弹性力学等截面直杆的扭转

弹性力学等截面直杆的扭转第1页/共98页§10-1扭转问题中应力和位移§10-2扭转问题的薄膜比拟§10-3椭圆截面的扭转§10-4矩形截面杆的扭转§10-5薄壁杆的扭转§10-6扭转问题的差分解主要内容

第2页/共98页§10-1扭转问题中应力和位移问题：（1）等截面直杆，截面形状可以任意；（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩M；求：杆件内的应力与位移？1.扭转应力函数求解方法：按应力求解；半逆解法（3）两端无约束，为自由扭转，不计体力

；材料力学结果：（1）（∵自由扭转）（2）侧表面：（10-1）扭转问题的未知量：——为三向应力状态，且不是轴对称问题。——由材料力学中某些结果出发，求解。第3页/共98页扭转问题的基本方程平衡方程：（8-1）将式（10-1）代入，得：（a）——扭转问题的平衡方程相容方程：第4页/共98页相容方程：（9-32）——扭转问题的相容方程（c）边界条件：（1）侧面：（2）端面：（∵n=0,）（b）（d）（e）（f）第5页/共98页（a）（b）——扭转问题的相容方程——平衡方程基本方程的求解由式（a）的前二式，得——二元函数由式（a）的第三式，得由微分方程理论，可知：一定存在一函数（x，y），使得：于是有：（10-2）（x，y）——扭转应力函数也称普朗特尔(Prandtl)应力函数第6页/共98页（10-2）（b）——扭转问题的相容方程将式（10-2）代入相容方程（b），有（10-3）由此可解得：——用应力函数表示的相容方程式中：C为常数。结论：等直杆的扭转问题归结为：按相容方程（10-3）确定应力函数（x，y），然后按式（10-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。第7页/共98页定解条件——边界条件（1）侧表面：（8-5）0000000000将、

l、m代入上述边界条件，有第8页/共98页（10-2）

又由式（10-2），应力函数差一常数不影响应力分量的大小，表明：在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数应取常数。（10-4）——扭转问题的定解条件之一。

对于多连体（空心杆）问题，在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：于是对单连体（实心杆）可取：Ci

——由位移单值条件确定。第9页/共98页（2）上端面：（8-5）00000000由圣维南原理转化为：（c）（d）（e）第10页/共98页（c）（d）（e）对式（c），应有同理，对式（d），应有对式（e）：第11页/共98页分部积分，得：同理，得：将其代入式（e）：得到：（10-5）yCD第12页/共98页结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：（10-3）泛定方程：定解条件：（10-4）（10-5）应力分量：（10-2）——应力函数法（10-5）对多连体情形，有其中：——分别为第i个内边界上φ的值和第i个内边界所围的面积。第13页/共98页2.扭转的位移与变形由物理方程，得：再几何方程方程代入，有（f）积分前三式，有代入后三式，有第14页/共98页又由：得：从中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、x、y、z

和以前相同，代表刚体位移。

若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有（10-6）将其用极坐标表示：由将式（10-6）代入，有：由此可见：对每个横截面（z=常数）它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度=Kz。K

——单位长度杆件的扭转角

。第15页/共98页（10-6）将其代入：有：将两式相减，得：（10-7）（10-8）将其对照式（10-3）：（10-3）可见：（10-9）实际问题中，K可通过实验测得。第16页/共98页小结：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭转问题应力的求解（10-2）（x，y）——扭转应力函数——(Prandtl)应力函数（10-3）（10-4）（10-5）应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程1.扭转问题按应力求解的基本方程——应力函数法应力的确定第17页/共98页（10-6）K

——单位长度杆件的扭转角（10-7）3.扭转问题杆件位移与变形——杆件的抗扭刚度或：——扭转杆件的变形——扭转杆件的位移第18页/共98页本章前面内容回顾：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭转问题应力的求解（10-2）（x，y）——扭转应力函数——(Prandtl)应力函数（10-3）（10-4）（10-5）应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程1.扭转问题按应力求解的基本方程——应力函数法应力的确定第19页/共98页（10-6）K

——单位长度杆件的扭转角（10-7）3.扭转问题杆件位移与变形——杆件的抗扭刚度或：——扭转杆件的变形——扭转杆件的位移第20页/共98页§10-3椭圆截面的扭转xyOab1.问题的描述椭圆截面直杆：长半轴为a，短半轴为b，受扭矩M

作用。求：杆中的应力与位移。2.问题的求解求应力函数根据：（10-4）及椭圆截面方程：可假设：（a）（b）式中：m为待定常数。将其代入方程（10-3）：得到：（c）利用方程（10-5）：第21页/共98页xyOab（c）利用方程（10-5）：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）第22页/共98页xyOab（e）（c）将其代入式（e）,得：（f）至此，满足所有的条件：（10-4）（10-3）（10-5）求剪应力（1）剪应力分量：（10-12）（2）合剪应力：（10-13）第23页/共98页求剪应力（1）剪应力分量：（10-12）（2）合剪应力：（10-13）（3）最大、最小剪应力：对上式求极值，当xyOabABCD（10-14）

当a=b时，与材料力学中圆截面结果相同。第24页/共98页求杆的形变与位移xyOabABCD由得到：（10-15）——杆件单位长度的扭转角单位长度的扭转角位移分量由（10-6）（10-16）（10-7）可求得：由式（10-7）和式（f）:（f）第25页/共98页xyOabABCD比较两式，得：对其分别积分，得：式中：w0为常数，代表刚体位移。若不计刚体位移，则有：（10-17）表明：（1）扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。（2）曲面的等高线在xy面上的投影为双曲线，其渐近线为x、y轴。（3）仅当a=b时（圆截面杆），才有w=0，横截面保持平面。第26页/共98页xyOabABCD讨论：

应力函数的选取——可利用杆截面的边界方程，如：（a）椭圆：——边界曲线方程——应力函数（b）等边三角形：=常数（c）带半圆槽的杆：小圆：大圆：=常数第27页/共98页（d）矩形截面杆：yxOAa/2a/24条边界的方程为：假设扭转应力函数为：≠常数表明：——上述函数不能作为扭转应力函数。第28页/共98页扭转应力函数的求解方法小结:根据扭转应力函数在侧面边界上应满足：半逆解法:由扭转杆件截面边界给出的方程：设定:扭转应力函数为：——显然，满足侧面的边界条件判断：扭转应力函数是否满足：若满足，则由此确定待定常数m，得应力函数(x,y)。如：椭圆截面杆的扭转应力函数(x,y)xyOab椭圆截面方程：可假设：第29页/共98页如：等边三角形截面杆的应力函数(x,y)等边三角形截面边界方程：可假设应力函数(x,y)：=常数如：带半圆槽截面杆的应力函数(x,y)小圆：大圆：=常数可假设应力函数(x,y)：注意：半逆解法不是对所有情形都适用。如：对矩形截面杆不适用。第30页/共98页（10-3）（10-4）（10-5）——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程第31页/共98页例：图示空心圆截面杆件，外半径为a，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。解：求应力函数abxy

为使在外边界上的值为零，内边界上的值为常数，可取：（1）

由端部边界条件式（10-5）′得：于是，得（2）第32页/共98页abxy（3）求剪应力（4）（5）求变形与位移单位长度扭转角：第33页/共98页abxy位移分量：（10-6）（10-7）由：——刚体位移由于变形引起的轴向位移：即平面保持平面假设成立。第34页/共98页例：图示空心椭圆截面杆件，边界的方程分别为：试求其扭转剪应力及位移。内边界：外边界：（作为作业题）第35页/共98页T§10-2扭转问题的薄膜比拟1.薄膜比拟概念比拟的概念：如果两个物理现象，具有以下相似点：（1）泛定方程；（2）定解条件；

则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。扭转问题的薄膜比拟：——由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出

薄膜在均匀压力下的垂度z

，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。z因此，可用求薄膜垂度z变化规律的方法来解等截面杆扭转问题。——扭转问题的薄膜比拟方法。——为扭转问题提供了一种实验方法2.薄膜比拟方法第36页/共98页zT

设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度z

。有关薄膜假定：

不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力T

（单位宽度的拉力）作用。2.薄膜比拟方法方法说明：

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如图，ab边上拉力：ab边上拉力在

z

轴上投影：cd边上拉力：cd边上拉力在

z

轴上投影：ad边上拉力：ab边上拉力在

z

轴上投影：bc边上拉力：bc边上拉力在

z

轴上投影：第37页/共98页zT在

z

方向上外力：两边同除以dxdy，整理得：或：（10-10）边界条件：（10-11）对于均布压力，有：式（10-10）和（10-11）变为：（a）第38页/共98页zT（a）另一方面，扭转问题有：（10-8）（10-4）将式（10-8）、（10-4）改写为：（b）比较式（a）、（b）可见：

当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：与决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：（c）第39页/共98页zT3.扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系薄膜与边界平面间的体积为：由式（c）:（c）得到:代入上式，有:由式（10-5）：得到：（d）

或扭矩M与薄膜体积的关系第40页/共98页截面剪应力与薄膜斜率的关系zT

由可得：其中：薄膜垂度z

沿y方向的斜率。（e）（f）结论：

当薄膜受均布压力q作用时，使得：则得：（1）（2）（3）第41页/共98页zT结论：当薄膜受均布压力q作用时，使得：则得:（1）（2）（3）

由于x、y轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：

（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。

（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。

注：最大剪应力的方向，与该薄膜的最大斜率的方向垂直。第42页/共98页剪应力环流公式：C

图中曲线C为薄膜变形后的某一条等高线，B为等高线上某一点，C上有：=常数即，垂度z对曲线C的切向导数为零：对于扭转杆件，沿曲线C有而：（10-2）(a)

等高线C上任一点B的剪应力在法向上投影之和为零，即，B点的剪应力方向必沿此等高线的切线方向。表明：

薄膜上的等高线C在边界平面上投影，即为扭转截面上剪应力流线。——法向剪应力——切向剪应力第43页/共98页C由薄膜垂度与扭转应力函数的关系，得到：各点剪应力与对应薄膜在该点的最大斜率成正比，

等高线C上任一点B的剪应力在法向上投影之和为零，即，B点的剪应力方向必沿此等高线的切线方向。表明：

薄膜上的等高线C在边界平面上投影，即为扭转截面上剪应力流线。——切向剪应力而最大剪应力的方向与薄膜在该点的最大斜率方向互相垂直。用等高线所在的平面截割薄膜，由其z方向平衡，其中：A为所截处等高线所围的面积；为所截薄膜在等高线处的斜率。C第44页/共98页因为：所以，有：或：C用等高线所在的平面截割薄膜，由其z方向平衡，其中：A为所截处等高线所围的面积；为所截薄膜在等高线处的斜率。(b)将其代入式（b）,有(c)化简式（c）,有(d)——剪应力环流公式

表明：

剪应力沿流线的积分与杆件的单位扭转角K、剪应力流线所围面积A成正比。第45页/共98页结论：扭转应力函数的两个基本性质性质1：截面内任一点的总剪应力必指向该点处应力函数等值线的切线，其大小等于应力函数的负梯度，即沿内法线方向的导数值：性质2：在应力函数的闭合等值线上，剪应力环量和等值线所围的面积A成正比，即：——剪应力环流公式剪应力环量第46页/共98页§10-4矩形截面杆的扭转yxOAa/2a/21.问题：图示矩形截面杆：a、b、M

（1）

（2）两种情形：a>>b；求：杆的应力与位移。2.问题的求解（1）a>>b情形：——狭长矩形一般情形；求应力函数∵a>>b，由薄膜比拟可以推断，应力函数

绝大部分截面几乎不随x变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。∴可以近似地取：而：变为：对上式积分，有利用边界条件：第47页/共98页yxOAa/2a/2可求得：（a）利用式（10-5）：积分求得：（b）（c）求剪应力（1）剪应力分量：（10-18）（2）最大剪应力：（10-19）第48页/共98页yxOAa/2a/2杆件的变形单位长度扭转角：由式（10-9）：（10-20）此时应力函数可表示为：（d）（2）任意情形（a/b=任意值

）：求应力函数基本方程与边界条件：此时应力函数为一般函数：求解思路：对狭长矩形结果，进行修正。将分解成两部分，即：其中：1为狭长矩形的应力函数，即：（e）（f）（g）第49页/共98页yxOAa/2a/2（g）调整函数F，使其满足边界条件：将式（g）代入方程：得到：因为：∴有：（h）表明：F

应为一调和函数。原问题转化为：（i）

由问题的对称性，F应为x、y的偶函数。满足上述条件的函数只能是：（j）第50页/共98页yxOAa/2a/2将式（j）代入式（i）第二式，得：原问题转化为：（i）满足上述条件的函数只能是：（j）将上式右边为级数，并比较两边系数，有第51页/共98页yxOAa/2a/2代入函数F，有最后确定应力函数为：（k）第52页/共98页求最大剪应力：yxOAa/2a/2

由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点A：x=0,y=b/2）,其大小为：（l）单位长度扭转角K：应用式（10-5）：第53页/共98页（m）代入式（l）,得最大剪应力公式：yxOAa/2a/2（n）将上述两公式表示成：(10-21)(10-22)式中：、1仅与a/b

有关，可列表查得。第54页/共98页系数、1

表：a/b1a/b11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2315.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258∞0.3330.333正方形截面杆（a=b）翘曲后截面变形的等高线如图：实线表示向上翘曲（凸）；虚线表示向下翘曲（凹）。第55页/共98页前面内容小结：1.扭转问题的基本方程平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.求解扭转问题的应力函数法（10-2）（x，y）——扭转应力函数——(Prandtl)应力函数引入一应力函数（10-3）（10-4）（10-5）应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程第56页/共98页（10-6）K

——单位长度杆件的扭转角（10-7）扭转杆件位移及变形的确定——杆件的抗扭刚度3.扭转应力函数的求解方法根据扭转应力函数在侧面边界上应满足：半逆解法：由扭转杆件截面边界给出的方程：第57页/共98页3.扭转应力函数的求解方法根据扭转应力函数在侧面边界上应满足：半逆解法:由扭转杆件截面边界给出的方程：设定:扭转应力函数为：——显然，满足侧面的边界条件判断：扭转应力函数是否满足：若满足，则由此确定待定常数m，得应力函数(x,y)。如：椭圆截面杆的扭转应力函数(x,y)xyOab椭圆截面方程：可假设：第58页/共98页如：等边三角形截面杆的应力函数(x,y)等边三角形截面边界方程：可假设应力函数(x,y)：=常数如：带半圆槽截面杆的应力函数(x,y)小圆：大圆：=常数可假设应力函数(x,y)：注意：半逆解法不是对所有情形都适用。如：对矩形截面杆不适用。第59页/共98页4.扭转问题的薄膜比拟理论理论依据薄膜的垂度z：（10-10）（10-11）应力函数:（10-3）（10-4）对应关系：当薄膜受均布压力q作用时，有（1）（2）（3）Tz（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。注：最大剪应力的方向，与该薄膜的最大斜率的方向垂直。第60页/共98页5.扭转应力函数的两个基本性质性质1：截面内任一点的总剪应力必指向该点处应力函数等值线的切线，其大小等于应力函数的负梯度，即沿内法线方向的导数值：性质2：在应力函数的闭合等值线上，剪应力环量和等值线所围的面积A成正比，即：——剪应力环流公式剪应力环量C第61页/共98页6.矩形截面杆扭转应力函数的确定（1）a>>b情形：剪应力：（10-18）（2）最大剪应力：（10-19）应力函数：杆件的变形（10-20）第62页/共98页（2）a、b为一般情形：应力函数剪应力分量：(10-21)(10-22)杆件的变形式中：由有关手册查表得。第63页/共98页矩形截面扭转应力函数求解（讨论）：yxOAa/2a/2（对a、b为一般情况）（1）以狭长矩形解为基础：（2）在狭长矩形解上叠加上调和函数：求出调和函数则所求应力函数即为：分析：从微分方程求解方法的角度看：为非齐次方程（10-3）的一特解；求应力函数（10-3）（10-4）（10-5）为对应齐次方程：的通解。扭转应力函数求解的逆解法：第64页/共98页求应力函数（10-3）（10-4）（10-5）扭转应力函数求解的逆解法：（1）求方程（10-3）的特解1，即在域内满足：如：（2）求方程（10-3）的齐次通解F(x,y)，即在域满足：——F(x,y)为一调和函数。调和函数F(x,y)

的选取：由复变函数理论可知，复变函数的实部和虚部以及它们的任意线性组合均为调和函数（∵zn

为解析函数），（3）将特解1与齐次通解F(x,y)叠加，使其满足边界条件：均可作为方程（10-3）的齐次通解F(x,y)

。第65页/共98页如：椭圆截面杆的扭转应力函数(x,y)：xyOab特解通解取：其中：B、m待定常数。全解适当选取C、B，使其满足：可求得：代入得：——同前面所求结果即：第66页/共98页扭转问题解题小结：（1）求应力函数（10-3）（10-4）（10-5）

由式（10-4）及边界的几何形状设定应力函数，然后由式（10-3）、（10-5）确定待定常数。对多连体截面杆：（10-3）（10-4）′（10-5）′其中：（1）Ai

为第i个内边界所围的面积;（2）i

为第i个内边界的值;第67页/共98页（3）求变形与位移单位长度扭转角：（10-9）位移分量：（10-6）（10-7）（2）求应力分量和最大剪应力（10-2）合剪应力：第68页/共98页§10-5薄壁杆的扭转1.开口薄壁杆件扭转分类：（1）开口薄壁杆件；（2）闭口薄壁杆件。——仅讨论其自由扭转。假定：（1）由于杆件壁厚b

很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；（2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。扭转剪应力与变形：

设ai、bi

分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i

代表该矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有第69页/共98页扭转剪应力与变形：

设ai、bi

分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），i

代表该矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有（a）（b）由式（b）得：（c）整个横截面上的扭矩为：（d）比较式（c）与式（d），有：将上式代回式（a）（b），有：该矩形长边中点附近的剪应力及杆件的扭转角：第70页/共98页（10-23）（10-24）

由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的抗扭刚度为：

说明：（1）式（10-23）给出的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。——应力集中。（2）连接处应力随连接圆角的半径而变化，图中给出胡斯（J.H.Huth）用差分法计算得到的结果。第71页/共98页2.闭口薄壁杆件扭转扭转剪应力：——由薄膜比拟方法分析。方法说明：

在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；

为使薄壁杆横截面的内边界上的垂度为常量，假想在薄膜上粘一无重不变形的平板，平板的大小、形状与横截面的内边界相同；

由于杆壁的厚度很小，可以预料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可视为常量，如图所示。

于是，杆壁厚度为处的剪应力大小（等于薄膜的斜率）为：（e）

由杆横截面上的扭矩M与薄膜、杆横截面所围的体积间关系，有：（f）

式中：A为横截面内外界所围面积的平均值。

由此得：

将其代入式（e），有：（10-25）第72页/共98页（10-25）显然，其最大值发生在壁厚最小处，即：扭转变形——单位长度扭转角K考虑平板CD的平衡：

在杆壁中线取一微小长度ds，该微段薄膜对平板的拉力为：Tds，它在z轴方向的投影：平板所受的压力（z轴方向）为：由z轴方向力的平衡，即由式（f）可得：而:由此可得：第73页/共98页因而，可求得：（10-26）对于均匀厚度的闭口薄壁杆，

为常量，上式即变为：（10-27）式中：s为杆壁中线的全长。

说明：

（1）在截面的凹角处，局部的最大应力max可能发生远大于式（10-25）给出的应力值。

（2）局部最大应力随凹角处的圆弧半径的增大而减小。杆的抗扭刚度：第74页/共98页例：如图所示，开口和闭口薄壁杆件，两者的壁厚相同，试比较受扭时的剪应与抗扭刚度。解：（1）开口薄壁杆件剪应力：由式（10-23）：得：抗扭刚度：由式：（2）闭口薄壁杆件剪应力：由式（10-25）：由式（10-25）：抗扭刚度：第75页/共98页（3）两者比较：剪应力：设：抗扭刚度：可见：对于截面积大致相同的两种薄壁杆，开口剪应力是闭口的15倍；闭口的抗扭刚度是开口情形的75倍；结论：开口薄壁杆件比闭口薄壁杆件的抗扭能力差。第76页/共98页横截面有两个孔的多连通域情况：由薄膜比拟方法，设1、2、3都很小，有（a）（b）由薄膜所围体积与扭矩的关系，有（c）其中，A1、A2为闭曲线（虚线）C1、C2所围的面积。又由剪应力环流公式：得到：亦为常量，且有对于1、2、3为常量，（d）其中：第77页/共98页（b）（c）（d）其中：s1、s2、s3

分别为中心线ACB、BDA、BA的长度。联立求解式（b）、（c）、（d）得第78页/共98页联立求解式（b）、（c）、（d）得或：其中：第79页/共98页例：如图所示，均匀厚度

的闭口薄壁管，承受扭矩M作用，试求管中的剪应力

与单位长度扭转角K。解：ABCDEFA1A2s3s1s2由题意可知：第80页/共98页说明：（1）当截面形状对隔板AB对称时，隔板上剪应力3=0。即扭矩

M

完全由蒙皮CDEF承受，隔板AB仅起保护截面形状的作用。（2）例：如图所示，均匀厚度

的闭口薄壁管，承受扭矩M作用，试求管中的剪应力

与单位长度扭转角K。解：ABCDEFA1A2s3s2由题意可知：s1用类似方法可求截面上有多个孔洞的扭转达问题。第81页/共98页

小结：（1）开口薄壁杆件：（10-23）（10-24）剪应力：单位长度扭转角：抗扭刚度：（2）闭口薄壁杆件：剪应力：（10-25）单位长度扭转角：（10-26）（10-27）抗扭刚度：对于均匀厚度的闭口薄壁杆：对于均匀厚度的闭口薄壁杆：第82页/共98页例：如图所示，为等厚双连薄壁杆件，其右侧竖壁开一水平缝口，受有扭矩M作用，试求其最大剪应力与单位长度扭转角K。解：（1）闭口部分剪应力：由式（10-23）：得：单位长度扭转角：由式（10-25）：由式（10-26）：得：（2）开口部分剪应力：其中：M1为闭口部分上作用的扭矩，1、K1为闭