17重点高中自主招生数学试题

#/9数学测试试卷2017.2、选择题（每小题6分，共60分）1、已知l-2015=5，则（%-2）3-（XF"1=（）1 %-2A、2016B、2017C、2018D、20192、已知关于x的不等式组2、已知关于x的不等式组2%+5 「 1>53%+3 1>%2恰有三个整数根。则t的取值范围是（••号位座.•号场试•・名姓.・级班•・校学读就3+->192v7C、A、B、D、2••号位座.•号场试•・名姓.・级班•・校学读就3+->192v7C、A、B、D、232ABA、一12<一8B、.工<t<.3C、_3<t<-4D、/<t<-87 7 7 2 2 3 3 73、如图，六边形ABCDEF由五个单位正方形组成，称能平分此六边形的面积的直线为“好线”。则共存在“好线”（）条。A、1 B、2C、3D、无数4、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B（3,工’3），C（1,0），P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为（）5、已知乂、y、z均为非负数，且满足y+z-1=4-y-2z=x。若w=2x2-2y+z，则w的最小值为（）23 1A、-1B、・仁--D09 26、如图，正^ABC的边长为6，D、E分别为边BC、AC上的一点，满足CD=AE。设BE与AD交于点F,连结CF,作EG〃CF与AD交于点G。若EF=1,则AG的长为（）A、1B、1C、1D、26 2.如图，4ABC的外接圆。O的半径长为5,BC=8,点P为BC的中点，以点P为圆心作。P,若。P与。O相切，则。P的半径长为（ ）

A.3B.3.5C.A.3B.3.5C.2或8D.2或4（第7题图）B C（第8题图）B,C都在格点上，则在网格.如图，在菱形网格中，每个小菱形的边长都是1,点A,中与B,C都在格点上，则在网格D.8A.5B.6 C.7D.8.如图，直线11：y=x-1与直线12：y=2x—1交于点P,直线11与x轴交于点A.一动点C从点A出发，沿平行于y轴的方向向上运动，到达直线12上的点B1,再沿平行于x轴的方向向右运动，到达直线11上的点A1；再沿平行于y轴的方向向上运动，到达直线12上的点B2,再沿平行于x轴的方向向右运动，到达直线11上的点A2,…依此规律，则动点C到达点A10所经过的路径总长为（）A.210-1B.210-2C.2ii-1 d.2ii-210.如图，在Rt△ABC中，NACB=9010.如图，在Rt△ABC中，NACB=90°,CDXAB于点口，点E边AC,BC上，EDXDF于点D延长FD交CA的延长线于点G,若AC=2,BC=4,则UAE的长是C.D.、填空题（每小题6分，共36分）11、已知为m、n、P实数，若x-1、x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m-2n-p+86=.12、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，DABOC的对角线交k/八、于点M,双曲线y=—（x<0）经过点B、M。若DABOC的面积为x24,则"k=.13、已知4ABC中，CD是边AB上的高，且CD2=AD-BD,NB=2Oo,则NBAC的度数为

1 .14、如图，直线y=--X+1与X轴、y轴分别交于点B,A,点C与B关于y轴对称，以AC为直角边在第二象限内作等腰Rt^ACD,过点D作DE^x轴于点E。若直线y=kx-2k将四边形OADE分为面积相等的两部分，则k=.15、如图，已知半径为1的圆的圆心为M(0,1),点B(0,2),A是x轴负半轴上的一点，D是OA的中点，AB交。M于点C。若四边形BCDM为平行四边形，则UsinZABD=.16、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连结CE、DF交于点v.2010-G,连结86。若EG=-5，贝UBG二第14第14题图 第15题图三.解答题.(本题满分12分)现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个小正方形.⑴用含n的代数式表示m；⑵当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值.

.(本题满分12分)阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0(A、B、C是常数，且A、B不同时为0).如图1,点P(m,n)到直线l：Ax+By+C=0的距离(d)计算公Axm+Bxn+Cl式是：d= .\；A2+B2例：求点P(1,2)到直线y=-x--的距离d时，先将y=-x--化为5x-12y-12 6 12 62=0,再由上述距离公式求得d=%：52+(—12〉135x1+(-2=0,再由上述距离公式求得d=%：52+(—12〉13解答下列问题:4如图2,已知直线y=--x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线3y=x2-4x+5上的一点M(3,2).(1)求点M到直线AB的距离.(2)抛物线上是否存在点P,使得4PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及4PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.

19.（本题满分14分）如图，扇形OMN的半径为1,圆心角是90°,点B是弧MN上一动点，BAXOM于点A,BCXON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q N（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（5分）（2）随着B的运动，OA长也随之发生变化，探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（5分）（3）连结PQ,试说明3PQ2+OA2是定值.（4分）20.（本题满分16分）如图1,二次函数y二1x2-2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k#0）的2图象交于A,B两点，点A的坐标为（0,1）,点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k#0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48.（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD//x轴，射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE±x轴于点E,PFXBC于点F,当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A,点B重合），使GH+12BH的值最小，求点H的坐标和GH+J2BH的最小值；（3）如图2,直线AB上有一点K（3,4）,将二次函数1y=-x2-2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（住0）,平移后抛物线使点A,点C的对应点分别为点A‘，点C'；当^A'C'K是直角三角形时，求t的值。

数学测试卷答案及评分标准2017.2、选择题（共8小题，每小题6分，满分48分）题号12345678910答案DCDBBCCCDB、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）c 3 .10 ―11、10012、—813、700或110014、——15、--1611、10012、14 10三、解答题（15题10分，16题12分，17题14分，共36分）17.解：（1）图1中火柴棒的总数是（+1）根，图17.解：（1）图1中火柴棒的总数是（+1）根，图2中火柴棒的总数是（5n+2）•・•图1和图2的火柴棒的总数相同， .•・+1=5n+2,. 5n+1；.m= 3（1分）IE图1（3分）（2）设图3中有3p个正方形，那么火柴棒的总数图2是（7p+3）根，由题意得：a=3m+1=5n+2=7p+3, （2分）•.p=3m•.p=3mz2=5nzi7 7（2分）,;m,n,p均是正整数（2分）•m=17,n=10,p=7时a的值最小，（2分）TOC\o"1-5"\h\z21.（1）证明：连接OB,如图①，,・，BA，OM,BC±ON,AZBAO=ZBCO=90°,VZAOC=90°,二四边形OABC是矩形. （2分）AB〃OC,AB=OC,；E、G分别是AB、CO的中点，・，・AE〃GC,AE=GC,二四边形AECG为平行四边形.・・・CE〃AG, （2分）；•点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF〃OB,DE〃OB,・，.PG〃EQ,・•.四边形EPGQ是平行四边形； （1分）（2）如图②，当NCED=90。时，平行四边EPGQ是矩形.此时NAED+NCEB=90。.（2分）OA=x,AB=y,（2分）（2分）OA=x,AB=y,（2分）则△AEDsABCE,则ADAE二= .设BEBCx.y_y.丫，得y2=2x2,：一：x222又OA2+AB2=OB2,即X2+y2=12./.X2+2x2=1,解得：X=_l.（1分）当OA的长为3时，四边形EPGQ是矩形;

（3）如图③，连接GE交PQ于。',二•四边形EPGQ是平行四边形，...O'P=O'Q,O'G=O'E.过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B’、A.PGPEGE2TOC\o"1-5"\h\z由^PCF-△PEG得，—=亍=亍=彳， （1分）PFPCFC1… 2- 1…・•・PA/=3A/B/=3AB，在Rt△PA'O‘中，PO‘2=PA'2+A'O’2， （1分）PQ2 AB2OA2即 = +--，贝U9PQ2=4AB2+OA2，XAB2+OA2=OB2=1（1分）4 9 364.•・9PQ2=3AB2+1，即9PQ2=3（1-AO2）+1，整理得：3PQ2+OA2=3（1分）解：(1)C(2，-1).由S^AMO：S四边形AONB=1：48，可得由S^AMO：SABMN=1：49，所有BN=7，带入二次函数解析式可得B(6,7)。所以yAB=x+1,yBC=2x-5.」一5(2)设点P(x0,xo+1)，则D(£，xo+1)，则PE=xo+1，PD=3-0.5xo，由于APDF相似4862所以PF:PD的值固定，于是PE.PF最大时，PE.PD也最大，——70+—z0+3即PE.PF最大。PE.PD=(x0+1)(3-0.5x0)=工2 ，所以当x0=2.5时，PE.PD即PE.PF最大。此时G(5,3.5)也可得AMNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，则TBH=B1H，也GH+工BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，所以当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H(5,6)，最小值为7-3.5=3.5(3)令直线BC与x轴交于点I，则I(2.5,0)于是IN=3.5，IN：BN=1:2，所以沿直线BC平移时，横坐标平移m