人教A版高中数学选修1-1《二章圆锥曲线与方程22双曲线探究与发现》课教案11

2.2双曲线研究与发现bx是双曲线x2y21的渐近线为什么ya2b2a教材解析本节课选自人教A版选修1—1第二章圆锥曲线与方程,2.2双曲线习题后边的“研究与发现”，教材在介绍双曲线的渐近线时给出的是一种描述性的定义，学生对于“无量凑近”只能直观感觉，好奇的同学就会产生诱惑：为什么ybx是双曲线x2y21的渐近线aa2b2呢？经过这部分内容的研究，使学生理解、领悟解析几何这门学科的基本思想和研究方法,培养学生的解析几何看法,提高学生的数学素质。进一步领悟数形结合思想和数学思想的严密性。我们必定充分利用好这部分教材进行授课。授课目的知识与技术:从直观感觉和理论解析（代数方法）两个方面理解：为什么ybx是双曲线ax2y2a2b2

1的渐近线.过程与方法:使学生经过几何画板的动向演示直观感觉双曲线与其渐近线“无量凑近，但永不订交”，师生共同依照解析几何解决问题的基本思想，用代数方法理论推导证了然为什么ybxa是双曲线x2y21的渐近线.a2b2感神态度与价值观:使学生理解、领悟解析几何这门学科的基本思想和研究方法,培养学生的解析几何看法、观察能力、想象能力、解析、归纳能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素质。进一步领悟数形结合思想和数学思想的严实性，使学生在研究活动中体验成功,激发学习热情.授课重点bx是双曲线x2y2用代数方法推导、证明：为什么y221的渐近线.aab授课难点用代数方法推导的证明过程.授课过程一、复习回顾师：前两节课，我们学习了双曲线的定义及标准方程，研究了双曲线的简单几何性质.其中，我们学到了在圆锥曲线中双曲线所特有的几何性质：双曲线的渐近线.利用信息技术演示直线y2x与双曲线x2y21的地址关系394渐近线过A1,A2作y轴的平行线xa，过B1,B2作x轴的平行线yb，四条直线围成一个矩形.矩形的对角线所在的直线方程是ybx.a利用信息技术能够看出，双曲线x2y21的各支向外延伸时,与ybx逐渐a2b2a凑近.双曲线与它的渐近线无量凑近，但永不订交.教材没有给出双曲线渐近线的严格定义，可是一种描述.对于“无量凑近”只能是直观感觉、操作确认.二、研究新知用几何画板演示：设点M(x,y)是双曲线x2y21在第一象限部分的点，点N(x,Y)a2b2是直线ybx上与M有相同横坐标的点，|MQ|是点M到直线ybx的距离，沿曲线aa向右上角拖动点M，观察|MN|,|MQ|的大小变化.解析几何的基本思想是，用代数方法研究几何问题，第一把图形问题转变为代数形式，尔后用代数方法进行计算，获得代数结果后，把代数结果转变为几何结论.为什么ybx是双曲线x2y21的渐近线aa2b2如图，先取双曲线x2y21在第一象限内的部分进行证明.a2b2第一象限内的部分的方程可写为ybx2a2(xa).a设M(x,y)是这部分曲线上的点，N(x,Y)是直线ybx上与M有相a同横坐标的点，则Ybx.abx12bxY,ybx2a2aaaxa|MN|Yyb(xx2a2)a|MN|Yyab.x2xa2设|MQ|是点M到直线ybx的距离，则|MQ||MN|.a当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无量增大时，|MN|无量凑近于零，|MQ|也无量凑近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐凑近于射线ON.在其他象限内，也能够证明近似的情况.你能证明吗？别的，我们也可直接计算|MQ|，证明当x无量增大时，|MQ|无量凑近于零.设M(x,y)为双曲线在第一象限内的点，则yMbx2a2(xa),a点M(x,y)到直线bxay0的距离|MQ|为|bxay|b|xx2a2||MQ|(a)2a2b2b2b(xx2a2)(xx2a2)a2b2xx2a2a2b.a2b2(xx2a2)三、练习以以下图，证明：（1）双曲线在第二象限内的部分当x无量减小时，|MQ|无量凑近于零；（2）双曲线在第四象限内的部分当x无量增大时，|MQ|无量凑近于零.四、课堂小结本节课你学会了哪些数学知识？用到了哪些数学思想方法？知识：从直观感觉和理论解析（代数方法）两个方面讲解了为什么ybx是双曲线ax2y21的渐近线.a2b2数学思想：数形结合思想、极限思想；数学方法：代数方法、由特别到一般、分子有理化.五、作业证明：如图，双曲线x2y21(a0,b0)，用两种方法证明：a2b2在第三象限内的部分当x无量减小时，|MQ|无量凑近于零.授课反思：学生经过观察几何画板的演示：直线y2x与双曲线x2y291的34地址关系，简单实行获得：ybx就是双曲线x2y21的渐近线，能理解解析几何的aa2b2基本思想（用代数方法去研究解决几何问题）及其方法步骤，因农村中学的学生基础单薄，计算能力有限，诚然师生共同完成了双曲线在第一象限部分当x无量增大时，|MN|无量接近于零的代数方法的证明，共同推导时能听