大学热学(秦允豪编)习题解答第四章大学热力学第一定律

一般物理学教程《热学》（秦允豪编）习题解答第四章热力学第必定律WV2PdV解：V1TC（1）PvbRTPRTvbWvfRTdvvfbvblnbviviPvRT1BPBvRT1v（2）WvfBdvvfBRT1RT1RTlnvivvivfWV2PdV应用（4.3）式PiViV1且PVPPiViVWPiViVdVPiVi1vfVf故有：Vi1vi1PiViVf1Vi111PfVfPiVi1（应用了PRTavbv2（1）WPdvRTdvadvvv2b

1vikPiViPfVf）RTlnV2b11V1bV2aV1adQudCVcTC时，（2）v2当VdTVQT2∴CVCCdTCTT1

dudtV水蒸气的凝固热即为定压状况下单位质量物质相变时汲取（或开释）的热量，在等压下此值即为比焓变化，即：lVHm（系统放热）铜升温过程，是等压过程T2T21bT2T2HQPbTdTaTCPdTT1aT12T1aT2T1bT22T12212.310412003005.9212002300222.47107Jmol1QPhNH31hN23hH229154186693846846190.5Jmol12222在定压状况下，1molH21molO2和2化合生成1mol水时汲取的热量为QH2.858105Jmol1（系统放热Q'Q）每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极，生成1mol水有2NA电子到阳极。总电量为q21.6010196.021023C（q2NAe）两极间电压为，AqA1.22921.6010196.02102382.84%Q'2.858105设1mol固体状态方程为：vv0aTbP，内能表示为：uCTaPT，a,b,C,v0均为常数。求：（1）molh（2）molCP,CV解：（1）由摩尔焓定义huPvCTaPTPv0aTbPhCTPv0bP2CP'HCP'hCPhTPTPTP（2）a）∴CPTCTPv0bP2PCCVuTb）VP1vv0aTuCTavv0aTTbb2a2CVuaaTvv0aTCaaTCvv0TVbbbbaaTbPCa2aPCbT（或）b因迟缓加热，可以为气体吸热膨胀是一个等压过程，质量为m的气体吸热dQmCPdT（1）PVmmPVRT，RT（2）由QPVCPT2dTPVCPlnT2∴RT1TRT1291031.0110510.99103ln29324.7103J8.31273（1）导热板固定，A中气体为等容加热；B中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热，TATBTQCPTBCVTACPCVTTQQQ334.46.71KCPCV756R68.31RR22QACVT5RT5139.4J22QBQQA334.4139.4195J（2）隔板活动，A气体等压膨胀；隔板绝热，B中气体温度不变。QB0TB0QAQCPTTQ2Q2334.411.50KCP7R78.31gPP01gh1dpdz利用RT，证明：CPT0证明：（1）由绝热过程方程TP1CTT0P1P0（1）（2）将（1）代入dP表达中gP011dPgdPPPdZPPP01dzRT0→RT0→P1111gPh1gP011P0PdPhRT0Pdz1P0RT00→P0→11g1P1gh1PP0P0h1P0RT01RT0→（2）CPRCP1R（3）注意到1，即：（3）1P1gh（3）代入（2）P0CPT0PP01

gh1CPT01hCPT01PgP0DIS：将（2）式整理，代（3）进可得a0Ca02理想气体按VCVP膨胀，证明TV。证明：（1）将Va0PV2a02P整理得：多方指数n2QuACV1P2V2P1V1CVTP2V2P1V1（2）T1nCVTMRTCVMRTCQMRCVPVPV2a02（3）TCVTCVCVTVTVCVMCVCV为热容量，CV为摩尔热容量。NOT：CRTPVPM注意到（4.67）1CVTu01RTRTuu0u0（1）11uC2Const1∴1CPTH01RTH0RThH0（2）11C2hConst∴1T2（1）右则初态P0V0T0、终态P2V2T2，由绝热过程方程T01Au右CVT2T0CVT0P21P011272732CVT0T0CV81CVT081CVR2R11.5）（1T2T027328T0（2）由（1）式：3（3）左边初态亦为P0T0V0，终态为P1V1T1P1P227P0RT∵活塞可挪动，8，由PV3T0RT2P0V0T2P0V024V2P2T0P2T0279V08P014V12V0V2V0927P014V0P1V121T089T0T1P0V0T0∴P0V04（4）由第（1）所求，左边对右边作功A1CVT02Qu右ACVT1T01CVT02CV21T1T01CVT019CVT019RT04242过程很快速，可以为是绝热的。T2V11V4r3由TV1C，T1V2，3151T13131031.41r2r1r11546.4696mT23102

1P2P0（1）RT0DIS：该题估量的结果与r的取值有关性太大。（1）上边的运算取1.4,r2696m。CP7R21.4CV5R2但当，对应双原子，常温状况，明显与题意不合。9R91.286R7（2）若为双原子，取高温2r1r210213232m391则：7（3）由此，按绝热膨胀模型对“火球”半径的估量无实在乎义。该题描绘测方法是1929年Riichhardt设计的，简略描绘为如图。令均衡地点y0，向下为正。（1）y0处，活塞受协力为零。P0AmgPA0PAP0Amg（1）活塞偏离y0处，受协力不为零，当活塞运动至y0之下时，气体被压缩（可以为绝热的），气体压力变成P1A，且P1PVyAV，故VdV，P可记为dP有：P1PdP，活塞受协力FP0AmgP1APAPdPAAdP负号表协力方向与y反向，指向均衡地点y0。气缸内气体变化过程可视为绝热过程，知足PVC。微分得：PV1dVVdP0PdVVdP0因dVdPPdVAPyAy，上式化为：VVFAdPPA2y所以得：V（2）2）式知足Fky，（准弹性力）活塞作简谐振动。2）活塞活动的微分方程为：d2ykm2Fkydtm2mmVT22kPA2（3）42mV422mV0（3）将（3）式改写为：A2PT2P0A2（1）如图，水银总长度为h，y0处两边水银等高，为均衡地点。总质量为m，截面为A。m水银密度Ah左管水银柱下y，则高差为2y，V2yA压强差为Pg2y指向y0处的答复力FPAgA2ymgA2y2mgykyAhh是准弹性力，水银柱将作谐振动md2yFky水银柱运动的微分方程为dt2k2mh1T122m，k2gDIS：考虑水银柱与地球系统的机械能守恒，得运动方程亦可求解。中图为振动初态，所有水银静止，质量为mmax上涨ymax，具有mmaxgymax的势能。右为振动随意状态，所有水银以v1mv2运动，拥有2动能，m为所有水银质量，m部分上涨y，拥有mgy的势能。由机械能守恒：mgy1mv2mmaxgymax2dymgSmhSmmaxySvymaxdt以上五式得：ySgy1hSy2ymaxSgymaxConst2gy21hy2Const2gyyhyy02y2gy02hT12h2g（2）水银柱振荡时，右端被关闭气柱经历绝热过程，设水银柱均衡时，右端气柱长L，左端水银上涨随意地点y时，右端气柱长度为Ly，由绝热过程：PyLySP0LS此中P0gh0PyP0L1P0Ly对细小振动yL可改写为PyP01y1P01y1P0h0gyyP0LLLL由功能关系：mgy1mv2mmaxgymaxAP2式中AP是因为右端空气压强Py与左端空气压强P0对水银柱作功之和，且yAP0PyP0Sdy或dAPPyP0Sdy将上述功能关系改写为：ySgy1hSy2ymaxSgymaxAP2对t求导，将dAP代入：2SgyyShyydAPPyP0Sydt把Py2gyhyPyP0h0gyLP0结果代入：y12gh0gy0或hL上式为右端关闭后，绝热条件下，水银柱作细小振动的运动方程，故水银柱作谐振动，1h022h2gT2h0g2gL2ghL2hh0T12g1T2hh02L2gg（3）由T1和T2得：L2L2T11h0T2（1）氮为双原子气体CV5RCn2R2，经历了多方过程CnCVR2R5RR2RRR即：n12n12n1n3故该过程知足的方程为PVnCPV3C3P03P（2）由过程方程：P0V0P4V064PV064APdVCdV1P0V0311V3216V02V02115P0V0158.31273.151064J21632（负号表对外作功）uMCVT5RP2V2P1V15P04V0P0V022645P0V0P0V0515P0V051521632RT0325158.31273.155320J32（内能减少）QMCnTM2RT2T12P2V2P1V12P0V0P0V015RT0158.31273.154256J1688（系统放热）DIS：uQA425610645320J故不用每一个量都求解。P1V2n（1）PVnCP2V1lnP1P2ln0.100.051.191.2nV2ln4.1lnV12.3（2）uMCVTM5RT2T15P2V2P1V12254.11030.51052.31031.010552.051022.31022262.5J（内能降低）（3）QMCnTCnCVnR5RR15R此中：121.22M5RT2T15P1V162.5J2P2V22（4）uQAAuQ62.562.5125J必定量理想气体，经历PabV（a、b为常数）的过程方程，求C。解：（1）PabVdPbdV（1）对一mol气体：PVRTPdVVdPRdT（2）由（2）式代入（1）：PdVbVdVRdTPbVdVRdTdV

RdT或PVbRPdTRPdTRPdTPdV2PabVbV2PaPVb（3）（2）由热力学第必定律微分表达式dudQdA对一mol气体：CVdTCndTPdV（dQCndT为多方过程）CndTCVdTPdVCVRPdT将（3）式代入：2PaCnCVRPa（4）故：2P（3）由（4）式：CnCVfP该过程热容量不是常数。CmC0a理想气体mol热容为T，求准静态过程方程。解：由热力学第必定律微分表达式dudQdAPdVCmdTCVdTPdVCVCmdT（1）RTCmC0aPT代入（1）由PVRTVRdVCVC0aCVC0dTaTdTdTT（2）VTT2RlnVCVC0lnTa（2）两边积分TlnVRlnTCVC0a

aVRaVRalneTTTCVC0TTCVC0即：eTTCVC0VRConst（1）如图一，等温线T1与绝热线交于aPa,Va。P由PVCPdVVdP0VdPdVP由PVCP0VV将上述两式代入a的参数，依题意：

TS

PVPVPaVa0.7141PaVa1.40.714CVRR5R∴10.42（2）将PT图转变成PV图（二）该循环过程的功AA12A23A34A120A232P1V1V2RT12RT1RT1A34RT1lnV2RT1ln2P1RT1ln2V1P1ART1RT1ln2RT11ln20（该循环为正，循环对外，系统作净功）（3）Q1Q31Q12Q31RT1lnV2RT1ln2V1Q12CV2T1T15RT12ART11ln221ln2Q1RT1ln2552ln2RT12（1）AR23.141105103314J（0系统对外作功）（2）uCVTCTA3PCVCPaVa32105310321051103234105103600J2（3）QABCuACAABCAABC1R2SAC31157311032105557J2QABC6005571157J（4）循环过程为PV图上的园，过程方程为：P2V2221P0V0此中P05Nm2,V0103m3（为标度），若改变P、轴标度，循环过程为椭园，其过程为：2V2V02P2P01P02V02吸热和放热的转折点是绝热曲线与循环曲线的切点，如图。dPdP交（切）点处斜率应知足：dV循环dV绝热dydydx循dx绝y22x221循环曲线xVyPyxConst绝热曲线V0P0令：则：CP5R52x2yCV3R3由此得：y2x2转折点在循环曲线上，故其坐标x,y应知足的二元二次方程组为：3xx25yy20x22y221该方程组的两个解，即为两转折点M、N的坐标。PP02PV2P0Const2V2ca过程方程V0可改写为V0故ca过程为多方过程，其多方指数n2。9P0Tb（1）QabCVTbTa且P0TaTb9TaQab3R9T0T012RT0∴2RT2PCQbcCPTcTb且PV2CPT02Tc2P039P03Tc27T0Qbc5R27T09T045RT02QacCnTaTcCnCVR13RR11Rn236Qca11RT027T047.7RT061Q2Qca147.7RT0147.7116.3%（2）Q1QabQbc12RT045RT057解：（1）由图可知，两个循环绝热线同样，则：Q2Q2'Q2Q2'RT2lnV3V4AA1T21234Q1AQ2T1'A'A'1T212'3'4Q1'A'Q2'T1'Q2'注意到Q2，由上两式得：T1'T1T2A'T23732731.6103273473KA800'1T2127342.3%T1'473（2）解：设锅炉、地下水、暖水系统温度分别为T1、T2、T3，如图为热机Ⅰ和制冷机Ⅱ组合而成的动力暖气装置表示图。T1273210483KT227315288KT327360333KAT3A1T3Q11T1热机的效率Q1T1Q2T2Q2T2AAT3T2T3T2制冷机的制冷系数则暖气系统所得的热量为：QQ3Q4Q1AAQ2Q1Q2Q1T2AQ1T2T3Q1T3T2T3T21T1Q11T21T3T3T2T1H1T2T3H1288333T3T213331483T1288H1288150H11.9863H45483Q2T2（1）（此中AP）AT1T2（2）如下图，夏季空调制冷时为逆向卡诺循环，不论连续工作仍是中断工作，其作功装置供给的均匀功率统记为P，明显连续工作时PP0极大，中断工作时