高中数学必修4三角函数常考题型：任-意-角

任意角【知识梳理】1．按旋转方向分名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2.按角的终边位置(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝α＋k·360°，k∈Z))，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．【类题通法】象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2012°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角．可以发现(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2012°角终边相同的角是212°，所以2012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解](1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z)).∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1910°＋k·360°＜360°，2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【对点训练】已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.题型三、确定及所在的象限【例3】若α是第二象限角，则2α，eq\f(α,2)分别是第几象限的角？[解](1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)．法一：①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第一象限角；②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一或第三象限角．法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即eq\f(α,2)是第一或第三象限角．【类题通法】1．nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．2.eq\f(α,n)所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，eq\f(α,2)是第几象限角．解：∵α为第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)．(1)(2k＋1)·360°<2α<(2k＋1)·360°＋180°(k∈Z)，则2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角．(2)k·180°＋90°<eq\f(α,2)<k·180°＋135°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<eq\f(α,2)<n·360°＋135°(n∈Z)，此时eq\f(α,2)为第二象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<eq\f(α,2)＋315°(n∈Z)，此时eq\f(α,2)为第四象限角．综上所述，eq\f(α,2)可能是第二象限角或第四象限角.【练习反馈】1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：选D一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.2．与435°角终边相同的角可以表示为()A．－75°＋k·360°，k∈Z B．－435°＋k·360°，k∈ZC．75°＋k·360°，k∈Z D．75°＋k·180°，k∈Z解析：选C435°＝360°＋75°，∴与435°角终边相同的角是75°＋k·360°，k∈Z.3．以下说法，其中正确的有________(填写序号)．①－65°是第四象限角； ②225°是第三象限角；③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．解析：－65°是第四象限角，故①正确；②225°是第三象限角，故②正确；475°＝360°＋115°是第二象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故④正确．答案：①②③④4．若角α＝2014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2014°＝5×360°＋214°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝214°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是214°，最大负角是－146°.答案：214°－146°5．试写出终边在直线y＝－eq