用向量知识解决立体几何中典型问题

1111用向量知识解决立体何中典型问题空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题面行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便快的解法它实用性是其它方法无法比拟的因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识高使用向量的熟练程度和自觉性意养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题，下面就谈一谈向量知识在立体几何中运用。大家自学时注意方法的理解，黑体字内容就是一些关键的讲解。什么是法向量？平面垂直的向量称为法向量。法向量是解决与面有关问题时必须要用到的。一、利向量知识求线角，面角，二面的大小线角r方法点评：设是面的向量，是面的条斜线，则与面所成的为PM与向量成角的余角。即

rrPM•rrPM•

，如图：所以解决问题关键就在于求出法向量

rn

，下例将介绍法向量求法。例：如图，四棱锥

P

中，底面ABCD为矩形，

PD

底面ABCDAD=PD，，F分CDPB的中点.（Ⅰ）求证EF面；2（Ⅱ）设，求与面AEF所角的大小（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图AD=PD=1AB=

a

（

1A(0,1,0),B(2a,1,0),(a,)得21vEF(0,,)，PB，AB,0,0)由2vvEF(0,,),0,0)AB，22同理PB，又ABIPB，所EF面（：小所即量证线垂）

xFB

zAy

PD

ur1ur1（Ⅱ）解：由

2BC

，得

2a

，即

a

22

得

(

2211,0,0)，F,)C(.2有

vAC1,0)

，

vAE

22

,

，

1EF,)2

设平面的向量为

ryz)

，（何求个向呢注到既要直面则垂平面两交线所r可在面任选两出然分和n数积利用量为建两等）由

rvrv

(xy,z))yz22(xy,z)x2

，（个件定求出个量，因平的向不一，度以意但定是平垂的所我只要其一数意成个非0数就以到个向）令

，可得

yx

于是

r1,1)

则

ACcos,vAC

(22

36

所以，AC与面AEF所成角大小为

arcsin

36

（意什在里上个对，因我在z时，人，人-1这得到法量向相的求来以需取数二角

cosAC

就可为，是面是角所C1ur方法：设是二面角法向量，则•n,ncos1就二面角的平面角或补角的•12

A1

D

B1E大小。

CA

B

11例2：如,在直四棱柱

ABCD1111

中已DCDDADAB1

DC

设E是DC的点求证

E面BD11

;(II)求二面角

ABD1

的余弦解连

BE

，则四边形

为正方形，ADA，且BE//A//AD111

，四边EB1

为平行四边形，A11

E平面ABD，B面ABD，1E//面ABD1（另：向量法明面行：得

rD(0,1,

，可求得面BD的个法向量为1r

，由

rDE

，又

面ABD11

，所以

E面BD11

）(II)以D为点，

DADC1

所在直线分别为x轴轴轴建立空间直角坐标系，不妨设

DA

，则

(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2),(1,0,2).11DB(1,1,0).设

ryz)

为平面

ABD1

的一个法向量，由

rrnDA,nDB

得

xxy

，r取，n

设

urm,y,z)

为平面

CBD1

的一个法向量，由

urrrDC,DB

z得，x1取

z1

则

r1,1)

rrrrm3cos,r.mn933由图知该二面角

ABD1

为锐角，所以所求的二面角

ABD1

的余弦值为

33

.（里出法量角钝，因我在数时成方向反所求面时要原中察面的锐在正的论二、利向量知识求到面，到面，面到的距离后两者均可化为点距离）方：如右图求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点

P

与平面内任一点

M

构成的向量MP

的坐标，那么

P

到平面的距离rrrn•MP•cos,r（：是推用量计点距，试的面离都可使等积简求）例3体中分别BD的点==CD=2AB（Ⅰ）求证⊥平面BCD

（Ⅱ）求异面直线与CD成角的大小21）（Ⅲ）求点E平面的距离（7

arccos

24

.

）证：结OC.∵∴⊥BD.在△中由已知可得AO=1,CO=

而AC=2,AO22=AC

∴∠AOC=90°,即⊥OC.∴平面BCD（Ⅱ）解：以为原点，如图建立空间直角坐标系则B(1，0，，D(-1，，，C，3，0)，A(

3

∴

CD

•CD,CD4

∴异面直线AB与所角的大小为

arccos

24

.（Ⅲ）解：设平面的向量为

r

=(则

r•xy)•(rr•ACxy,)•(0,0,

0,∴令y=1，30.

rn

=(-

)是平面ACD的个法向又

1,22

,0),∴点E到面ACD的离

|EC321.||77三、利向量知识解立体几中的探索性题。例如图，已知四棱锥P-ABCD的面ABCD为等腰梯形，AB∥⊥BD,AC与BD相交于点O，顶点P在面上的影恰为点又BO=2,PO=2⊥设点M在棱PC上问M点在什么位置时，⊥面BMD.Q平面又

PBPD

，

2,PO

，由平面几何知识得：ODBOAO以

为原点，

,

分别为

xz

轴建立如图所示的空间直角坐标系该题立坐系诉们，找到轴有能，轴不象方那样个点去三线么看有可需在面形自去造出，轴则各点坐标为

O

，

(2,0,0)

，

(0,2,0)

，C

，

D(0,1,0)

，

P(0,0,（意C点标D点坐标既建起原，，y轴那在半上坐同要负）设

M

分

r

所成的比为

，由定比分点坐标公式可得(,0,)，BM)11（里示了线设的法Q面，

rrBM

，

2)

,)11r得，MC

，故M为近C点三分点。则M是靠近点三等分点。（考探性题往求都一足件动，且足的件般垂，用法实清、洁提：量特要意算题在点标计法量数量、的候定小。

以下无正仅供个用学习、究不得用商业用。тоьдлдкоторыеспоьзютдлобучеия,исследвнийеджныисьвтьявкмчскхцеяpersonaluseonlyin