01 第一节 二重积分的概念与性质

本文格式为Word版，下载可任意编辑——01第一节二重积分的概念与性质第九章重积分

第一节二重积分的概念与性质

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限〞.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.

分布图示

★曲顶柱体的体积

★非均匀平面薄片的质量★二重积分的概念★二重积分的性质

★例1★例4

★内容小结★习题9-1★返回

★二重积分的中值定理★例2★例3★例5★课堂练习

内容要点

一、二重积分的概念

引例1求曲顶柱体的体积；引例2求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质

性质1—性质6

二重积分与定积分有类似的性质.

性质1

??[?f(x,y)??g(x,y)]d?????f(x,y)d?????g(x,y)d?.

DDD性质2假使闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2,则

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.

DD1D2这特性质说明二重积分对积分区域具有可加性.

性质3假使在闭区域D上,f(x,y)?1,?为D的面积,则

??1?d????d???.

DD这特性质的几何意义是:以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.

性质4假使在闭区域D上,有f(x,y)?g(x,y),则

??f(x,y)d????g(x,y)d?.

DD特别地,有

??f(x,y)d????|f(x,y)|d?.

DD性质5设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,?为D的面积,则

m????f(x,y)d??M?.

D这个不等式称为二重积分的估值不等式.

例题选讲

二重积分的性质

例1不作计算，估计I?x22(xe??D2?y2)d?的值，其中D是椭圆闭区域：

ab解区域D的面积??ab?,在D上

?y22?1(0?b?a).

?0?x2?y2?a2,

?1?e0?ex由性质6知??2?y22?ea,

d????ea,ab??22??De(x?y2)??De(x2?y2)d??ab?ea.

2

例2（E01）估计二重积分I???Dd?x?y?2xy?1622的值,其中积分区域D为矩形闭区

域{(x,y)|0?x?1,0?y?2}.

解?f(x,y)?1(x?y)?162,积分区域面积??2,

在D上f(x,y)的最大值M?111?(x?1,y?2),(x?y?0),最小值m?432?425故

22?I?0.4?I?0.5.54例3判断

r?x?y?1??ln(x2?y2)dxdy(r?1)的符号.

解当r?|x|?|y|?1时，0?x2?y2?(|x|?|y|)2?1,

故lnx(2?y2)?0;

又当|x|?|y|?1时，ln(x2?y2)?0,于是

例4积分解

r?|x|?|y|?1??ln(x2?y2)dxdy?0.

??D331?x2?y2dxdy有怎样的符号,其中D:x2?y2?4.

??D1?x2?y2dxdy

?x2?y2?1??31?x2?y2dxdy?1?x2?y2?3??31?x2?y2dxdy?3?