动量与角动量

动量与角动量1第1页，共45页，2023年，2月20日，星期三§3.1冲量，动量，质点动量定理§3.2质点系动量定理§3.3动量守恒定律§3.4变质量系统、火箭飞行原理§3.5质心§3.6质心运动定理§3.7质点的角动量§3.8角动量守恒定律§3.9质点系的角动量§3.10质心系中的角动量定理前言本章目录2第2页，共45页，2023年，2月20日，星期三前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）…散射3第3页，共45页，2023年，2月20日，星期三§3.1冲量，动量，质点动量定理定义：力的冲量（impulse）—质点的动量（momentum）—质点动量定理：（微分形式）（积分形式）（theoremofmomentumofaparticle）4第4页，共45页，2023年，2月20日，星期三平均冲力[例]已知：一篮球质量m=0.58kg，

求：篮球对地的平均冲力解：篮球到达地面的速率从h=2.0m的高度下落，到达地面后，接触地面时间t=0.019s。FFto

t速率反弹，以同样5第5页，共45页，2023年，2月20日，星期三船行“八面风”6第6页，共45页，2023年，2月20日，星期三演示逆风行舟(KL011)帆v1v2v1v2Δv风

F风对帆

F横

F进

F横

F阻龙骨F帆对风Δv7第7页，共45页，2023年，2月20日，星期三

§3.2质点系动量定理（theoremofmomentumofparticlesystem）Fipi

fji

fij为质点i受的合外力，········i

j质点系

为质点i受质点j的内力，为质点i的动量。对质点i

：对质点系：由牛顿第三定律有：8第8页，共45页，2023年，2月20日，星期三所以有：令则有：或质点系动量定理（微分形式）—质点系动量定理（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。9第9页，共45页，2023年，2月20日，星期三

§3.3动量守恒定律这就是质点系的动量守恒定律。即几点说明：

1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。

2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间改变。（lawofconservationofmomentum）10第10页，共45页，2023年，2月20日，星期三

4.若某个方向上合外力为零，

5.当外力<<内力

6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。量守恒，且作用时间极短时（如碰撞），可认为动量近似守恒。的定律，它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析过程、系统切惯性系中均守恒。3.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一和条件。11第11页，共45页，2023年，2月20日，星期三

▲粘附—主体的质量增加（如滚雪球）

▲抛射—主体的质量减少（如火箭发射）低速（v

<<c）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。§3.4变质量系统、火箭飞行原理（自学书§3.4和本电子教案）这是相对论情形，不在本节讨论之列。以随速度改变—m=m(v)，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（v

c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可12第12页，共45页，2023年，2月20日，星期三条件：燃料相对箭体以恒速u喷出初态：系统质量M，速度v(对地)，动量Mv

一.火箭不受外力情形（在自由空间飞行）1.火箭的速度系统：火箭壳体+尚存燃料总体过程：i(点火)f(燃料烧尽)先分析一微过程：

tt+dt末态：喷出燃料后喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度(对地)：v-uvu13第13页，共45页，2023年，2月20日，星期三火箭壳体+尚存燃料的质量：M-dm系统动量：

(M-dm)(v

+dv)+-dM(v

-u)

火箭壳体+尚存燃料的速度(对地)：v

+dv由动量守恒，有

Mv

=-dM(v

-u)+(M-dm)(v

+dv

)经整理得：Mdv

=-udM速度公式：14第14页，共45页，2023年，2月20日，星期三引入火箭质量比：得讨论：提高vf的途径

(1)提高u（现可达u=4.1km/s）

(2)增大N（受一定限制）为提高N，采用多级火箭（一般为三级）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3

资料：长征三号（三级大型运载火箭）全长：43.25m，最大直径：3.35m，起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。15第15页，共45页，2023年，2月20日，星期三t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量

2.火箭所受的反推力研究对象：喷出气体dmt时刻：速度v(和主体速度相同)，动量vdmF箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为16第16页，共45页，2023年，2月20日，星期三二.重力场中的火箭发射

可得t时刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度g的变化，

Mt：t时刻火箭壳和尚余燃料的质量17第17页，共45页，2023年，2月20日，星期三rc§3.5质心（centerofmass）一.质心的概念和质心位置的确定×C······mi·z·ri

yx0定义质心C的位矢为：质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。18第18页，共45页，2023年，2月20日，星期三二.几种系统的质心●两质点系统m2m1··×r1r2C

m1r1=m2r2●连续体×rrcdmC0m

zx

y……19第19页，共45页，2023年，2月20日，星期三R●“小线度”物体的质心和重心是重合的。[例]如图示，

CxC

O″r

O′rddx

y

O均质圆盘求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心C应在x轴上。解：令为质量的面密度，则质心坐标为：挖空

·●均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。20第20页，共45页，2023年，2月20日，星期三

§3.6质心运动定理（theoremofmotionofcenterofmass）一.质心运动定理rcCvc×······mi·z·ri

yx0vi即质点系的总动量是质点系的“平均”速度21第21页，共45页，2023年，2月20日，星期三由—质心运动定理有拉力纸·C×球往哪边移动？该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，的外力。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓“物体”的运动，思考演示质心运动(KL005)22第22页，共45页，2023年，2月20日，星期三系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的扳手，▲做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但▲爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：其质心做匀速直线运动23第23页，共45页，2023年，2月20日，星期三若合外力为零，二.动量守恒与质心的运动质点系动量守恒若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则相应的质心分速度不变24第24页，共45页，2023年，2月20日，星期三

1.质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动——三.质心（参考）系（frameofcenterofmass）25第25页，共45页，2023年，2月20日，星期三2.质心系的基本特征质心系是零动量参考系。m1v10m2v20··m1v1m2v2质心系中看两粒子碰撞等值、反向的动量。两质点系统在其质心系中，总是具有26第26页，共45页，2023年，2月20日，星期三

§3.7质点的角动量（angularmomentumofaparticle）一.质点的角动量角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。

LmO

pr·

质点m对惯性系中的固定点O的角动量定义为：单位：kgm2/s大小：方向：决定的平面（右螺旋）27第27页，共45页，2023年，2月20日，星期三LRvm·O

质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为方向圆面不变。L=mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。例如：方向变化方向竖直向上不变OlO锥摆m28第28页，共45页，2023年，2月20日，星期三二.质点的角动量定理，力矩由有：定义力对定点O的力矩(momentofforce)

为：FMr·Om称力臂r029第29页，共45页，2023年，2月20日，星期三于是有质点角动量定理或积分质点角动量定理称冲量矩——力矩对时间的积累作用。（积分形式）（微分形式）30第30页，共45页，2023年，2月20日，星期三例锥摆的角动量对O点：合力矩不为零，角动量变化。对O点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）OlO锥摆m31第31页，共45页，2023年，2月20日，星期三zFrO·平面

z轴FF//MMzr//rrrsin三.质点对轴的角动量

1.力对轴的力矩把对O点的力矩向过O点的轴（如z轴）投影：——力对轴的力矩。32第32页，共45页，2023年，2月20日，星期三2.质点对轴的角动量——质点对轴的角动量3.对轴的角动量定理即——质点对轴的角动量定理rsin

prrO·z33第33页，共45页，2023年，2月20日，星期三——质点角动量守恒定律

§3.8角动量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）OmvF·L（中心力）r（1）mvrsin=const.，（2）轨道在同一平面内。34第34页，共45页，2023年，2月20日，星期三

角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：（书161页例3.16）—

质点对轴的角动量守恒定律

角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。rvFrLvSm演示质点在有心力作用下运动(KL014)离心节速器(KL018)35第35页，共45页，2023年，2月20日，星期三▲

星云具有盘形结构：pc—秒差距，1pc=3.0861016m旋转的星云36第36页，共45页，2023年，2月20日，星期三星球具有原始角动量v·r星球所需向心力：引力不能再使r减小

。可以在引力作用下不断收缩。粗略的解释：r0v0·zm引力使r到一定程度

r就不变了，但在z

轴方向却无此限制，可近似认为引力：37第37页，共45页，2023年，2月20日，星期三§3.9质点系的角动量质点系的角动量（自己证）—质点系角动量定理于是有：38第38页，共45页，2023年，2月20日，星期三

——质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？思考▲

脉冲星的角动量守恒时间间隔：1s脉冲星的精确周期性信号周期约1.19s39第39页，共45页，2023年，2月20日，星期三星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：如此推算，脉冲星的超过了白矮星密度。这说明，脉冲星是高速旋转的中子星。40第40页，共45页，2023年，2月20日，星期三例一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1

，碰撞时重力和轴力都通过O，解