【人教A版】高中数学必修4教学同步讲练第二章《向量数乘运算及其几何意义》练习题(含答案)

第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a与λ2a(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1个B．2个C．3个D．4个2．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝2eq\o(BP,\s\up16(→))，则()A.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝03．若eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq\o(CD,\s\up16(→))＝－5e1，且|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．菱形C．等腰梯形 D．不等腰的梯形4．正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up11(→))＝a，eq\o(AC,\s\up11(→))＝c，eq\o(BC,\s\up11(→))＝b，则|a＋b＋c|的值为()A．0B.eq\r(2)C．3D．2eq\r(2)5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up16(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,3)b D．a＋eq\f(1,2)b二、填空题6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．8．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．三、解答题9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up11(→))＝xeq\o(OA,\s\up11(→))＋yeq\o(OB,\s\up11(→))，求x＋y的值．10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up11(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up11(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up11(→))＝－5e－3f.(1)将eq\o(AD,\s\up11(→))用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．B级能力提升1．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．52．若eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq\o(OP,\s\up11(→))＝________(用eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OB,\s\up11(→))表示)．3．已知O，A，M，B为平面上四点，且eq\o(OM,\s\up16(→))＝λeq\o(OB,\s\up16(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up16(→))(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．参考答案第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a与λ2a(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．答案：B2．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝2eq\o(BP,\s\up16(→))，则()A.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝0解析：如下图，因为eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝2eq\o(BP,\s\up16(→))，所以P是线段AC的中点，所以eq\o(PA,\s\up16(→))＝－eq\o(PC,\s\up16(→))，即eq\o(PC,\s\up16(→))＋eq\o(PA,\s\up16(→))＝0.答案：B3．若eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq\o(CD,\s\up16(→))＝－5e1，且|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．菱形C．等腰梯形 D．不等腰的梯形解析：因为eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up16(→))，所以AB∥CD，且|eq\o(AB,\s\up16(→))|≠|eq\o(CD,\s\up16(→))|，而|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：C4．正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up11(→))＝a，eq\o(AC,\s\up11(→))＝c，eq\o(BC,\s\up11(→))＝b，则|a＋b＋c|的值为()A．0B.eq\r(2)C．3D．2eq\r(2)解析：a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝eq\o(AC,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝2eq\o(AC,\s\up11(→))，所以|a＋b＋c|＝|2eq\o(AC,\s\up11(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up11(→))|＝2eq\r(2).答案：D5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up16(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,3)b D．a＋eq\f(1,2)b解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝eq\f(1,3)AB，所以eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)a＋b.答案：A二、填空题6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，又方向相反，所以a＝－eq\f(5,7)b.答案：－eq\f(5,7)7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)8．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.答案：－2三、解答题9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up11(→))＝xeq\o(OA,\s\up11(→))＋yeq\o(OB,\s\up11(→))，求x＋y的值．解：设eq\o(AB,\s\up11(→))＝eq\o(BP,\s\up11(→))，则eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))，则eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＋a(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))＝eq\o(OB,\s\up11(→))(1＋a)－aeq\o(OA,\s\up11(→))所以x＋y＝1＋a－a＝1.10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up11(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up11(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up11(→))＝－5e－3f.(1)将eq\o(AD,\s\up11(→))用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有eq\o(AD,\s\up11(→))＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CD,\s\up11(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为eq\o(AD,\s\up11(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up11(→))，所以eq\o(AD,\s\up11(→))与eq\o(BC,\s\up11(→))同向，且eq\o(AD,\s\up11(→))的长度为eq\o(BC,\s\up11(→))长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．B级能力提升1．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：因为eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0所以eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝0从而有eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝－3eq\o(MA,\s\up11(→))＝3eq\o(AM,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))，故有m＝3.答案：B2．若eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq\o(OP,\s\up11(→))＝________(用eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OB,\s\up11(→))表示)．解析：eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))，eq\o(OP,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝t(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))，eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→))－teq\o(OA,\s\up11(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→)).答案：(1－t)eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→))3．已知O，A，M，B为平面上四点，