高中导数练习题

PAGEPAGE10导数【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例1．是的导函数，则的值是 ．[解答过程]例2.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[解答过程]由综上可得MP时,例3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.故选A.例4.已知两抛物线,取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即①曲线在点Q的切线方程是即②若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得，消去得方程，若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为.考点3导数的应用1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例5．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个[解答过程]由图象可见,在区间（a,b）内的图象上有2个极小值点.故选B.例6.设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．、随的变化情况如下表—0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.典型例题例8.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。一、选择题1.y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于()A.0 B.1 C.－1 D.22.经过原点且与曲线y=相切的方程是()A.x+y=0或+y=0 B.x－y=0或+y=0C.x+y=0或－y=0 D.x－y=0或－y=03.设f(x)可导，且f′(0)=0,又=－1,则f(0)()A.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值C.一定是f(x)的极小值 D.等于04.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为()A.0 B.1 C. D.5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处()有极大值B、无极值C、有极小值 D、无法确定极值情况6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=()A、B、C、 D、7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是()A、300B、450C、6008.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是()A、（0，1）B、（-∞，1）C、（0，+∞）D、（0，）9.函数y=x3-3x+3在[]上的最小值是()B、1 C、 D、510、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则()A、c≠0B、当a>0时，f(0)为极大值C、b=0D、当a<0时，f(0)为极小值11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中()A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素二、填空题13.若f′(x0)=2,=_________.14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.三、解答题17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.20.求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=.21.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=.(1)求f(α)·f(β)的值；(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)==－1及y′(B)=,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.答案：A3.解析：由=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1.答案：D5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=(这时)答案：－114.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案：n!15.解析：函数的定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,①若a＞1,则当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.②若0＜a＜1,则当x＞时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.答案：(－∞,－2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为S=x·h=从而.令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h(0,R)R(,2R)S′+0－S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.答案：R三、17.解：由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.由x≠0,知x0=,∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.∴l方程y=－x切点(，－).18.,令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=,在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，.∴.19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,,∴切线方程,令y=0，则x=2x0令x=0，则.∴.20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,(2)两端取对数，得ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),两边解x求导，得21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开1.4m时，t0=,又s′=－(25－9t2)·(－9·2t)=9t,所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1=.23.解：f′(x)=3ax2+1.若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此时f(x)恰有三个单调区间.∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，单调增区间为(－,).24.解：f′(x)=+2bx+1,由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞al