7-2 空间几何中的垂直（精练）（基础版）（解析版）

7.2空间几何中的垂直（精练）（基础版）题组一题组一线线垂直1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：【答案】证明见解析；【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点，连，，∵为等边三角形，且是边的中点，∴，∵平面底面，且它们的交线为，∴平面，则，∵，且∴平面，∴；3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面．证明：【答案】证明见解析；【解析】证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上．(1)求四棱锥的全面积；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴,同理可得,∴.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：；(2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∵，D是BC中点，∴，∵底面侧面，交线为BC，∴侧面，又∵侧面，∴；(2)证明：取中点E，连接DE，ME，在中，D，E分别是BC，的中点，∴且又且，∴且，∵，∴且，∴四边形AMED是平行四边形，∴，由（1）知面，∴侧面，又∵面，∴面侧面．6．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为的中点，，．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：如图所示，连接，因为平面平面，且，为AB的中点，所以，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，，所以，，且，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：设，点到平面的距离为，由（1）知平面，所以，所以，因为，即，所以，解得，即点到平面的距离为.7．（2022·河南安阳）如图，在三棱锥中，底面ABC是直角三角形，，，D为AB的中点．(1)证明：；(2)若，，求点A到平面PDC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：取中点，连接，，因为底面是直角三角形，，所以，因为D为AB的中点，所以，所以，又，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以.(2)连接，，由（1），因为，，，所以，因为，所以，又，所以，即，因为，，，平面，所以平面，所以，因为是的中点，所以，因为直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，所以，所以在等腰中，边上的高为，所以，设点A到平面PDC的距离为，因为，所以，则，所以点A到平面PDC的距离为.8．（2022·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．(1)求证：；(2)求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为在底面内的射影为，所以面面，又因为，面面，面所以面，又因面因此，同理，又,面,面所以面，又面,所以，连接，易得，，又，故，又,面,面因此面，又面即；(2)在中.在中.把到平面的距离看作三棱锥的高h，由等体积法得，，故，即，故到平面的距离为．题组二题组二线面垂直1．（2022·广东珠海）如图，在三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面为菱形，求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.2．（2022·山东省莱西市第一中学）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：（1）取的中点，连接，，∵是的中点，∴，，∵和都垂直于平面，∴，∵，∴，，∴四边形为平行四边形，从而，∵平面，平面，∴平面．(2)证明∵垂直于平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，由（1）可知：，∴平面．3．（2022·山东菏泽）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.(1)若F为PA的中点，求证平面PCD(2)求证平面PCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD(2)因为，F为PA中点，所以，则，因为，平面PCD，所以平面PCD.4．（2022·北京平谷）如图，在三棱锥中，底面，，分别为，的中点.设平面与平面交于直线(1)求证：平面；(2)求证：∥.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)因为平面，平面，所以.

因为，，所以平面.(2)在中，因为，分别为，的中点，所以.

因为平面，平面，所以平面.

因为平面与平面交于直线，所以∥.5．（2022·北京通州）如图，在三棱维中，，平面平面.(1)求证：；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)在三棱维中，因，，平面，于是得平面，而平面，所以.(2)在平面内过点A作于，如图，因平面平面，平面平面，则有平面，而平面，于是得，由（1）知，，平面，所以平面.6．（2022·广西钦州）如图，在三棱锥V—ABC中，M，N分别为的棱VA，VB的中点，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．(1)求证：AB//平面CMN；(2)求证：AB⊥平面VBC．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，所以，又平面CMN，平面CMN，所以AB//平面CMN；(2)证明：因为，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，所以，因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC，平面VAC，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面.7．（2022·广东江门）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．(1)求证：平面；(2)当为何值时，使得？【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又侧面是正三角形，E为侧棱的中点，所以，因为，，，所以平面；(2)设的中点为，连接，则，又平面平面，平面平面，所以平面，所以是在平面上的射影，要使得，只需要，在矩形中，设，由，可知，又，所以，所以，所以，即，所以，所以，所以当为何值时，使得8．（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.∵M，F分别是PC，PB的中点，∴，.∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴，，∴，，∴四边形DEFM为平行四边形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵四边形ABCD为正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.连接AF，∵，F为PB中点，∴.又，AD，平面DEF，∴PB⊥平面DEF.9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点P，使得平面？说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为的中点，理由见解析.【解析】(1)由题知，平面平面，且交线为，因为平面，所以平面，又平面，故，因为M为半圆弧上异于C，D的点，且为直径，所以，又，且、平面，所以平面；(2)当P为的中点时，平面，证明如下：连接和交于O，因为为矩形，所以O为中点，连接，因为P为中点，所，又平面，平面，所以平面.10．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线平面ADF；(2)求证：直线平面ADF；(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【解析】(1)证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，所以，又，平面，所以平面；(2)证明：依题意可得且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；(3)证明：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，过点作，交于点，若选①，，，所以，所以，此时，所以如图过点作交的延长线于点，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，显然平面与平面不垂直；若选②：，则，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若选③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；题组三题组三面面垂直1．（2022·四川省内江市第六中学）如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.(1)求证：平面平面；(2)求几何体的体积【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：因为是边长为2的菱形，，所以和都是边长为2的正三角形，因为平面，所以、，又因为与平面所成的角为，所以，所以，取中点，连接、，又因为，，所以四边形为矩形，于是平面，，，又因为，取中点，连接、，因为，所以，因为，所以，所以为平面与平面构成二面角的平面角，又因为，，，所以，所以，所以平面平面．解：因为平面平面所以平面平面设的中点，连接，有因为平面平面所以面，即是四棱锥B-CDEF的高易求

所以2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，，证明：平面⊥平面；【答案】证明见解析【解析】由题设条件可知，∵四边形为正方形∴∵E，F分别为BC，的中点∴∴又∵∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.3（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明详见解析(2)【解析】(1)由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.(2)依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以.过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以.4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．(1)证明：平面平面．(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接.三棱柱中，，．则，则，则，∴，又∵，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）取AB的中点D，连接CD，∵，∴，又由（1）知平面平面，平面平面则平面，且．则三棱锥的体积为，则三棱柱的体积为6，∵，∴在四边形中，，又∵四棱锥的体积为，∴三棱锥的体积为．5．（2022·福建龙岩）如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)连接交于，连接，易得为中点，又为线段的中点，则，又平面，平面，则平面；(2)由余弦定理得：，即，则，则，平行四边形为矩形，则，又平面平面，平面平面，平面，