新人教A版高中数学必修四解决三角函数各类问题的十种方法(含答案)

解决三角数各类问题十种方法三角函数的各类问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定规律性，本文拟对其中的解题方法进行总结归纳．１

凑法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实顺利解答．例求

tan20

的值．解原

sin2040sincos20

sin20cos

3

．评三求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一中的分子化为

sin(6040

，或者化为

sin(30

，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２

降法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及

sin

2

2

，或降幂公式2

1212,cos22

等借助降幂策略解答．例若

，求

sin

的值．解由cos

cos（去

，又可得

cos

sin

，则sinsin3

，又由c

，c21

故c

(

o

c

(2

os

值

3csin

2

6

．评

若求出

的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３

配法根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例已

x

2

)

，且

cos2x3

，求

的值．解析

设

x

2

3x

，令ni

x

nx

sim

，mxxcos6

，其中，

cos6

，cos2xcos4cos(3x)cos(3x)xcos3，cos3)

，又ocox

oc

)x4coscos2cos3

，故可解得

cosxcos3x

0(．则co或

cs或

cs又x(

则

x

或x64

．评三函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数很对称的论

sin

22

等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧解答．４

换法很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例求

（75（解令

式

cos(

cos

(sin

(cos

cos30

303cos

．评教求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５

方法有时可以根据已知构造所求量的方程解答．例若

3x3x

，试求

sinx

的值．解令

，则

xsin

(1)

，

t

．由已知，有xsin)(cos2xcosxsin2x(1

2

，即

t3tt2

，得t或（去．

sinx，sin

2

2

，整理可得sin

xsinx

，解得

sinx或sin

．评

将已知转化为关于sinx的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有

n

个需要确定的未知数，则只要构造

n

个方程解答即可．６

讨法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例已!ABC中，A

4，cos．5解

由sinA

，得cosA．

时，因为

A,B

是

!ABC

的内角，需要满足B

，有

，而余弦函数在区间(0,是减函数，得A

)B

，但cosA

B

，故此情形不合题意．可以验证A

符合题意，故cosCcos()AsinBAB．评分讨论是将问题化整为零而化难为易的重要思想方法般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７

平法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．sin，，例已

的值．解析

有

，cos

，两式两边平方后对应相加，可得(sin

2

sin

2

2sin

(cos

2

cos

2

cos

cos

，即cos(

．评学数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”取倒数等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．８

猜法有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例已

3

，且为第二象限角，则

in

．解由

sin

0,cos

及

2

1)2

32

)2

，可得

sin

．评实上

sin

3

与

sin

2

2

联立所得二元二次方程组只有两组解，即

sin

3或,sin22

，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９

图法有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例

已知函数

f(xx1)图象与直线

在

轴右侧的与

轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数的．

y解如图，设三个交点的坐标为

(,)，C(,A

，

yCDdA)三角函图象的对称性c，有b，

b2

，又

O

Bx

D

xcbd

c()

3．故函数图象经过()4

，代入可得A2

．评数形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１

比法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例０求

2(cos11

．解若

（或

sin

），因为

sin

cos

，故

sin

，或

，验证可知等式成立．若

，则由cos

2，sin2

)(1

及比例性质cossinsin，得sin

．sin1sin11sin

，代入等式左边可知所证成立．评本有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例