数学建模中的模型求解课件

数学建模中的模型求解主讲人：数理系李璐数据处理规划问题每年的赛题在变化，方法的使用也有很大的不确定性，但纵观历史赛题，这些赛题又有很多的共性。主要体现在模型的分类上。相同类别的模型其求解方法有很多相似之处。模型问题分类可用的数学方法CUMCM典型问题预测类问题拟合、回归、插值、神经网络、灰度预测、小波分析等2003A、2005A、2007A连续性优化问题拟合、回归、插值、微分、求极值2002A、2008、2009A离散型优化问题目标规划模型2002B、2003B、2004A、2004B、2005B、2006A、2007B、2009B

数据处理数据处理是数学建模的基础，通常遇到的问题是对采集到的数据进行处理和分析，从而得到这些数据所反映的信息。本质是，将数据反映的信息转换为数学表达式。数据量较大时，MATLAB的数据处理优势更加明显。数据量较大时，MATLAB的数据处理优势更加明显。数据处理趋势分析数据函数表达式2007年电工杯全国数学建模竞赛供水量数据最简单、常用的方法插值和拟合MATLAB中的ExcelLink工具插件用户可以不脱离Excel环境，在Excel工作表空间和宏编辑工具中使用MATLAB的数值计算和图形处理功能，并且实现两个工作环境的数据交换和同步更新。具体步骤：步骤1：在目录MATLAB\toolbox\exlink文件夹下找到excllink.xla文件，双击；步骤2：在Excel中多了一个ExcelLink工具条，即可交互使用应用实例1.2数据拟合曲线拟合也成为曲线逼近，与插值函数有些区别，只要求拟合的曲线能合理地反映数据的基本趋势，并不要求曲线一定通过数据点。曲线拟合有几种不同的判别准则，如使偏差的绝对值之和最小、使偏差的最大绝对值最小和使偏差的平方和最小（即最小二乘法）。常用的方法是最后一种。曲线拟合工具箱1.3数据预测在数学建模中经常会遇到数据的预测问题年度类别题目2003A题SARS的传播问题2005A题长江水质的评价和预测问题2006B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题2007A题中国人口增长预测问题灰色模型预测结果比较稳定，不仅适用于大数据量的预测，在数据量较少时(大于3)预测结果也较准确。人工神经网络1.3.1灰色模型的数学理论灰色系统认为：系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰度预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物的未来发展趋势。最常用GM模型单序列一阶线性微分方程模型基本步骤（1）原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性，得到新数据序列：其中：中各数据表示对应前几项数据的累加。（2）对建立的一阶线性微分方程：其中：a,u为待定系数只要求出参数a,u，就能求出，从而求出的未来预测值。(5)将灰参数代入进行求解，得由于是通过最小二乘法求出的近似值，所以是一个近似表达式。(6)对函数表达式和进行离散化，并将二者做差得到灰色模型的MATLAB程序(1)对原始数据进行累加。(2)构造累加矩阵B与常数向量Y。(3)求解灰参数。(4)将参数带入预测模型进行数据预测。实例：已知某公司1999-2008年的利润(单位：元/年)：[89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670]，预测该公司未来几年的利润情况。MATLAB程序图形1.3.2人工神经网络人工神经网络基本理论人脑中大约有1000多亿个神经元。人脑结构错综复杂使得从人脑科学中抽象出来的人工神经网络具有信息并行处理的能力、自学习能力和推理能力。人工神经网络是由大量简单的基本元件---神经元相互连接，通过模拟人的大脑神经处理信息的方式，进行信息并行处理以及自学习能力。前向反馈(backpropogation,BP)网络和径向基(radicalbasisfunction,RBF)网络是目前技术最成熟、应用范围最为广泛的两种网络。BP算法核心负梯度下降网络的调整方向总是沿着误差下降最快的方向进行常见三层BP网络权值和阈值调整公式：MATLAB神经网络工具箱网络创建函数：神经元激励函数：网络学习函数：网络训练函数：性能函数：newff常使用S型对数或者正切函数和线性函数梯度下降权值、阈值学习函数梯度下降BP算法训练函数mse均方误差性能函数net=newffnet=newff(PR,[S1S2…SN],{TF1TF2…TFN},BTF,BLF,PF)PR:每组输入元素的最大值和最小值组成的R×2矩阵；Si：第i层的长度，共计N层；TFi：第i层的激励函数，默认为‘tansig’；BTF：网络的训练函数，默认为‘trainlm’；BLF：权值和阈值的学习算法，默认为‘learngdm’；PF：网络的性能函数，默认为‘mse’；输入神经元个数激励函数logsigS型的对数函数n=-8:0.1:8;a=logsig(n);plot(n,a)使用算法为绘制激励函数logsigtansig为双曲正切S型激励函数使用算法为绘制双曲正切S型激励函数n=-5:0.1:5a=tansig(n)plot(n,a)BP网络的输出量为0-1或者-1—1之间的连续值。如果在网络学习过程中，实际输出样本值远远超出该区间，需要对训练样本进行预处理，否则神经网络无法收敛或学习速度慢构建神经网络时的注意事项(1)神经元节点数输入节点数m：实际问题的维数，与网络性能无关隐含层节点数l：目前没有统一的规范，常使用经验公式

a为1-10之间的常数输出节点数n：实际问题的维数(2)数据预处理和后期处理归一化处理：将每组数据都变成-1---1之间的数，可用函数premnmx，也可直接利用公式premnmx函数[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt]=premnmx(p,t)P为R×Q维输入矩阵(R:输入神经元节点数,Q：每个神经元的长度)t为S×Q维目标矩阵(S:输出神经元节点数,Q：每个神经元的长度)pn为标准化后的R×Q维输入矩阵,tn为标准化后的S×Q维目标矩阵minp为R×1维包含p的每个分量最小值的向量,maxp为R×1维包含p的每个分量最大值的向量mint为S×1维包含t的每个分量最小值的向量,maxt为S×1维包含t的每个分量最大值的向量函数使用算法应用实例：公路运量预测公路运量主要包括公路客运量和公路货运量两个方面。据研究，某地区的公路运量主要与该地区的人数、机动车数量和公路面积有关，下表给出了某地区20年的公路运量相关数据。根据相关部门数据，该地区2010年和2011年的人数分别为73.39和75.55万人，机动车数量分别为3.9635和4.0975万辆，公路面积分别为0.9880和1.0268万平方千米。请