随机过程复习要点教案

随机过程复习要点教课方案随机过程复习要点教课方案随机过程复习要点教课方案随机过程复习要点第一章

概率论知识补充1.随机事件体有样本空间的全体子集总合

2n个组成。1.特点函数：随机变量

X的散布函数为

F(x),称gt

EeitX

eitxdFx,

t

为X的特征函数。

Xt

lngX

t，此为第二特点函数。失散型：gt

eitxkpk；k1连续型：gt

eitx

f

xdx特点函数的性质：注：特点函数为虚函数。1g01,gt1,gtgt.第二项为取模，第三项为取共轭。2gt在-，一致连续；3若随机变量X的n阶矩EXn存在，则X的特点函数gtn阶可导，且当kn时，有gk0kk0.ikEXk；EXk=-igEX-ig'0;DXg"0g'20.4若X1X2...Xn相互独立，则XX1+X2+...+Xn的特点函数为gtg1tg2t...gnt.随机变量的散布函数由其特点函数唯一确定。两者是一一对应的。3随机变量的散布函数

Fx与特点函数

g(t)是一一对应的且相互唯一确定

。若是

X

为连续型

且特点函

数

g(t)j

绝对可

积则有

：fX

x

12

eitxgtdt;gt

eitx

fX

xdx.t是fXx的相差一个负号的傅氏变换；fXx是gt的相差一个负号的傅氏逆变换。4n维正态散布：n维正态散布：XNa,B,其中X=X1X2..Xn,a1a2...anai为均值，Bbijnn为正定矩阵，bij为协方差。性质：若X

Xa,B,Y

XA,若A'BA正定，则

Y

NaA,A'BA

.即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量

.条件希望：<1>失散型随机变量:（1）设X,Y是失散型随机变量，对所有是pYy0的y，定义（2）给定Yy时，X的条件概率为：PXx/YyPXx,Yy；PYy（3）给定Yy时，X的条件散布函数为：Fx/yPXx/Yy;（4）给定Yy时,X的条件希望为：EXYyxdFxyxPXxYy<2>连续型随机变量：（1）设X,Y是连续型随机变量，其结合概率密度为

fx,y，则对所有使0fYy的y，定义（2）给定Yy时，X的条件概率概率为：fxfx,yy；fYyx（3）给定Yy时，X的条件散布函数为：FxyPXxYyfxydx；（4）给定Yy时,X的条件希望为：EXYyxdFxyxfx,ydx；（5）EXYy是y的函数，y是Y的一个可能值，若在已知的Y情况下全面的考虑X的均值，需要以Y代替y，而EXY是随机变量Y的函数，也是随机变量，称为X在Y下的条件希望。条件希望的性质：1）若随机变量X,Y的希望存在，则2）第二章随机过程的一般见解随机过程为一个在随机变量的基础上加上特其他常数t的随机变量族。3.依照参数T及状态空间I的可列性分类：T,I均可列，即为：失散随机序列，（失散时间）链；T不队列，I可列：失散型随机过程，（连续时间）链；T可列，I不队列：连续随机序列，随机序列；T,I均不队列，连续随机过程，随机过程。T的可列性决定了是随机过程仍是随机序列；I的可列性决定了是连续性仍是失散型。4随机过程散布函数的性质：（1）对称性：关于t1,t2,..,tn的随意排列ti1,ti2,..,tin,Ft1,t2,..,tnx1,x2,..,xnFti,ti2,..,tinxti,xti,..,xti;112n（2）相容性：当n<m时Ft,t,..,tx1,x2,..,xmFt,t,.,t...,tx1,x2,.,xm,...,12m12m,n6.随机变量的散布函数中只有随机变量；随机过程的散布函数中除了含有随机变量以外还有特别常数t若Xt1,Xt2,...,Xtn是n维连续型随机变向量，存在非负可积函数ft1,t2,...,tn,x1,x2,..,xn使得：.Ft1,t2,...,tn,x1,x2,..,xnx1x2xnft1,t2,...,tn,x1,x2,..,xndx1dx2dxn建立，则ft1,t2,...,tn,x1,x2,..,xn是随机过程Xt,tT的n维概率密度函数。nFt,t2,...,t,x,x,..,x此时有：ft1,t2,...,tn,x1,x2,..,xn=1n12nx1x2...xn10.随机过程的数字特点:均为t的函数此处应特别与随机变量相区分<1>XT均值函数：设XTXt,tT是随机过程，若对随意的tT,EXt存在，则称函数mXtEXt为XT的均值函数.<2>若对随意的tT,EXt2存在，则称XT为二阶矩过程。<3>XT的协方差函数：BXs,tEXsmXsXtmXt,s,tT;此处为同一随机过程的不同样时刻，<4>XT方差函数：DXtBXmX2t,tEXtt,tT；<5>XT的有关函数：RXs,tEXsXt,s,tT;此处为同一随机过程的不同样时刻。<6>二阶矩过程的协方差和有关函数必然存在：BXs,tRXs,tmXsmXt当XT的均值函数mXt=0时，BXs,tRXs,t；<7>有关系数：此处为同一随机过程的不同样时刻。s,tBXs,tXDXsDXt<8>互协方差函数：此处为不同样随机过程设Xt,tT和Yt,tT是两个二阶矩过程，则称:BXYs,tEXsmXsYtmYt,s,tT为Xt,tT和Yt,tT的互协方差函数，称：RXYs,tEXsYt,s,tT,为Xt,tT和Yt,tT的互有关函数。若果对随意的s,tT有BXYs,t=0.则称Xt,tT和Yt,tT互不有关。显然有BXYs,t=Rs,t-mXsmtXYY两个随机过程若相互独立，则必互不有关，反之不用然建立，只有当正态过程的情况下两者等价。<9>随机序列的数字特点：1.函数xnEXn,为Xn，nT的均值函数；2.2xnEX2n,为Xn，nT的均方值函数；3.x2n=DxnDXn,为Xn，nT的方差函数；4.Cxm,nCovXm,XnEXmxmXnxn,为Xn，nT的协方差函数；5.Rxm,nEXmXn,为Xn，nT的自有关函数；6.Rx，ym,nEXmYn.为Xm，mTYn，nT的互有关函数；7.Cxym,nEXmxmYnyn,互协方差函数。11.复随机过程：设Xt,tT和Yt,tT是取实数值的两个随机过程，若对随意tT，ZtXtiYt其中i21，则称Zt,tT为复随机过程。12.数字特点：（以X,Y为二阶矩过程）mZtEZtEXtiEYt;DZtEZtmZt2EZtmZtZtmZt;RZs,tEZsZt;BZs,tEZsmZsZtmZt;性质：对称性：BZs,t=BZs,t；非负定性：对随意的tiT及复数ai,i1.2...n,有0nBZti,tjaiaji,j1BZs,tRZs,tmZsmZt（6）两个复随机过程XtYt的互有关函数、互协方差函数：RXY

s,t

EXsYtBXY

s,t

EXs

mX

s

Yt

mY

t

;（7）重要的随机过程<1>正交增量过程：

：设Xt,t

T

是零均值的二阶矩过程，若对随意的

t1

t2

t3

t4

T

,有EXt2

Xt1

Xt4

Xt3

0，则称其为正交增量过程。BX

s,t

RX

s,t

X2min

s,t

.<2>独立增量过程

：设Xt,t

T

是随机过程，若对随意的正整数

n和t1

t2

....

tn

T

，随机变量Xt2

Xt1

,X

t3

Xt2

,Xtn

Xtn1

相互独立，则称其为独立增量过程或可加过程。特点：他在任何不相重叠的时间间隔上过程状态的改变是相互独立的。设Xt,tT独立增量随机过程。若对随意的s<t，随机变量X(t)-X(s)的散布仅依靠于t-s.则称其为平稳独立增量过程。<3>马尔科夫过程：设Xt,tT为随机过程，若对随意的正整数n及t1t2....tn，PXt1x1,....,Xtn1xn10,且期条件散布PXtnxn/Xt1x1,....,Xtn1xn1PXtnxn/Xtn1xn1，则称其为马尔科夫过程。系统在已知现在所处的状态的条件下，他将来所处的状态与过去所处的状态没关。<4>正态过程和布朗过程：设Xt,t

T

是随机过程，若对随意的正整数

n和

t1

t2

....

tn

T

，Xt1

,Xt2

,...,Xtn

是n维正态随机变量，则称其为正态过程或高斯过程。设Bt,1.B0

0;

t

是随机过程

,若：2.它是独立、平稳增量过程；3.s,t,增量Bt

Bs

N0,

2

t

s,

2

0,则称其为布朗运动或维纳过程，当

1时，称为标准布朗运动。设Bt,

t

是参数为

2的布朗运动，则：1.对随意的t，BtN0,2t；2.对随意

as,t

，EBs

Ba

Bt

Ba

2

mins

a,t

a,特别：

RW

s,t

2mins,t布朗运动是平稳独立增量过程，正态过程，马尔科夫过程、均方连续、均方可积、均方不能导的二阶矩过程。<5>维纳过程：1.维纳过程Wt,0t为正态过程，每一个有限维散布均为正态散布。2.它是独立正态随机变量之和，因此它是正态随机变量，由正态散布的性质知Wt1,Wt2,...,Wtn遵照N维正态散布，因此Wt为正态过程。Wt,0t经过以下变换获得的新过程仍是维纳过程：c0,W1tcWt/c2,0tW2tW1/t,t0t00,tW3tWthWt,0t,h0<6>平稳过程：设Xt,tT是随机过程，若是对随意的常数和正整数n，t1,t2,....,tnT，t1,t2,....,tnT，Xt1,Xt2,...,Xtn与Xt1,Xt2,...,Xtn有同样的结合散布，则其为严平稳过程或狭义平稳过程。其随意的有限维散布不随时间的推移而改变。散布函数与时间没关设Xt,tT是随机过程，若是：Xt,tT是二阶矩过程；2.对随意t

T,mX

t

EXt

常数；3.对随意的s,t

T,RX

s,t

EXsXt

RX

s

t,则其为广义平稳过程或宽平稳过程。若T为失散集则其为平稳序列。广义平稳不用然是严平稳；严平稳只有其二阶矩存在时才为广义平稳。对正态而言同样合用。阶严平稳：关于严平稳而言，是指Xt和Xt+cc为常数拥有完好同样的统计特点。即对随意的n有

fX

x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn

fX

x1,x2,...,xn,t1

c,t2

c,...,tn

c

，若此式仅对n<=k

建立，则其即为

K阶严平稳。若此式对

n=k

建立，则对

n<k

必然建立。渐进平稳：当climfXn

时，Xt+c的随意n概率密度与c没关，即x1,x2,...,xn,t1c,t2c,...,tnc存在，且与c没关，即为渐进平稳。循环平稳：若是随机过程

Xt

的散布函数知足以下关系：FX

x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn

FX

x1,x2,...,xn,t1

mT,t2

mT,...,tn

mTm为整数T为常数则其为严格循环平稳。严格循环平稳信号不用然是严格平稳信号。第三章泊松过程13.计数过程：称随机过程Nt,0t为计数过程，若Nt表示到时刻t为止已发生的”事件A”的总数，且Nt知足以下条件：10Nt;2Nt取正整数值；3若st,则NsNt；4当st时,则Nt-Ns等于区间

s,t

中“事件

A?

发生的次数。2.独立增量计数过程：关于t1t2...tn,Nt2Nt1,Nt3Nt2...NtnNtn1独立。3.平稳增量计数过程：在t,ts内，s0,事件A发生的次数NtsNt仅与时间间隔s有关，而与初始时刻没关。4.泊松过程：称计数过程Xt,0t为拥有参数0的泊松过程，若他知足以下条件：1X00;2Xt是独立增量过程；3在任一长度为的区间内，事件发生的次数遵照参数为的泊松散布，tA0tn即对随意0，有PXtsXet,n1.2.3....n!注：泊松散布为平稳增量过程；EXtt,称为速率或强度。4.泊松过程定义二：称计数过程Xt,0t为拥有参数0的泊松过程若他知足以下条件：1X00;2Xt是独立、平稳增量过程；3Xt知足以下两式：PXthXt1hh;PXthXtnh;2n.条件三说明：在充分少的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能够有两个或两个以上的事件同时发生。6.泊松过程的基本性质：<一>散布函数（2）一维散布律：tkPXtket,k1,2,3...k!nPXtsXsntt,n1.2.3....en!s0XsX00（3）一维特点函数：gXuexpteiu1ksjkj（4）二维散布律：PXsj,Xtktset,0stj!kj!（5）数字特点：设Xt,0t是泊松过程，对随意的s,t0,,且st有：EXtXsDXtXsts,由于X00,故mXtEXtt,X2tDXtt,RXs,tt1s,BXs,ts,一般而言：泊松过程的协方差函数能够表示为：BXs,tmins,t.6）性质：泊松过程是平稳独立增量过程；是马尔科夫过程；是生灭过程；是均方连续、均方可积、均方不能导的二阶据过程；是非平稳过程、但为平稳增量过程。<二>与时间特点有关的散布：1.设Xt,0t是泊松散布，Xt表示t时刻事件A（顾客出现）发生的次数，Wn表示第n次事件A发生的时间（n>=1）,也称第n次事件A的等待时间，或抵达时间，Tn表示第n-1此事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。2.时间间隔的散布：设Xt,0t是为拥有参数0的泊松散布，Tn,n1是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同散布的均值为1指数散布。Tn的概率密度为：fTtet,t0；ETn1;DTn12;gTu。n0,t0niun3.等待时间的散布：等待时间Wn即第n次事件A抵达的时间。WnTi,n1。i1设Wn,n1是与泊松过程Xt,t0对应的一个等待时间序列，则Wn遵照参数为ttn1n和散布。其概率密度为：fWne,t0tn1!；0,t02;gWnunEWnn;DWnniun2.抵达时间的条件散布：假定在0,t内事件A已经发生了一次，这一事件抵达时间W1的概率：PW1sXt1PW1s,Xt1PXt1PXs1,XtXs0PXt1PXs1PXtXs0sPXt1t1即概率密度为：fW1Xt1st,0st事件的抵达时间[0,t]上遵照平均散布。0,其他5.设Xt,0t是泊松散布，已知在0,t内事件A已经发生了n次，则这n次抵达时间W1,W2,...,Wn与相应于n个0,t上的平均散布的独立随机变量的次序统计量有同样的分布。W1,W2,...,Wn在Xtn的条件下的结合概率密度函数：n!t2,...,tntft1,t2,...,tnXtntn,0t10其他<三>非齐次泊松散布：1.计数过程Xt,0t为拥有跳跃强度函数t的非齐次泊松过程，他知足以下条件：1X00;2Xt是独立增量过程；3PXthXt1thh,PXthXt2h.t2.均值函数：mXtsds0t3.方差函数：DXtDXtsds0t4.概率散布：设Xt,0t为拥有均值函数mXtsds的非齐次泊松散布则有：0PXtsXtnmXtsmXnt或n!expmXtsmXt;n0PXtnnmXtn!

expmXt<四>复合泊松过程1.设Nt,0t是强度为的泊松过程，Yk,k1.2.3....是一列独立同散布随机变Nt量，且与Nt,0t独立，令XtYk,t0则称Xt,0t为复合泊松过程。k1Nt2.设XtYk,t0则称Xt,0t为复合泊松过程则：k11Xt,t0是独立增量过程；2Xt的特点函数为gXtuexptgYu1.。其中gYu是随机变量Y1的特点函数，是事件的抵达率第四章马尔科夫链1.定义：设有随机过程Xn,nT若对随意的整数nT和随意的i1,i2,...,in1I,条件概率满足pxn1in1x1i1,...,xninpxn1in1xnin则称其为马尔科夫链。2.马尔科夫链的统计特点完好有条件概率pxn1in1xnin决定。3.一步转移概率称条件概率pijnpxn1jxni为马尔科夫链Xn,nT在时刻n的一步转移概率。i,jI,若pijn与n没关，则称马尔科夫链为齐次的。pijnpij;pij0;pij1;j,iIjI4.n步转移概率称pijnpxmnjxmii,jIm0,n1为马尔科夫链Xn,nT的npijn0;n1;j,iI步转移概率。pijjI5.n步转移矩阵。Pnpijn；pij1pij;P1P;pij01;ij0;ijn拥有以下性质：6.pij设Xn,nT为马尔科夫链，则对随意整数n>=0,1=<l<n；i,jIpnplpnl....pp....；ijkIikkjk1Ikn1Iik1k1k2knijPnPnPPn17初始概率：pipX0i8.初始概率向量：PT0p1,p2....9.初始散布：pi,iI10绝对概率：pjnpXnj11绝对概率向量：PTnp1n,p2n....12绝对散布：pjn,jI13性质以下：PTnPTn1PPT0Pn;pjnpipijnpin1pij;iIiI马氏链的有限维散布：设Xn,nT为马氏链，则对随意的i1,i2,...,inI;1n有pX1i1,....,Xninppii1....pin完好有初始概率和一步转移概率决定。iIi1in15状态i的周期d【决定状态可否为周期的】ddin:0n,piin0；若是d>1,则称状态为周期的；若是d=1则其为非周期的。首达概率：fijnpXmv,1jvn1,Xmnj/Xmi,1为质n点有i出发，经过n步首次抵达j的概率，称为首达概率。记fijfijn；规定fij00为质点有i出发，经过有限步抵达j的概率。【决定可否n1为常返的】若fii=1，则称状态i为常反的；常返的充要条件piin；当i为常反时，返回in0的次数是无量多次。若fii<1,则称状态i为特别反的（刹时状态）。piin1；当i为特别反时，返回n01fiii的次数只能是有限多次。若状态i为特别反的，则以概率1fii不再返回到i.;17平均首次返回时间：【决定是为正仍是零】关于常返态i,fiin,1n组成一概率散布，此散布的希望值innfn表示为由i1ii出发再返回到i的平均返回时间。若i<,则称常返态i为正常返的。若i=则称常返态i为零常返的。非周期的正常返态称为遍历状态。nn关系18pij,fij关于随意状态i,j及1n有pnnfkpnknfnkpk；ijk1ijjjk0ijjjfnpnn1fkpnkijijk1ijjj1pij;fij22fij1fijpijpjj;33122pjjfijpijfijpjjfijPnPn1P；G.C.Dn:0n,piin0G.C.Dn:0n,fiin0平均次数：pjjn表示有j出发再返回j的平均次数。n1当j是常返态时，返回的次数是无量多次。当j为特别反时，返回j的次数只能是有限多次。超限概率gp有无量多个n使Xnj/X0ipi有无量多个n使XnjpiXnjijm1nmfij,如j是常返对随意状态i有gij0，如j特别返状态i常返当且仅当gii1状态i特别返当且仅当gii021.设i常返且有周期d,则limnddi为i的平均返回时间。当i=时，p，其中niiidndnd10设i常返则若i零常返nlimpii0；若i遍历0nlimpiiii状态的可达与互通：状态i可达状态j,ij：存在n0使pijn0；状态i与状态j互通，ij：ijandij可达与互通都拥有传达性：即：ij,jk则ik；ij,jk则ik若是ij则：ij同为常返或特别返，如为常返，则同时为正常返或零常返；两者拥有同样的周期。互通关系的状态为同一种类。状态空间的分解：状态空间I的子集C称为闭集{闭集是不能约的【不能约的充要条件对

i,kC都有nnpik0，n>0】，闭集的充要条件：iC;kC都有pik0，n>0。}若是：pii1则称状态i为吸取的，等价于单点集i为闭集。一个吸取状态组成的闭集是最小的；整个状态空间组成的闭集是最大的闭集；状态空间I中所有常返态组成一闭集C.不能约的马尔科夫链m,mn,Pn中无零元任何两个状态都互通没有常返状态或没有特别返状态任一马尔科夫链的状态空间I，可唯一的分解成有限个或可列个互不订交的子集D,C1,C2...之和，使得：每一个Cn是常返态组成的不能约闭集；Cn中的状态同种类，或全是正常返或所有是零常返，它们有同样的周期，fik1，i,kCn；D是全体特别返态组成，自Cn中的状态不能够达到D中的状态。IDC1C2....Cn24分解定理说明：状态分为特别返态D与常返态C，C又可按互通关系分为有限个互不订交的基本常返闭集C1,C2...从D出发，或素来停留在D中，或在某一时刻进入Ci，一旦进入。永不走开。从某一Ci出发：停留在这一常返闭集中。25不能约马尔科夫链的分解：周期为d的不能约马尔科夫链，其状态空间C可唯一的分解为d个互不订交的子集之d1和即CGr;GrGs,rs且使得从Gr中随意状态出发经一步转移必进入Gr1中，r0GdG0，随意取定一状态i，对每一r0,1,...,d1，定义集Grj:对某个0n,pijndr0。马氏链若是其状态空间不能约，则称其不能约的。若是只在0，d,2d...上考虑Xn，记得一新马氏链Xnd，其转移矩阵Pdpijd。关于新链，每一Gr是不能约闭集且Gr中的状态是非周期的。若是原链常返，则新链宜常返；有限马氏链的性质不能能所有是特别返态没有零常返态必有正常返态不能约的有限马氏链只有正常返态渐进性质如j特别返或零常返则

nlim

npij

0i

I有限状态的马氏链不能能所有是特别返状态，也不能能含有零常返状态，进而不能约的有限状态的马氏链必是正常返。若是马氏链有一个零常返态，则必有无量多个零常返态。若是j正常返，周期为d对随意的i及0rd1有ndrd,fijrfijmdrlimpijfijrnjm0设不能约、正常返、周期d的马氏链，其状态空间为C，则对所有i,jCnlimndd;i.j同属于子集Gspijj0;fouze若是j为遍历的，d=1:limpnfij01,fij0fijmd;limpn1fijmnijjm0nijjm1对随意状态i,j1nk0,j特别返或零常返fijnlimnk1pij,j正常返j如Xn不能约、常返，则对随意状态i,j1nk=1limpijnnk1j平稳散布设Xn,0n为齐次马尔科夫链，状态空间为I，转移概率为pij。概率散布j,jI为马尔科夫链平稳散布,他知足：jip,ijiI注：若初始概率散布为平稳散布，则pjpj1...pjn；平稳1;0jjjIPnnn散布的矩阵形式.jPpij不能约非周期马氏链是正常返的充要条件是存在平稳散布，且此平稳散布就是极限散布1,jIj有限状态的不能约非周期马氏链必存在平稳散布；不能约马氏链的所有状态是特别返或零常返，则不存在平稳散布。j,jI为不能约非周期马尔科夫链平稳散布,则limpjn=1jnj关于马氏链：平稳散布不存在C平稳散布唯一存在只有一个基本正常返闭集C平稳散布有多个多个不能约的常返闭集Ci第五章连续时间马尔可夫链1.定义：时间连续、状态失散的马尔科夫过程。设随机过程Xt,0t，状态空间I0,1,...,若对随意的0t1.....tn1及i1,i2,...,in1I有pXtn1in1Xt1i1,...,XtninpXtn1in1Xtnin则称其为连续时间马尔科夫链。马尔可夫过程的随意有限维散布函数均可用它的初始散布和二维条件散布函数来确定。转移概率：在s时刻处于状态i，经过时间t后转移到状态j的概率:pijs,tpXtsjXsi齐次转移概率：pijstpijt(转移概率与初步时刻s没关，只与时间间隔t有关),转移概率矩阵：Ptpijt,i,jI,0t.齐次马尔科夫过程的性质：pijt0;pijt1;pijtspiktpkjs；jIkIPstPsPt转移概率的正则性条件:limpijt1,ij0,ijt0过程刚进入某状态不能能立刻又跳跃到另一状态。4.初始概率pipi0pX0i,iI5.绝对概率pjtpXtj,jI,0tpjt0;pjt1;pjtpipijt;jIiIpjtpitpij;iIpXt1i1......XtniniIpipii1t1pi1i2t2t1....pin1intntn1;初始散布pi,iI7.绝对散布pjt,jI,0t停留时间的概率：i为过程在状态转移以前停留在状态i的时间，则对s,t0有：1>pistispit;2>i遵照参数为i指数散布，Fix1eix；当i无量时：Fix1,pix1Fix0状态i的停留时间i高出x的概率为0，则称状态i为刹时状态;当i=0时：Fx0,pix1Fx1ii状态i的停留时间i高出x的概率为0，则称状态i为吸取状态;3>当过程走开状态时，接着以概率pij进入j状态.在状态i过程停留的时间与下一个抵达的状态必定是相互独立的随机变量。科尔莫戈罗夫微分方程齐次马尔可夫过程知足正则性条件，则关于随意i,j∈I,pijt是t的一致连续函数科尔莫戈罗夫向后方程：P'tQPt；科尔莫戈罗夫向前面程：P'tPtQ：P't为Pt的导数。P't=pij'tdpijt=dt初始条件：pij1;ij0j0;ij若Q为一个有限矩阵则有：PteQtQtj0j!10转移速率：pijt是齐次马尔可夫过程的转移概率，在以下极限存在：1）lim1piitqii；tit02）limpijtqij.ij。0tt3）qij为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率；4）对有限齐次马尔可夫过程qiiqij；ij5）对状态空间无量的齐次马尔可夫过程qiiqij。ij11Q矩阵QP'0;qiipii'0;qijpij'012绝对概率齐次马尔可夫过程在t时刻处于状态jI的绝对概率pjt知足方程:pj'tkjpktqkjpjtqjj;pjtpipijt;iIpij'tpiktqkjpijtqjj;kj互通设pijt是连续时间马尔可夫链的转移概率，若存在时刻t1t2，使得pijt10，pijt20，则称状态i与j是互通的。若所有状态都是互通的，则称此马尔可夫链为不能约的。渐近性质设时间连续的马尔可夫链为不能约的，拥有以下性质：1）若其为正常返的则limpijtt

j0,jI。j为方程组jqjjkqkjkj的唯一非负解，此时称j,jI是该过程的平稳散布并且有1iIlimpjtjt2）若其为零常返或特别返的，则limpijtlimpjt0,i,jItt15生灭过程设其次马尔科夫过程Xt,0t的状态空间为I1,2,....，转移概率为pijt若是：pi,i1hihh;ipi,i1hihh;ipi,ih1iihpi,jhh,2ij

00,00h;。则称其为生灭过程i为出生率i为死亡率。i,ii,.为正常数，则称其为线性生灭过程。若i=0则为纯生过程。若i=0则为纯灭过程平稳散布存在的充要条件：01....j1j12....jj1j11jj第六章平稳过程1.严平稳过程设Xt,tT是随机过程，若是对随意的常数和正整数n，t1,t2,....,tnT，t1,t2,....,tnTXt1,Xt2,...,XtnXt1,Xt2,...,Xtn有同样的结合散布，则其为严平稳过程或狭义平稳过程。Ft1,t2,...,tn;x1,x2,...,xnFt1,t2,...,tn+;x1,x2,...,xn；严平稳过程的统计特点是由有限维散布函数决定的：Ft1,x1Ft1t1,x1F0,x1Fx1严平稳过程的一维散布函数不依靠与时间；Ft1,t2,x1,x2Ft1t1,t2t1,x1,x2F0,,x1,x2F,x1,x2，而与t1t2个别值没关。其随意的有限维散布不随时间的推移而改变。散布函数与时间没关。2.宽平稳过程设Xt,tT是随机过程，若是：3.>Xt,tT是二阶矩过程；4.>对随意tT,mXtEXt常数；5.>对随意的s,tT,RXs,tEXsXtRXst,则其为广义平稳过程或宽平稳过程。若T为失散集则其为平稳序列。宽平稳不用然是严平稳；严平稳只有其二阶矩存在时才为宽平稳。对正态而言两者互通。3.复平稳过程设Zt,tT是复随机过程，若是：24.>Zt,tT是二阶矩过程；EZt6.>对随意tT,mEZt复常数；7.>对随意的EZtZtRt,tR则其为复平稳过程。R称为自有关函数。CR2m为其自协方差函数。4.结合平稳过程设Xt,tTYt,tT是两个平稳过程，若他们的互有关函数EXtYt及EYtXt仅与有关，而与t没关则称Xt,tTYt,tT是结合平稳随机过程。Rt,tEXtYtRXYXYRYXt,tEYtXtYXR当X(t)和Y(t)是结合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程.有关函数的性质设Xt,tT是平稳过程，其有关函数为RXEXtXt：1>0RX0；2>RXRX;实平稳过程的有关函数为偶函数RR。XX3>RXRX0;4>RX为非负定的，即对随意实数t1,t2,..,tn及复数a1,a2,..,an有nRt,taa0。ijjXii,j15>若6>若

Xt为周期为T的函数，即XtXtT则RXRXT.Xt为不含周期重量的非周期过程，当时Xt,Xt相互独立，则limRXmXmX22RX0RY07>RXYRX0RY0,RYX8>RXYRYX,当Xt,tTYt,tT是实结合平稳随机过程时，RXYRYX，RXY,RYX一般情况下是不相等的，两者不是偶函数关系。6.收敛关于概率空间,f,P上的随机序列Xn，每个实验结果e都对应一序列X1e,X2e,..,Xne,....,故随机序列Xn实质上代表一族X1e,X2e,..,Xne,....,式的序列。若是X1e,X2e,..,Xne,....,式对每个e都收敛则称随机序列Xn各处收敛，既知足：limXnX,其中X为随机变量。n几乎各处收敛(以概率1收敛)二阶距随机序列Xne以概率1收敛于二阶距随机变量Xe，若使limXneXe建立的e的会合的概率为1，即pe:limXneXe1，或称nnXne几乎各处收敛于Xe，记作：Xna.e.X依概率收敛二阶距随机序列Xne依概率收敛于二阶距随机变量Xe，若关于任给0有limpXneXe0，记作：XnpXn9.均方收敛Xne和二阶距随机变量Xe，若有limEXneXe2二阶距随机序列0n建立，称Xne均方收敛于Xe，记作：Xnm.s.X。limXneXe.nXnm.s.X则Xn的特点函数收敛于X的特点函数;Xn散布函数收敛于X的分布函数.二阶距随机序列Xne收敛于二阶距随机变量XelimEXneXme20。n,m均方收敛limEXneXme存在。n,m设XneYneZne均为二阶距随机序列，U为二阶距随机变量，cn为常数序列，a,b,c为常数，令limXneXe,limYneYe,limZneZe,limcnc，则n1>limcnlimcnc;n2>limUU3>limcnUcU4>limaXnebYneaXebYe5>limEXneEXeElimXnen6>limEXneYmeEXeYeElimXnelimYmen,m依散布收敛二阶距随机序列Xne依散布收敛于二阶距随机变量Xe，若Xne相应的散布函数FnxdXnX

，在X的散布函数F（x）的每一连续点处，有limFnxFx，记作n。m.s.Xna.e.XnpXn

pXXnpXXndXXn

XXX均方连续Xt,tT若对每一个tT有limEXth20，则称二阶距过程Xth0Xt在t处均方连续。记作limXthXt，若对T中所有点都均方连续，则称Xth0在T上均方连续。EXthXt2RXth,thRXt,thRXth,tRXt,t均方连续RXt1,t2在点t,t处连续。RXt1,t2在t,t,tT上连续，则它在TT上连续。12.均方导数二阶距过程Xt,tT。若存在另一个随机过程X't知足XthXt2X't0，则称Xt在点t处，均方可导。记作：limEhh0dXtlimXthXt为XtX'tdth，X't的均方导数。h0若对T中所有点都均方可导，则称Xt在T上均方可导。二阶矩过程Xt,tT，在t点均方可微的充要条件为有关函数RXt1,t2在点t,t的广义二阶导数存在。二阶矩过程Xt,tT在T上均方可微的充要条件为有关函数RXt1,t2在t,t,tT上每一点广义二阶可微。若X't,tT在点t处均方可导，则称Xt在点t处两次均方可导，X't的导数记作X"t。称为Xt两次均方导数。有关函数RXt1,t2的广义二阶导数定义为：2RXt1,t2limRXt1h1,t2h2RXt1h1,t2RXt1,t2h2RXt1,t2t1t2h1h2hh12h10,h20若RXt1,t2在t,