线性方程与常数变易法课件

§2.2线性方程与常数变易法

/LinearODEandvariationofconstantsMethod/本节要求/Requirements/

熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。

了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。内容提要/ConstantAbstract/一、一阶线性微分方程/First-OrderLinearODE/………………(2.2.1)的方程称为一阶线性微分方程(即关于是线性的)其中

为x的已知函数。当

时，称为齐次线性方程;

当

时，称为非齐次线性方程。

形如一般形式…………(2.2.2)§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod得因为为(2.2.2)的解,所以其通解为:

…….…(2.2.3)其中c为任意常数。

满足初始条件

的解是…..(2.2.3)’§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod由公式(2.2.3)’得，所求特解为:由公式(2.2.3)得，所求通解为：解例1的通解,并求满足条件的特解试求微分方程§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod（2）非齐次线性方程/Non-HomogenousLinearODE/采用常数变易法求解设想方程

有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数

即设….(2.2.4)

……………(2.2.3)方程的解。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod上式代入方程(2.2.1)，得:即:积分得:

§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod代入(2.2.4)………..(2.2.5)得:同时，方程满足初始条件的特解为:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程特解。非齐次线性方程通解的结构：

通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。由(2.2.5)得:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod一阶非齐线性微分方程的通解或例2

解1)先求对应的齐次方程通解

2)用常数变易法求方程通解

设是方程的解，代入原方程，得§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod有时方程关于x

为y

的函数，方程关于于是仍可以根据上面的方法求解。注意:

不是线性的，但如果视是线性的，§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod解方程可以改写为:练习故通解为:即:§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod二、可化为线性方程的方程1伯努利方程/BernoulliODE/2*黎卡提方程/RiccatiODE/§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例4将方程改写为:解故§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod2黎卡提方程

/RiccatiODE/形如

的方程称为黎卡提方程。特点:在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod由观察看出是方程的一个特解，于是令，则得

解故原方程的通解为例5§2.2

LinearODEandvariationofconstantsMethod例6试求形如的特