喀兴林高等量子力学习题EX12-181812

X练习12.1.一维谐振子受微扰的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，2H1在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。（解答人：李泽超核对人：熊凯）解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：HHH......................................................................101m21H1P22mX22AAAAAA122011mXiPAmXiPAPi2m2mmXAAAA2m22m2HXAAAAAAAAAA.........3212mt0时刻起其状态满足薛定谔方程：从谐振子itHt,其中:HHH....................................4t01H的含时本征矢量的展开为：0t1jexpijtat.......................................52jj1tatmtexpimm2微扰H的矩阵元为iHj，具体的形式为：1iHjiAAAAAAAjA利用算符A和A对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：.................6i2,ji2,jiHjii12ii1i2i,j采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式：iiatexpEEtiHjat...................................7jiS1tijj将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：at..8expEEtii12i1i1i2jjjji2,i,ji2,iiattiij经化简得：datiii1exp2itat2i1atexp2iti1i2at...9dti22iii将at的已知的低级的近似nat代入方程的右边，即可以解出高一级的近似ai1t。nii假设初态是n，则可以将零级近似a0t代入方程的右边，得到关于一级近似的方程i,ji如下式：....10i2,jexp2iti1i2i2,jd2i1atiii1exp2it1dtii,j值时，上述的方程有不同的形式，取值对（10）式进行讨论如下：当i取不同的就i的不同的in3::da1t0;dtiin2::da1tiexp2itii12dt2nin1::da1t0;dt1nin::da1t2i1;...........................................11dtnin1::da1t0;dt1nin2::da1tiii1exp2;itdt2nin3::da1t0.dti在初态的条件下，解方程组（11），所得的结果如下：nn1exp21;itna12t2.......................................................12nt21;a1tnnn21exp2it1at1n22当微扰项式时，一级近似的形式如下;HX21nn1exp2it12n1ti,n2i,jiat12n2n1..............................................................13exp2it1i,n22由（9）式和（13）式可以计算出微扰的二阶近似：diat2iii1exp2itat2i1atexp2iti1i2at..14111dt22iii令i取不同的值，确定方程组，得到下列方程组：in5:da2t0;dtiiin4:da2t2nnnn12it3exp2itexp21;dtn42in3:da2t0;dt3nnn1exp2itn231in2:da2ti2;dtn2itnnntexp2121in1:at0;d2dt1nnn1exp2ititntexp21212..142in:da2ti;nndtn2exp2it1exp2it12in1:da2t0;dt1nn2n1exp2it2n1tin2:di2at221exp21it225dtnnnnin3:da2t0;dtn3i2in4:da2t2nnnn4exp2ititexp21123dtn4in5:da2t0.dti214）在初始条件at下的解为：ii,j方程组（;2112nn1n2n3exp2itexp4itat2n4222nn223n211expititat2;n21exp2it1nn12n1exp2it22inn12itexp2it122.........152at;2n2i2n1tn1n22itexp2it1222it225nnn122it1exp22at;2n2exp2it112i2n1n1n2texp2it22in112itexp2itat1234exp4.22n4nnn22利用微扰解的结果如上。下面对本题严格求解:由题意得：系统的哈密顿量形式如下：X2..............................16P21P212m2X2X2Hm122m2m22m22。令：2212m则：HP21m2X22m2以上可以等价为无微扰的情况下的薛定谔方程，其解为：22m12.....................17本征能量取值为：EK1K1221Km取的态函数为：101xHx......................................18x2kk!22kn其中H为n阶厄米多项式。n12114m22m21m212xH122m20xexpx2kk!mkn因为是个小量，所以上式中的三个相乘的因式都可一展开为罗朗级数，三个级数求和式相乘得到的多项式的低阶项（一阶和二阶项）和上面用微扰近似得到的结果及其的相近，没有太大的差别，差别可能出现在三阶或式四阶项上，可见两种方法的到的结果都是有价值的。#练习12.2有一系统，处于的一个本征态n，若由小而大，缓慢的加上一个微0扰，证明此态也缓慢的变化，一直保持为当时的总哈密顿的本征态。证明时取1tetU0,n.，为一小的正数，在一级近似下用（11.42）式求t111（做题人：董廷旭校对人：刘强）Ut,0来计算，这时有，用演化算符证明:在相互作用绘景中It,0Ut0,0UtnII(1)III0et由于t是微扰项，取iitdt1-1Ut,01-It(2)I111100把(2)式代入（1）式得ettiI{1-I01}n0由上式可知此态缓慢变化，一直保持为当时总哈密顿的本征态。nin第二问：U0,10I112.3：计算(12.27),(12.28),(12.29).(选择的是12.28中的第一式)（做题人：刘强校正:董亭序）n!e1f(t)m!!(m)!(nm)!a(t)(t)emf(t)2f(t)2nm解：imt2m!mn0!(n2)!(2)!(n2)!n!(n2)!1(t)en22ae2f(t)2f(t)f(t)i(n2)tnn2n-2,n0n(n1)211(e2e1)1f(t)21n2f(t)2(t)ei(n2)t2itit22m226211(t)en(n1)2(1e)it2int22m#练习14.1对于一个纯态的密度算符，证明：；（1）2（2）在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1；det0。（3）化的纯态为，由解：（1）设归一2所以，2（2）由得即所以1，即在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1。1为(3)由上题知，的本征态则m11nmn它是一个对易得det0m1n1角阵，而且对角元中1只有一个元素不为0（）1111#14.2从一个描写纯态的密度算符，能否求出：（何贤文）（1）任意物理量在此态中取各值的概率？（2）此物理量取各值的概率幅？（3）描写这个态的态矢量？，其中是归一化的态矢量。描写纯态的密度算符解：（1）任意物理量A在态中取值ia的概率W：ia2aaaaWiiiiii是a，态矢量是由有限个态叠i（2）设物理量A的本征矢量为a，相应的本征值i加得到的，即cc2c112nn物理量A在状态中取各值a的概率幅为iaacca1ca2ii1i2inn1c11c212cini12i22nn12cijjj1（3）处于纯态时，系统的密度算符是将上式中的作用于态矢，有即是在上式中，1是算符的一个本征值。的矩阵元可以表示为：在坐标表象中，密度算符rrrr(,)rr即有(r,r)r2#14.3一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是丢失了一些信息呢还是一点信息也没有丢失？（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）解：一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是一点信息也没有丢失。密度算符一个物理量A在态中的平均值可以写成nAntrAAAnnA(1)nn物理量A在态中取值a的概率WiiWiaaaaa2(2)iiiii由（1）和（2）两式可知，密度算符可以完全替代态矢量来描写纯态，密度算符包含了态矢量的一切信息。#14.4对于（14.27）式类型的密度算符[满足（14.28）式的条件]，证明（14.20）和（14.21）二式成立。（做题者：班卫华审核者：何贤文）证明：由题意，得m'Pmmm'PCPC,P1,Cm,C21mimm''imiimiimi取一组基n，利用完全性关系iimnn1，有nm'Pmnnm'CPCmnntrm'mm'im'mmi'mmnm'mnim'm'mmPP1iiiim'miitr2nm'Pmm'Pmnmm'jmm'im'n'CPCmm'm'iiijCPCmjmmmim'jmj'ijmmm'm'Pmmm'm'Pmmiiijjjmm'ijPPPPP2P1j22ijijijiijjiijijijij对纯态，m'Pm,2mm'm'Pmmm'm'CPCmnm'Pmnn2ntr2mm'm'iiminnmm'mmPP1mm'im'm'iiiimm'ii#中参与混合态的练习14.5当（14.19）式状态是归一i化且互相正交时，重新证明密度算符的性质即（14.20）和（14.21）二式。（张伟）证明：取一组基{n}，利用完全性关系nn1，有n|p|n|npp1iitriiiiiniii上式即为（14.20）式tr2n|p|p|niiijjjijn|ppj|jiijiij因为（14.19）式中参与混合态的状态是归一化且互相正交的，所以i|j即tr2iijppp1jiijijiiji#练习14.6由一个单电子自旋态，已知在此态中自旋三个分量的平均值S、S、S，xy求：（1）此态的密度矩阵；（2）此态纯态的条件。成为010i10Sx，S，S解：（1）已知2102i0201yabcd令由AtrA，得01abcd2(cb)SSStrStr210tr（1）（2）（3）2cdabxyx0iabicid(icib)ibtrStrcdtr2022iiay10abab2(ad)trStrtr201cdcd2tr1密度算符的性质，又由ad1所以（4）由(1)、(2)、(3)、(4)可解得：SiSx12SySiS1SxY2tr1（2）满足纯态的条件是2SiSxSiSx1212SSyy2SSSiSSiS11xYxY22S2Sx2(1S)2y22S2Sx22(12)2Sy12S22(S2Str2)12222xy即得S2S2S224xy2S2S2S2。所以此态成为纯态的条件是4xy#14.7有一自旋混合态，其参与态及概率如下：（高思泽）121111,p12,p;,p;11044412322（1）求这个态的密度矩阵，判断此态是否混合态。（2）求能给出同样密度矩阵的两个正交态及相应的参与概率。（3）用（2）中所求得的结果反过来去计算密度矩阵作为验证。解：（1）这个态的密度矩阵为11151110112211181311221140242222tr1,tr291，所以此态为混合态。可以算出16（2）是厄米算符，求出其本征态和本征值。1令其本征态，本征值为p，则a5111|1p813aa52解得：a12,p88本征态和本征值为：1p12,1228111p12,122812,可知正交，其相应的本征值即为相应的参与概率。12（4）用（2）中所求得的结果反过来去计算密度矩阵51112281112281121121312128可知（2）所求的正交态得出的密度矩阵与题目给出的自旋混合态是一样的。#ψψ15.1将狄拉克方程（15.11）式左乘以*，再将（15.11）式的左矢形式右乘以，二式相加，从而证明由狄拉克方程可以导出连续方程ψtj0。（孟祥海）并证明ψjcψ*αψj0ψ*ψt证明：狄拉克方程：tmc2icψ0αi（15.11）（1）ψ将（15.11）式左乘以*得到tiψ*ψicαψ*ψψ*mc2ψ0ψ将（15.11）式的左矢形式右乘以得到tψ*icαψψ*ψ*imc2ψ0（2）将（1）式加上（2）式得到i(ψtψ*ψ*ψicψψψψt)α(*)0（3）*化简得到ψψ*icα(ψ*ψ)0itjcψ*αψ，上式可表述为另并且ψψ*ψtj0即得证。#15.2不用具体矩阵形式，证明：（1）(αA)(αB)2AB(αB)(αA)（2）(αA)(1)(αB)(1)0（3）tr0,tr0,tr0,trtr0iijijk式中A和B是位形空间中的矢量算符，互相对易。（孟祥海）证明：（1）是自旋空间算符，A,B是位形空间算符。因此，与A,B是相互对易的。所以可αα以利用公式(αA)(αB)ABiα(AB)（1）（2）(αB)(αA)ABiα(BA)ABiα(AB)（1）+(2)得，(αA)(αB)2AB(αB)(αA)即得证。（2）(αA)(1)(αB)(1)(αA)(αB)(αA)(αB)(αA)(αB)(αA)(αB)21利用公式且与A,B也是相互对易的。0ααii上式可以转变为：(αA)(1)(αB)(1)(αA)(αB)(αA)(αB)(αA)(αB)(αA)(αB)20即得证。i00100I其中，I01I0α（3）由和的定义式：ii100000100Itrtrtr0所以，00100I0001I0000I0ItrtrtriiI00iii0trII000Itrtr0jijiI0000ijijij00II000Itrtrtr0jIij0kik0000ijkijkijk#练习15.3证明(15.27)(15.28)和(15.29)三式.（邱鸿广）证明：（15.27）式：ABiABABABiABiijijijijkkjijijk（15.28）式：zBBBzABABABAAAxxyyxxyyzzAB2AB2ABxAB2yxxyyyzzzxyxyxyxABzABABxyzyzzyyzxzxxzzixyzyx21及z利用22xyiizyzxzyzxyx即得到：zABABABABiABABxxyyzzxyyxiABABiABABxyzzyyzxxzABiAB（15.29）式：ABABiAB（未证明）5P练习17.1证明当给定后，（17.20）中式的四个态是相互正交的。aptNprEt；prEti即tNeieapaaprEt.iei；prEttNtNepp（杜花伟）证明：根据coseisinei2222sineicosei2222可得到：i212cosei2sinei2sinecoseii22222sinei2sinei2cosecoseii2022222cosei2cosei2sinesineii2022222sinei2cosei2cosesinei212222P当给定后，而N为归一化常数：ieprEtNprEtittNpaeapa20paiittNaeprEtNeprEtp