乘法公式综合复习讲义(按知识点)

乘法公式综合复习讲义（按知识点）1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(3)公式的特点：①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)．警误区平方差公式的特征利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了．【例1】利用平方差公式计算．(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)；(2)503分析：(1)可直接运用平方差公式进行计算．(2)题可经过适当变形，把503写成(500＋3),497写成(500－3)，就能利用公式来计算了．解：(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)＝(3b)2－(2＝9b2－4a2(2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250000－9＝249991.解技巧平方差公式的理解和应用要注意辨别因式中哪些相当于公式中的a(完全相同的部分)，哪些相当于公式中的b(符号不同的部分)．2．完全平方公式(1)两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．(3)公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同．析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例2】计算：(1)(4m＋n)2(2)(y－eq\f(1,2))2；(3)(－a－b)2；(4)(－2a＋eq\f(1,2)b)2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2×4m·n＋n2＝(4m)2＋8mn＋n2＝16m2(2)(y－eq\f(1,2))2＝y2－2×y×eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＝y2－y＋eq\f(1,4)；(3)(－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(4)(－2a＋eq\f(1,2)b)2＝(－2a)2＋2×(－2a)×(eq\f(1,2)b)＋(eq\f(1,2)b)2＝4a2－2ab＋eq\f(1,4)b2.3．添括号法则法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例3】填空：(1)(x－y＋z)(x＋y－z)＝[x－()][x＋()]；(2)(x＋y＋z)(x－y－z)＝[x＋()][x－()]．答案：(1)y－zy－z(2)y＋zy＋z4．平方差公式、完全平方公式的推导从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式．(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式．5．添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．解析：左上图的阴影部分的面积为a2－b2，因为右上图为梯形，梯形的高为(a－b)，所以阴影部分的面积为(2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2【例5】利用乘法公式计算：(a＋b＋c)(a－b－c)．分析：可将(a＋b＋c)用添括号变形为[a＋(b＋c)]，再把(a－b－c)变形为[a－(b＋c)]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可．解：(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]＝a2－(b＋c)2＝a2－(b2＋2bc＋c2)＝a2－b2－2bc－c2.6．运用乘法公式解探索规律题解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律．这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．【例6】观察下列各式的规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n行的式子，并证明你的结论．解：第n行的式子为：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.证明如下：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋(n2＋n)2＋n2＋2n＋1＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝(n2＋n＋1)2.乘法公式综合练习一、选择题（每\o"欢迎登陆全品中考网"题5分，共25分）1．下列变形①；②；③；④。其中正确的有几个…………………（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．若a+b=100,ab=48,那么值等于………………（）A．5200B．1484C．5804D．99043．已知a=5,=0,那么-2ab等于……………（）A．50B．25C．-25D．-504．下列各式中计算正确的是…………（）A．B．C．D．5．已知a+b=2,那么的值等于…（）A．6B．5C．3D．2二、填空题（每\o"欢迎登陆全品中考网"题5分，共25分）6．若则的值是_________7．计算=_____________8．计算______9．化简__________10．在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是________（只写一个）三、解答题（每\o"欢迎登陆全品中考网"题10分，共50分）11．计算(1)（２a＋１）－（１－２a）(2）（３x－y）－（２x＋y）＋５x（y－x）.(3)(x+5)2-(x-5)2-(2x+1)(-2x-1)12．已知求（1）：（2）：ab13．若求；214．利用完全平方求下列各式：15．已