《三角形中边与角之间的不等关系》重难点创新教法

《三角形中边与角之间的不等关系》重难点创新教法学科年级八年级数学教材版本人教版一、教学内容分析本节课是新人教版八年级上册第13章的实验与探究内容.在教材的编排上是在学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形之后而设置的.整个探究过程充分利用了轴对称的性质，在动手翻折的过程中得到启发，从而构造全等三角形进行探究.所以本节课既是全等三角形、轴对称等知识的拓展，更是从特殊的等腰三角形性质的折纸探究到一般的不等边三角形折纸探究的思想方法上的拓展.同时本节课的探究过程中的转化思想又为将来解决几何问题提供了重要的经验和方法.因此本节课的教学对学生全面认识几何问题起着积极地作用，对培养学生综合运用几何知识的能力也起着重要的作用.二、学情分析学生在前面已经学习了全等三角形、轴对称以及等腰三角形，对全等三角形、轴对称以及等腰三角形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础.但是，同时学生又普遍缺乏将动手过程转化为几何语言的能力.在教学过程中直接体现出来的难点便是学生很难用几何语言去叙述辅助线的做法.三、教学目标1.知识与技能：（1）通过实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系；（2）能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的转化解决边角之间的不等问题.2.过程与方法：通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略；获得利用截长补短等方法来构造全等三角形的经验.3.情感与态度：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.四、教学重难点重点：三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程.难点：如何从实验操作中得到启示，写成几何证明的表达.五、设计理念根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的折纸活动，几何画板配合演示，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程.六、教学活动活动内容设计意图教学引入活动一、温故知新，铺垫新知如图,在△ABC中,∠1=30°,∠2=20°,则∠3=°,∠1∠3（填“>”“<”）2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠C=°3、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则BDCD，∠1∠2（填“>”“<”“=”）第1题图第2题图第3题图复习三角形的外角和等腰三角形的性质，为探究三角形中边与角之间的不等关系做好知识和经验铺垫.教学重点活动二、创设情境，引入新知问题1：我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等。如果两条边不相等，那么这两条边所对的角会不会相等呢？或者两个不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？这就是我们这一节课要研究的内容：三角形中边与角的不等关系.问题2：如图1，在△ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，AB>AC，∠C与∠B有什么样的大小关系呢？图1图1师生活动：学生自己动手制作不等边三角形（为了教学方便，统一制作△ABC，且AB＞AC）.追问1：仔细观察自己剪出的三角形纸片，∠C与∠B有怎样的大小关系呢？师生活动：同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B.追问2：可以通过哪些方法证明∠C大于∠B呢？师生活动：学生独立思考，发现可以通过测量或折叠得出∠C大于∠B.追问3：在以往的学习中，我们是如何用折纸来探究等腰三角形中“等边对等角”的？师生活动：教师通过几何画板演示等腰三角形折纸过程.学生回忆通过对折使点B与点C重合，∠B与∠C重合，最终得到∠B与∠C相等.追问4：这条折痕是等腰三角形的什么线？通过类比等腰三角形的边角关系猜想，引出课题.通过直观观察，发现在一个三角形中角之间的不等关系.通过观察等腰三角形的折纸过程，类比寻找不等边三角形中比较角大小的折纸方法.教学难点教学难点教学难点活动三、实验探究，探索新知探究（一）：“大边对大角”问题3：类比刚才等腰三角形折纸的经验，我们又可以怎样通过折叠比较出∠B与∠C的大小呢？请同学们分小组讨论交流，并说明自己是如何通过折纸比较的.师生活动：学生动手操作，相互比较，小组交流，并请学生上台展示讲解.教师几何画板展示学生的折纸方法，让学生体会辅助线的做法.方法一：叠合法：在△ABC中，我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线DE折叠，使点B落在点C上.追问1：同学们思考一下折痕DE实际上就是BC边上的什么线？追问2：怎样将折纸过程转化为几何证明过程？师生活动：学生上台展示讲解证明思路，其他学生点评.证明：作BC的垂直平分线DE，分别交AB、BC于E、D，连接EC∵DE垂直平分BC（已知）∴EB=EC（垂直平分线性质）∴∠B=∠ECB（等边对等角）∵∠ACB>∠ECB∴∠ACB>∠B（等量代换）追问3：我们沿着BC的垂直平分线折叠实现了∠B的转化，那么我们是否还可以沿着三角形的其它线折叠将∠C进行转化呢？小组讨论交流其它的折纸方法，并说明自己是如何比较∠B与∠C的大小的.师生活动：分小组交流讨论其它的折纸方法，并让学生上台展示讲解，教师点评.方法二：沿高翻折：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.追问1：同学们体会一下折痕AD实际上就是BC边上的什么线？追问2：怎样将折纸过程转化为几何证明过程？师生活动：学生独立思考完成，然后上台展示讲解证明思路，其他学生点评，老师总结.方法三：沿角平分线折叠：沿过点A的直线翻折使点C落到AB边上.追问1：同学们体会一下折痕AD实际上就是∠BAC的什么线？追问2：怎样将折纸过程转化为几何证明过程？师生活动：学生独立思考完成，然后上台展示讲解证明思路，其他学生点评，老师总结.追问3：是否还有不同的方法来证明这个结论？学生展示讲解方法四和方法五.方法四：方法五：性质1：在一个三角形中,如果两条边不等，那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大（简写成"大边对大角"）.符号表示：∵在△ABC中，AB>AC∴∠C>∠B.探究（二）“大角对大边”问题4：既然有“大边对大角”，那么反过来有没有“大角对大边”呢？如图∠C＞∠B，AB和AC有怎样的大小关系？师生活动：学生自主分析并证明，教师通过几何画板演示验证猜想的正确性,并归纳.证明：作BC的垂直平分线DE，分别交AB、BC于E、D，连接EC∵DE垂直平分BC（已知）∴EB=EC（垂直平分线性质）∵EA+EC>AC（三角形两边之和大于第三边）∴EA+EB>AC（等量代换）即AB>AC性质2：在一个三角形中,如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简写成"大角对大边"）.符号表示：∵在△ABC中，∠C>∠B∴AB>AC.培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫.让学生从折纸实验中寻找比较∠B与∠C大小的方法，从中受到启发，找到证明的方法，几何画板展示和问题设置引导学生思考辅助线的作法.通过问题引发学生换位思考，寻找更多的折纸方法从而得到其它的证明方法，拓展学生思维的广度和深度.通过几何画板的演示和追加问题，引导学生思考辅助线的作法和证明的思路.通过类比思考，让学生继续探究证明“大角对大边”，培养学生独立探究的能力.巩固重难点活动四、解决问题，应用新知利用上述的两个结论，回答下面问题：

（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？

（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？

（3）直角三角形的哪一条边最大？为什么？

师生活动：学生回答，相互补充，并说明理由.例2、已知：如图，在△ABC中，AB>AC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O.猜想OB与OC的大小关系.师生活动：学生分析题中条件和解题思路,由一个三角形中，AB>AC，利用“大边对大角”得出∠ABC>∠ACB，根据题设，得出这两个角的一半的大小关系，再根据“大角对大边”得出结论.三个问题有层次、有梯度地考查了学生对两个性质的认识和运用.例2的目的是在证明时，充分使用转化的思想，进一步巩