2023年中考数学一轮专题复习（培优篇） 二次函数（含解析）

2023年中考数学一轮专题复习（培优篇）：二次函数一、综合题1．如图，抛物线的顶点P（m，1）（m＞0），与y轴的交点C（0，m2+1）．（1）求抛物线的解析式（用含m的式子表示）（2）点N（x，y）在该抛物线上，NH⊥直线y＝34于点H，点M（m，5①求证：△MNH是等边三角形；②当点O、P、N在同一直线上时，求m的值．2．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，经过点B的函数图象的一部分（自变量大于0）记为G1，将G1沿y轴对折，再向下平移两个单位长度得到的图象记为G2，图象G（1）若G1:y=1(x>0)，则OB的长度为：（2）若G1:y=−1①则图象G2的函数关系式为：▲②点A、A'关于y轴对称且AA'=8，当G③设G在−4⩽x⩽2上最高点的纵坐标为y0，当32⩽3．已知：抛物线y=kx（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点且A、C两点关于y轴对称，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；（3）过点A作AD∥BP交y轴于点D，求到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标．4．如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．（1）线段AB与AC的数量关系是，位置关系是．（2）当t=2时，求CF的长；（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.6．如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，3）时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．7．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证:四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线y=−3（3）如图3，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC．抛物线还满足：①a<0,ab≠0,c=2；②顶点D在以AB为直径的圆上.点P(x0,y8．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”（1）点A（2，6）的“坐标差”为；（2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”；（3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+Ax+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值。9．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣14x2（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．11．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y=﹣x+3．（1）求该二次函数的关系式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求m的值；（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的2313．如图，已知二次函数y=ax2−53x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+114．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．15．给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，这个点的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点.（1）一次函数y=3x−2的不变点的坐标为.（2）反比例函数y=1x的不变点的坐标为（3）二次函数y=x2−3x+1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转900得到点（4）如图，已知函数y=x2−x−3的两个不变点的坐标为A（-1，-1），B（3，3）.设抛物线与线段AB围成的封闭图形记作M.点C为一次函数y=−13x+m的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE.当16．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.（1）求抛物线的解析式.（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标.（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.

答案解析部分1．【答案】（1）解：设抛物线解析式是y＝a（x﹣m）2+1（a≠0），将C（0，m2+1）代入，得a（0﹣m）2+1＝m2+1解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝（x﹣m）2+1；（2）解：①根据题意知，NH＝y﹣34NM＝(x−m)2+(y−54)2则NM＝NH．又因为∠NMH＝60°，所以△MNH是等边三角形；②由①知，△MNH是等边三角形．则yM＝12yN，即54＝12y．故yN由于点N（x，52）在抛物线y＝（x﹣m）2∴（x﹣m）2+1＝52所以点N的坐标是（x，（x﹣m）2+1）．设直线OP的解析式是y＝kx（k≠0）．把P（m，1）（m＞0）代入，得mk＝1．解得k＝1m故该直线方程是y＝xm把N（x，（x﹣m）2+1）代入，得（x﹣m）2+1＝xm②②联立方程组，解得m＝632．【答案】（1）1（2）解：①y=−12x2−mx−1 (x<0)；②由①得：G1的对称轴为x=m，A点在第一象限，AB⊥y轴于点B，∴m>0，由点A、A'关于y轴对称且AA'=8，知：点A、A'的横坐标分别为4、-4，∵G2与线段AA'只有一个公共点，且G2开口向下，则此点为G2的顶点，∵G2的顶点坐标为(−m，12m2−1)，∴12m2−1=13．【答案】（1）解：∵抛物线y=kx∴k2+k＝0，解得：k＝0（舍去），k＝﹣1，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+23x，∴y＝﹣x2+23x，＝﹣（x﹣3）2+3，∴顶点B的坐标是（3，3），答：抛物线的解析式是y＝﹣x2+23x，顶点B的坐标是（3，3）（2）解：当y＝0时﹣x2+23x＝0，解得：x1＝0，x2＝23，∴A的坐标是（23，0），A关于y轴的对称点C的坐标是C（﹣23，0），设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B（3，3），C（﹣23，0）代入得：3=3解得：k=3∴直线BC的解析式是y＝33当x＝0时，y＝2，∴点P的坐标是（0，2），答：点P的坐标是（0，2）．（3）解：∵A、C关于y轴对称，P在Y轴上，∴AP＝CP，∵∠CAP＝∠ACP，x轴⊥y轴，∴y轴是∠APC的角平分线，即y轴上任意一点到AP、CP的距离都相等，∵AD∥PC，∴∠DAC＝∠ACP，∴∠DAC＝∠CAP，∴x轴是∠DAP的角平分线，即x轴上任意一点到AP、AD的距离都相等，∴x轴与y轴的交点O到AP、AD、CP距离相等，∴点的坐标是（0，0），如图，∠DAP的外角∠EAP的平分线和∠CPA的外角∠FPA的平分线的交点M也符合要求，根据作图条件能得到矩形MAOP，即点M的坐标是（23，2），到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（23，2），答：到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（23，2）．4．【答案】（1）解：∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，∵AB=2AC，∠BAC=90°，∴AB⊥AC．（2）解：由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，∴CFOA∵AB=2AM=2AC，∴CF=12OA=1当t=2时，CF=1；（3）解：由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，∴AFOB∴AF=12OB=2，∴∵点C落在线段BD上，∴△DCF∽△DBO，∴CFOB即12整理得t2+4t-16=0解得t=25-2或t=-25-2（不合题意，舍去）∴当t=25-2时，点C落在线段BD上．此时，CF=12t=5OF=t+2=25，∴点C的坐标为（25，-1+5）；（4）解：①当0＜t≤8时，如题图1所示：S=12BE•CE=12（t+2）•（4-12t）=-14t②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=12S=12BE•CE=12（t+2）•（12t-4）=12t③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．5．【答案】（1）解：在y=12x+2中，令y=0，得x=4，令∴A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入y=1c=2−1∴抛物线得解析式为y=（2）解：如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F∵BE//x轴，∴∠BAC＝∠ABE∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE∴∠DBE＝∠ABE∴∠DBE＝∠BAC设D点的坐标为(x，−12∵tan∠DBE=DFBF∴DFBF解得x1＝0当x＝2时，−∴点D的坐标为(2，3)（3）解：当BO为边时，OB//EF，OB＝EF设E(m，−EF=|(−解得m当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OF//AB，直线y=12x交抛物线于点求得直线EF解析式为y=直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为−22−2∴E点的坐标为(2，1)或(2−22，1+2)或(2+26．【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，3）在抛物线上，∴a+b+c=09a−3b+c=0c=3∴抛物线的函数解析式为y=﹣33x2﹣23（2）解：DG=DE．理由如下：设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将A（1，0），C（0，3）代入，解得y=﹣3x+3；设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，解得y=33x+3∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，又∵点G、D、E均在对称轴上，∴G（﹣1，23），D（﹣1，433），E（﹣1，∴DG=23﹣433=233，DE=43∴DG=DE；（3）解：若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，3）；②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，433），M5与M综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，3），（﹣1，437．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）解：由题意得：AQ=5t，AP=4t，BQ=10-5t，OP=8-4t，OB=6，连接PQ，∴∴∴PQ=A∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，∴①当OB=OP时，6=8−4t，②当OB=BQ时，6=10−5t，③当OP=PQ时，8−4t=3t，④当BQ=PQ时，10−5t=3t，综上：t=1（3）解：由题意得：D(−b∵C∵D在以AB为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，∴由①②，且ab<0，得a=−1∴抛物线为y=−1∵点P(∵t≤m+8．【答案】（1）4（2）解：y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-（x-2）2+8，特征值是8（3）解：由题意，得点C的坐排为（0，c），∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（-c.0），把B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得0=-（-c）2+b×（-c）+c，∴b=1-c，∴y=-x2+（1-c）x+c，∵二次函数y=-x2+（1-c）x+c的“特征值”为-1.∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c，∴4×(−1)×c−c24×(−1)=-1，∴c=-2，∴b=3，∴（4）解：“坐标差”为2的一次函数为y=x+2，∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上，∴设二次函数为y=-（x-m）2+m+2，二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，把（1，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（1-x）2+m+2，解得m1=1，m2=2（合去），∴二次函数的解新式为y=-（x-1）2+3，∴y-x=-（x-1）2+3-x=-x2+x+2=-（x-12）2+94，特征值是94；把（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（7-m）2+m+2，解得m1=5，m2=10（舍去），.二次函数的解析或为y=-（x-5）2+7，∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-（x-92）29．【答案】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-6，0）两点，∴0=−4+2b+c0=−36−6b+c解得：b=−4c=12∴抛物线解析式为：y=−（2）解：存在(如图1)Q(-2，8)，连接BC交抛物线对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小.∵抛物线交y轴于C点，∴c=12，即C（0，12），又B（-6，0），设：直线BC的解析式为y=kx+b，则12=b0=6k+b，解得：k=2∴直线BC的解析式为y=2x+12，又抛物线y=−x当x=-2时代入y=2x+12，解得y=8，所以Q(-2，8)；（3）解：存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)10．【答案】（1）解：把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣14x2+bx+c得c=8−4−4b+c=0，解得所以抛物线的解析式为y=﹣14x2当y=0时，﹣14x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2所以C点坐标为（8，0）（2）解：①连结OF，如图，设F（t，﹣14t2∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=12•4•t+12•8•（﹣14t2+t+8）﹣12•4•8=﹣t2+6t+16=﹣（t﹣3）2+25，当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF为平行四边形，∴S的最大值为50；②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣14t2+t+12），∵E（t﹣8，﹣14t2+t+12）在抛物线上，∴﹣14（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣14t2+t+12，解得t=7，当t=7时，S11．【答案】（1）解：∵直线y=﹣x+3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，3），∵二次函数y=x2+bx+c图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∴9+3b+c=0c=3解得b=−4∴二次函数解析式为y=x2﹣4x+3（2）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（2，﹣1），∴如图1所示，满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，25﹣1），M3（2，32），M4（2，﹣25（3）解：由（1）（2）得A（1，0），BP=2，BC=32，AB=2，如图2所示，连接BP，∠CBA=∠ABP=45°，①BQ1BP=BC此时，BQ12∴BQ1=3，∴Q1（0，0）．②当BQ2BP=BA此时，BQ22∴BQ2=23∴Q2（73综上所述，存在点Q使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．点Q坐标（0，0）或（7312．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），∴经过点A的反比例函数解析式为：y=9x而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），∴m=9（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，32与x轴、y轴分别交于C、D两点，而这些OA的解析式为y=x，设直线CD的解析式为y=x+b代入B的坐标得：32∴b=﹣4.5，∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，分别把A、B、D的坐标代入其中得：3=9a+3b+c解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5（3）解：如图，设E的横坐标为x，∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，∴S1=12（﹣0.5x2=12（﹣0.5x2=12（﹣0.5x2而S=12（3+OD）×OC=12（3+4.5）×4.5=∴12（﹣0.5x2+4x）×4.5=2解之得x=4±6，∴这样的E点存在，坐标为（4﹣6，0.5），（4+6，0.5）．13．【答案】（1）解：抛物线的对称轴是：x=−b2a（2）解：由题意得二次函数解析式为：y=15x2-53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2-4ac=(−53)2-4×15c，∴c＜5（3）解：∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°=ODOB∴OB=33∴B（33把B（33c，0）代入y=ax2-53x+c中得：a∵c≠0，∴ac=12，∴c=12a把c=12a代入y=ax2-53x+c中得：∴x∴A(∴AB=43a-3a=3∵F的纵坐标为3+∴F(5过点A作AG⊥DB于G，∴BG=12AB=AE=332aDG=DB-BG=83a-33∵∠ADB=∠AFE，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG∽△AFE，∴AEAG∴3∴a=2，c=6∴y=214．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)∴a=−1∴y=−1∵OA=1，且点A在x轴负半轴上，∴A(−1，0)，将点A(−1，0)代入y=−12x2+2x+c则抛物线的解析式为y=−1（2）2（3）解：如图，过点E作x轴的垂线，交B