勾股定理讲义

教师:学生:年级:初二科目：数学时间:2011年10月5日课次：一、教学分析1.教学目的ABC1ABC2、勾股定理及逆定理的应用。3、本章的重要题型。2.考点分析重点、难点：勾股定理及逆定理的应用。二、教学过程一、前置准备：1、在直角三角形中，两直角边的等于.若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则。（勾股定理）2、在三角形中，若等于第三边的平方，则这个三角形为，这是判定一个三角形是的方法．（勾股定理逆定理）3、能构成直角三角形边长的三个称为勾股数。常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；⑤10、24、26；4、勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．二、专题讲解：专题1已知两边，求第三边（）例1（1）在直角△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，则c=。（2）在直角△ABC中，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。（3）在直角△ABC中，a=5，b=12，则c=。(4)如图2，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，且BD=6，AD=6，SΔABC=42，则AC=。(5)在△ABC中,∠C=90°,BC=4，BC:AB=4:5，则BC上的高。(6)已知直角三角形的两边是6和10，求三角形的面积。（7）在Rt△ABC中，BC=7，AB=24，若第三边为整数，则第三边AC=。（8）已知：如图以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为。（9）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．（10）求证：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。（逆命题）变式1-1:（1）在直角三角形ABC中，∠A=∠B=45°，AC=2，则AB=。（2）在直角三角形ABC中,∠A=∠C,AC=4，则AB=,CB=。（3）在等腰直角△ABC中，∠C=90°，则AB:AC:BC=。变式1-2:（1）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB:AC:BC=。（3）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D．若BD=1，则AB=。（4）已知直角三角形中30°角所对的直角边是2cm，则另一直角边长为cm，斜边长为cm。（5）直角三角形中30°角所对的直角边长为1，则60°角所对的直角边的长度为。（6）在直角三角形中，若一个锐角为30°，斜边与较小直角边的和为18cm，则较大直角边为cm。（7）直角梯形的一腰长为16，其中一底角为30°，则梯形的另一腰长为。（8）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB=，那么AD=。（9）如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C，则AD=、CD=。专题2勾股定理与图形面积例1如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=。思考：将△ABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？变式2-1:如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A、Sl+S2＞S3B、Sl+S2＜S3C、S1+S2=S3D、S12+S22变式2-2:如图所示：∠B=90°∠ACD=90°，四边形ABCD的面积是多少？变式2-3:在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=。变式2-4:如图，在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°AB=20,BC=15,CD=7则四边形ABCD的面积是。变式2-5:在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,CA⊥AB若AB=3,BC=5,则四边形ABCD的面积是。变式2-6:已知△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，以直角边BC为直径作圆，则这个半圆的面积是。变式2-7：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，分别以AB为直径作半圆，以AC为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为．变式2-8：已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，且AB=5，AC:BC=4:3，则直角三角形的面积为。变式2-9：如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是3和2，则正方形的面积是。变式2-10如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是。变式2-11：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为。变式2-12：如图，在长方形ABCD中，BC=3，AC=5，E为BC的中点，F在AB上，且BF=2AF，则四边形AFEC的面积为。变式2-13：如图18－1－21，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________.变式2-14：已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OAnBn（如图）．求△OA6B6的周长．专题3勾股定理与方程（等式）（常见等式：面积法、公共边、勾股定理）例3已知一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，求三角形的面积。变式3-1：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为．变式3-2：在Rt△ABC中，∠ACD=90°，AC=5，BC=12，CD是斜边AB的高，求CD的长。变式3-3：如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm，BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，C与E重合，你能求出AD的长吗？变式3-4：在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,AE=BE,若AC=36cm,DA=26cm，求BC的长。变式3-5：如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，那么△BED面积是多少？变式3-6：已知，在四边形ABCD中,AC=BC,将四边形ABCD沿AE对折,使CE、BE在同一条直线上,那么点B落在点F上，已知FC：CB=7:9，AB=12，求折痕AE的平方。变式3-7：如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．专题4勾股定理及逆定理的实际应用例4台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图所示，据气象观测，距沿海城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东45度方向往C运动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受台风影响.(1)该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由;(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？变式4-1：如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？变式4-2：如图4，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点．再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离队点的距离是_______米．变式4-3：如图6，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米变式4-4：如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？变式4-5：如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）变式4-6：

一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论。变式4-8：一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？变式4-9：已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形。变式4-10：已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1变式4-11：已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状。变式4-12：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

专题5证明类例5已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形。变式5-1：（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；

（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．变式5-2：在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），即（a+b）2=c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；

（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2=x2+2xy+y2；

（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．变式5-3：一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．变式5-4：如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；专题6最短路程问题例6如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快秒可爬到B点。

变式6-1：如图5，有一个圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．（结果不取近似值）变式6-2：我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，（如图）则这根藤条有尺．（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）。

变式6-3：如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是cm。

变式6-4：如图21，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？AABCDL第21题图（变式6-5：如图是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm、高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，问吸管至少要多长？专题7探究类问题例7△ABC中，BC，AC，AB，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比