第二十四章24.12垂直于弦的直径

第24章 圆24.1.2 垂直于弦的直径典型例题精析

例1 如图24-1-20，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．

(1)求证：AC=BD；(1)证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD.(2)若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．(2)解：连接OC，OA．∵OE⊥AB，OE⊥CD，1．(2016黄石)如图24-1-21，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB于点N，则ON等于( ) A．5 B．7 C．9 D．11变式练习A2．如图24-1-22，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为

cm．53．如图24-1-23，⊙O内两弦AB、CD相交于点P，OP平分∠APC.下列结论中： ①AB=CD； ② ③PB=PO； ④AP=PB.

其中正确结论是

．(填序号)①②4．如图24-1-24，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，DE=6cm，CE=2cm，∠AED=45°，求AB的长．解：过点O作OF⊥AB于点F，连接OA，则∠OFA=∠OFE=90°．∵DE=6cm，CE=2cm，∴CD=8cm，例2 ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm,则AB和CD的距离为( ) A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm变式练习C5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为( )C6．如图24-1-26，水平放置的圆形管道横截面圆半径为50cm，现在水面宽度AB为60cm，当水面宽度为80cm时，则水面比原来上涨的高度为

.10cm或70cm1．(2016福建)如图24-1-27，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是( ) A．2 B．3 C．4 D．5基础过关精练A2．下列命题中正确的是( ) A．弦的垂直平分线不一定经过圆心

B．平分弦的直径垂直于这条弦

C．过弦的中点的直线必过圆心

D．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心DA3．(2016黔南)如图24-1-28，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为( ) A．

B．3cm C．

D．6cm4．(2016绥化)如图24-1-29，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M.若OM=6cm，则AB的长为

cm．165．(2016宿迁)如图24-1-30，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为

.(3，2)6．如图24-1-31，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O、A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为

．7．如图24-1-32，拱桥的截面为圆弧形,其跨度AB=60m,拱高PM=18m.当洪水泛滥，水面跨度缩小到30m时要采取紧急措施.当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4m时，是否要采取紧急措施？请说明理由．解：连接OA、OA1．由题意，得AB=60m，PM=18m，PN=4m．设OA=OA1=OP=Rm，∵OP⊥AB，OP⊥A1B1，∴AM=MB=30m．8．如图24-1-33，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

(1)求证：E是OB的中点；(2)若AB=8，求CD的长．能力提升演练D9．半径为2的圆中，弦AB、AC的长分别为2和 ，则∠BAC的度数是( ) A．15° B．105° C．15°或75° D．15°或105°10．如图24-1-34，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是( )B11．如图24-1-35，游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23米，最低处B到地面l的距离是3米．从B处乘摩天轮绕一周需3分钟．小明从B处乘摩天轮一周的过程中，当他到地面l的距离恰好是18米的时候应为

分钟．1或212