素（包括元素0），则称为本原多项式。或者对于n次既约多项式f(x),如果GF（)的本原元满足f(）=0，则f(x)为本原多项式。本原既约既约本原第16页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/316根据本原多项式构成的线性反馈移位寄存器，可以产生GF（)的所有非零元素。

虽然可以根据公式计算n次本原多项式个数，但是，找出本原多项式却很难，工程实践中，通过查表得到本原多项式。第17页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/317反多项式概念考虑n次既约多项式6.15a则反多项式为6.15b第18页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/318

如果（6.15a)的多项式序列为

则其反多项式

将一个多项式序列反向排列即可得到其反多项式序列。可以证明：本原多项式的反多项式仍为本原多项式。第19页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/319由本原多项式f(x)生成的GF（）中所有非零元素可用线性反馈移位寄存器产生：6.2.3本原多项式线性反馈移位寄存器第20页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/320两种方法（结构）：1、简单式移位寄存发生器（SSRG）寄存器初始装入n元序列（非零矢量）；生成2n-1个矢量，对应GF（2n）中非零序列第21页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3212、模块式移位寄存发生器MSRG最后一级总是反馈到第一级第22页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/322两种结构中：级输出是一个长度为PN序列寄存器初始化矢量（n位）有不同选择产生个不同PN序列两种结构生成PN序列不同两种结构中：n级移位寄存器中装入一个非零n元矢量依时钟作用发生移位寄存器所有状态矢量为GF（2n）所有非零元素第23页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/323两种结构移位寄存器状态变化的矩阵描述1、设为t时刻存储在SSGN（亦称斐波纳契结构）寄存器中数值（输出值），为t+1时刻存储在SSRG寄存器中的数值，根据图6.2，可以写出：若两种结构产生相同序列（可能存在相移），则两种结构对应本原多项式互反；MSRG生成的矢量是初始化矢量的连续幂次；SSRG生成的矢量以任意顺序出现第24页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/324

第25页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/325称为SSRG的特征矩阵第26页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3262、考虑图6.3所示MSRG结构（亦称伽罗瓦结构）其对应变换方程为第27页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/327特征矩阵为：第28页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/328例6.8

设一个既约多项式为。以这个多项式为基础，分别构造SSRG和MSRG来产生PN序列，并列出每一个时钟后序列发生器的状态。第29页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/329在图6.4中给出了两种结构示意图，假设初始矢量为=[001]第30页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/330第31页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/331序列映射多项式，通过多项式计算发现序列变化规律考虑n次本原多项式f(x)构成SSRG，输出序列为：6.2.4相移后PN序列状态矢量变化规律第32页，共89页，2023年，2月20日，星期三*32对应多项式为：可以证明，存在唯一次数小于n二进制多项式g(x),使得：第33页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/333存在个分子多项式；每一个分子多项式对应唯一周期序列特定相移周期为：P=a(x)初始n项：产生特定相移序列的初始条件

第34页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/334进一步研究初始序列的规律设PN序列周期为P，其多项式的表达式为：第35页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/335第36页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/336将序列第一个周期用b(x)表示：则多项式f(x)、g(x)、b(x)次数之间存在关系：(6.20f)第37页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/337（6.20g)确定PN序列第一个周期b(x)尾部“0”个数为：给定本原多项式f(x)：存在（）种g(x)存在（）种b(x)第38页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/338特别地，一定存在g(x)=1,此时

且（6.21a)

序列第一个周期以（n-1)个“0”结尾。？结论重要!!!

第39页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/339序列移位次数和g(x)之间关系：例6.11研究:特征多项式和多项式g(x)产生的PN移位序列。位移，k第一个周期，

011101001=1/f(x)

第40页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3401011101020011101=31001110=40100111=51010011=61101001=第41页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/341可以发现：（6.21b)可以将移位序列与幂次形式分子多项式g(x)(即）联系起来并且，某移位序列可以看成是其它移位序列叠加，如：第42页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/342此外，

第43页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/343一般地，参考序列的任何移位序列看成前（n-1)个移位序列中一个或多个序列和：第44页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3446.3PN序列的线性移位寄存器实现图6.8给出PN序列发生器实现结构：第45页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/345为了生成PN序列用序列起始n比特进行初始化

可以从g(x)计算出来也可以根据初始矢量计算g(x):第46页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/346讨论移位寄存器初始矢量对输出序列影响6.3.1

特定初始化矢量移位寄存器初始化矢量为条件下SSRG各级输出多项式如图所示：第47页，共89页，2023年，2月20日，星期三*47以n-1个零结尾，1是起始位，延迟n-1比特在初始化矢量为条件下，SSRG各级输出多项式如下图所示：第48页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/348在初始化矢量为条件下，MSRG输出多项式如下图所示：第49页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/349在初始化矢量为条件下，MSRG输出多项式如图所示：第50页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/350一般地，MSRG初始矢量和输出序列之间关系为：

输出=

式6.27

MSRG各级输出表达式为：其中，，g(x)是初始状态多项式的逆多项式。第51页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3516.3.3用模板选择序列相移不改变寄存器初始值对寄存器输出进行不同组合产生期望相移序列组合方式由模板矢量确定第52页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/352讨论特殊初始值时相移序列产生方法推广到任何初始值情况设SSRG初始值为(100…..00)则由SSRG各级输出组合得到任何相移序列如下图所示：第53页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/353第54页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/354其中，模板多项式为m(x)生成序列为相对于序列1/f(x)的相移位k的序列。思考：证明上述结论设MSRG初始状态为（10….00)合成1/f(x)序列任意相移序列方法：1、求所需分子多项式第55页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3552、取g(x)/f(x)所确定序列前n项即为模板多项式m(x)：

（式6.31a)

（式6.31b)第56页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/356比较SSRG与MSRG模板表6.16(注意有错)第57页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/357参考序列：1110100SSRG：模板等于分子多项式MSRG：模板等于余式前n比特第58页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3586.3.4任意初始条件下用模板生成移位序列任意初始条件，移位寄存器输出任意相移序列：SSRG与MSRG有不同q值（相同初始条件下）研究：模板取什么值才能得到对于1/f(x）相移k序列？第59页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/359SSRG模板生成k相移序列方法：1、根据分子多项式求SSRG输出相对参考序列相移：如果已知初始化矢量（即输出序列前n项），则（取次数小于n项）

第60页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3602、根据相移k计算模板思考题：试给出针对上述结论的证明（说明）例6.5

求生成相移10序列模板（SSRG）设：F(x)=1+x+x4；初始状态条件10001、由此特殊初始条件，得SSRG输出相移为:

q=(n-1)=3第61页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3612、计算模板：再设，初始状态条件为1001，则第62页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/362第63页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3632、根据反推出q值3、根据q值求出初始化值1001的模板

第64页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3641、根据MSRG的分子多项式求出相对于参考序列的相移q:或者，如果已知初始状态S（X），则先求，再求q,

（初始状态反多项式）MSRG模板生成k相移序列的方法：第65页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/365讨论IS-95中PN序列、长码偏移量使用IS-95基站偏移量模板2、计算MSRG模板第66页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3666.3.4.2IS-95中PN序列IS-95

中三种PN序列：长PN序列（n=42)

:用户数据扰码，以相位区分用户，实现多址访问。两个短PN序列（n=15)：链路波形正交分量进行扩谱，以相位区分小区。第67页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/367将分析实现不同相位模板：1、IS-95长PN码序列特征多项式为

式（3.67a)

式（3.67a)第68页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/368序列的MSRG实现如下图：长码周期：41天（思考：为什么？）第69页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/369IS-95规定：MSRG输出参考序列起始比特为1，之前41比特为零对应模板MSB为“1”，其余为“0”，即：第70页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/370第71页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3711）、模板决定了长PN序列不同相移2）、相移完全不同，在给定时间段，长码片段相同的概率极小2、IS-95短PN码两个短PN码，对前向/后向链路的I、Q分量进行扩谱PN码生成多项式次数n=15第72页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/372I信道PN码特征多项式为：Q信道PN码特征多项式为：CDMA蜂窝系统中，要求PN序列周期为，在参考序列尾部14个零后补“0”第73页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/373I、Q信道PN序列MSRG实现参见下图：第74页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/374IS-95规定两个参考码序列（即零偏移码序列）为：起始比特为1，该比特之前15个比特为零（包括一个附加零），如图：第75页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/375第76页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/376IS-95规定了不同基站的短PN序列必须一样，要求PN码相位必须是64码片的倍数，所以：PN码起始位置最大个数=

IS-95中没有规定基站和移动台如何产生不同相移PN序列。第77页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/377用模板生成特定相位PN序列如下图所示：第78页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/378短PN码模板示例如下图所示：mI0(x)=x6+x10+x11+x13第79页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/379mQ0(x)=1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x11+x14第80页，共89页，2023年，2月20日，星期三2023/4/3806.5最大长度序列上操作6.5.1正交性两个PN序列，不管是用相同的本原多项式还是不同本原多项式产生，它们之间相关都不为0，但通过修改，可使正交。1、一般而言，如果在一个n级线性反馈移存器产生PN序列以及移位序列后添一个0，可以得到对正交序列。第81页，共89页，20