防洪物质调运问题交通流

有人将高速公行驶的车辆比做奔腾的水流，我们因此受到启发将车辆视因此我们引入流量的概念即在公一个确定的位置计数在单位时间内通过的车辆数。因此它也是位置和时间的函数。将流量的应用到此模型中并加以数N(t)的变化关系。T的线性车辆跟随模型对车辆的行驶情况进行分析。在公有两个观测站，一个固定在x=a，另一个是移动的x=b(t)。N(t)表示公区间[a,b(t)]内的车辆数，证明N(t)的变化率有关系N'(t)(b(t),t)db(b(t),t)u(b(t),t)为了观测在公行驶的a，b两辆汽车的速度和距离（从而就可估处速度和密度在公设距离为d的两个观测站观测者记录了ab两辆车通过观测站的时间ta1t2t1t2设u=u(ρ),如果αα=-试对带有反应时间T设u

(1ρ0m结果表明隧道的资料适合于模型q(ρ)=aρ[㏑ρm-㏑ρ]。假设初始密度将在区间[-x0,0]内从ρm0.问两小时后会不会有ρ=ρ/2?设uum 2).试给出公交通灯由红变绿后的车流密度m对于第i

udxi ，常大，以至于难以每一辆汽车。这时替代记录每辆车的速度固定在某一点x，xt的函数，记为u(xttx密度和流量也应该是x与tq(xt(xt。在[t1,t2]时刻通过x点的车辆数为Nq(x,t)dt T时刻在区间[x1,x2]N

q(x,t)(x,t)u(x,

值得注意的是，为了完成模型的推导此处必须认为qq1、测量区间的选取，本文通过对某单车道公路的区间[0，100]上的45辆汽车在x=50的车辆密度图 某高速公路高空拍摄x=50x=502图 区间选取对测量的影在L/2=17.5附近测量结果开始稳定，虽区间的选区变化不大。也就是说，在大于35m的测量区间以后测量的数据会由于测量区间过大而不能很好地反映局部密度偏高的特点。在L/2=102025006Dx=12.5，37.5，62.5，87.50.48，0.44，0.56，0.32车辆守在公设置两个观测站，一个固定在x=a，一个固定在x=b，由2可知b某一时刻区间[a,b]N(t)(xt)dxa是不允许超车的,所以在[t0t]x=a流进车辆数减去从x=b流出的车辆数。即满足关系式: N(t)N(t0)q(a,)dq(b,)d[q(a,)q(b, 将此式两端对t求导dadt(x,t)dtq(a,t)q(b,a

关于q的光滑性的假设下有baq(a,t)q(b,t)xq(x,ab bbdt

(x,t)dxt(x, 从而(1.4)ab a由[a,b]

(

x)dxq

(u)

现在在公设置另外两个观测站，一个固定在x=a，另一个是移动的x=b(t)t［a,b(t)］内的总车辆数量为b(t

N(t) (x,

N'(t)(b(t),t)dbb(t)(x,t)

t将(1.9)代入(1.8)N'(t)(b(t),t)dbb(t)q(x,t)dx(b(t),t)dbq(b(t),t)q(a, (b(t),t)db(b(t),t)u(b(t),t)(a,t)u(a,t)[ttt路段的变化的车辆数应该等于a处所进入的车辆t tN(t ) q(a,)d(b(tt)b(t))(b,t) q(b,N(t

) q(a,)d(b(tt)b(t))(b,t) q(b,t tq(a,1)t(b(tt)b(t))(b,t)q(b(2t t1,2(t,t两边同时除以t，并且令t0N'(t)q(a,t)db(b(t),t)

q(x,t)(x,t)u(x,所以Nt)(b(tt)db(b(tt)u(b(tt(at)u(a速度测值，并验证了在一定条件下这个比值可以成区间长度与时间的比值。首先给出我们需要知道的数据，选定公行驶的a，b两辆汽车，在公路上设距离为d的两个观测站x1,x2，观测者记录了a，b两辆车通过观测站的时间bbata1时刻在[x1,x2]内的车辆数等于在ta1到ta2时间内通过x2处的车辆数。由(1.1)式可得：Nta2q(x,2

Nq(x2,1)(ta2ta1Nq(x2,1)(ta2ta1) a,bta1tb1x1ta2tb2时间内通过x2tb1q(x,t)dttb2q(x, aq(x1,1)(tb1ta1)q(x2,2)(tb2ta2q(x2,2)q(x2,1；最后，利用关系式qu可以求得u d(tb1ta1

,u

d(tb1ta1

ab

ta

)(ta

ta1

(tb

ta

)(tb

tb1bbtb2ta2tb1ta1带入(1.10)

ua

(ta

dta1a,bS=b1q(a,t)dtb2q(b,t)dt=

t a所以a,b之间的长度为

aLq(b,2)(tb2ta2)d(tb2ta2 (ta2ta1速度-密如果知道了速度和密度的关系我们就可以通过求解偏微分方程(1.)得到密-驾驶员会根据周围车辆密度调整驾驶速度并且测量速度的方法，我们就可以通过观测不同密度下的车辆速度来验证这一点。本文对连接纽约市和新泽西州的隧道所观测得到的速度—密度关系的数据进行分析得到肯定的答案接下来利用流量计算基本得到流量与密度的关系并绘制流量-密度曲线.首先将连接纽约市和新泽西州的隧道得到数据绘制成图,观察其特点418根据图像的特点，本文选取关系式uabln(7.0编程求解得到a=92.4032,b=16.9929,

u92.403216.9929

5速度-密度拟合样图123456789误110.558915.8333根据流量计算qu以及(1.11)可得q92.403216.9929ln(66（0流量q0m因而q0(0m 7.0求得在84.5847处流量取到最大值1437.3。我们称之为5.3．的那么汽车在某一时刻的加速度可否用密度来描述？接下来对这一问题根据车辆守恒方程

q0以及车辆密度以及速度之间的关系 q(xt)(xt)u(xt)(u)duu

同时由加速度的定义adu以及uu()adudu(dx)du(u dx d

将(1.12)(1.13)adud

du＝u0，故(3)d算给出密度在时间空间上的变化规律。由于不同路段的速度-密度变化规律是不同的,所以本文不试图寻找一种普遍的关系式来建立模型,而是通过现有的速度-密关系式来探究密度的变化规律,为了对速度随密度的变化有个更深入的了解,先那么我们对一种理想车辆跟随模型进行分析。车辆跟随模例系数为。入反应时间T，即经过时间T后，驾驶员才开始加速或者。取公路为x轴，车辆运动的方向为x正向。首先提取第n辆车作为头车来研究后面车辆的跟随情况。T时刻第nxn(t。由速度-位移关系有：vn(t)xn

，(t 设v(tu，为方便起见，取一个参考系，以u0 un(t)vn(t)un(t)

，(tdun1(t)(u(tT)

(tT

，(t>1)，n=1,2,…….N- 根据实验数据，正常驾驶员的滞后时间T0.3~0.4s1之间，这里取0.37s1。

1.0

dun1(t)(u un(t)

n(tT)

(tT ,NTu(tT)u(t)(T)u(t)1(T

(t)

若T(1T)un1un1[un(t)Tun

比如正弦扰动，那么第一辆的车的速度为u1sin(t。这样我们就可以根据常由于(3.2)是一个一阶线形微分方程，则它在n=1 u(t)Cet/(1T)Asin( A22(12T2)2(2T对于un(t在n>2在结构与(2.4)

由上式看出车

T

时，前车引起后车扰动的振幅将不随若保留(2.2)二次项以得到更精确的结果，同时由(2.1)T

[u(t)Tu(t)1T

T2r2(1T)r0(1(1T) (1T)22(T

T

2显然T12

继续给头车的速度一个正弦扰动，即令u1=sint u(t)Cer1tCer2tA 且

A1(T B(11T222 2 2(11T

)22(1T

T1时u的振幅并不会大于u 2最终我们得到结论：由(2.6)近似的模型控制的车流，在T 1时局部2进稳定，关于T的准则可能会因为更高次项的影响而改变。在此我们不寻求一密度在此我们利用已知关系式u()=um(1-/m)，由于每个路段都会对最高速度加以限制,所以速度有最大值umc,当车辆密度c时,汽车以um行驶.这样关系式就扩展为:u(

um(1-/m)

(cm

(0cq(

um(1-/mum

(cm (0c在物理学中,附近所对应的密度波的速度,

处的切线的斜率cdq|d

等于在mcdqm

d(u)u

)d d d 由于速度以及密度的非负性可知cu(0)，也就是说密度波的速度小于交通流量模型将uu()qu(dq

d(x,0)

f

(2.11)2.12)联立即得带有初值条件的一阶偏微分方程。方程的特征曲线为

1(x(t),t)dxdq d故

dq(du)ud ddx

d0f(d

0uf(x0由此，根据初始条件中某一点x0处的密度0，我们可以得到特征曲xu(f(x0))tx0的应已知流量-密度且初始密度线性分布的模下面我们看一个简单的例子，已知隧道的资料适合于模q()=a[lnmln]。假设初始密度将在区间[-d0,0]内从ρm线性递减为10045首先，对之前获得的隧道内18辆车的速度与车辆密度进行拟合，7.0求解可以得到a=16.9929;m(x,0)mx,

xx0x0dx

dd

a(ln

ln(mx)1)aln(x0 ixaln(x0)ixx0 xa(ln21)t2我们两小时后该密度波的情况，令t=2，x2a(ln21)x02此式表示m的密度波在两小时 到了x2a(ln21)x0，即两小时 x2a(ln21x0m x20.8573，mx20.8573 在区间(x00x=x0,0处斜率为。为了更形象地揭示密度得变化情况，这里有选择的画出几条特征txt071．110045x(12.5,37.5,62.5,87.5),(x)(0.48,0.44,0.56,0.32)dx

a(ln

ln(e))aln(mdd

i i由上式以及a=16.9929;m=229.924可以计算出每点的特征曲在x=12.5处的特征曲线为：在x=37.5处的特征曲线为：在x=62.5处的特征曲线为：在x=87.5处的特征曲线为：

x104.8754t+12.5x106.3540t+37.5x102.2559t+62.5x111.7654t型通过图像 测型红绿灯

12.537.562.5 图7假设在x=0m在x0x0处的车队将跟第一辆车运动.而第一辆车由于前方没有汽车,所以将以最大速度um行驶.(x0)f(x)

xx 3m平衡方程得到,m

uumm

2，那么qumm3

2)，dum(12由特征得特征线为：x