第07章静止电荷的电场

第三篇电磁学物理学的第三次大综合法拉第的电磁感应定律：

电磁一体麦克斯韦电磁场统一理论（19世纪中叶）赫兹在实验中证实电磁波的存在，光是电磁波.技术上的重要意义：发电机、电动机、无线电技术等.库仑定律：

电荷与电荷间的相互作用（磁极与磁极间的相互作用）奥斯特的发现：

电流的磁效应安培发现电流与电流间的相互作用规律.本篇特点：2.场不具有不可入性，所以叠加原理地位重要。3.更多地运用高等数学手段，如用求空间矢量的通量和环流的方法来描述场的规律。1.

研究对象不再是分离的实物，而是在空间连续分布的场，用空间函数（如

等）描述其性质。4.

电相互作用是电磁学的基础，也是重点和难点。第七章静止电荷的电场§7-1物质的电结构库仑定律一、电荷1．电荷：物体因得失电子而带电荷。得到电子带负电；失去电子带正电。电荷是物质的一种基本属性，就象质量是物质一种基本属性一样。2．电荷的基本性质

在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内的正、负电荷量的代数和总是保持不变。电荷间有力的相互作用，同性相斥，异性相吸。二电荷守恒定律三．电荷量及其量子性

:物体所带电荷多寡的物理量。单位：库仑（C）q=nee=1.6×10-19(C)强子的夸克模型具有分数电荷（或电子电荷）但实验上尚未直接证明.宏观带电体的带电量qe，准连续点电荷:

当带电体的线度与它们之间的距离相比允许忽略时,可以把带电体看成点电荷。四、真空中的库仑定律q1q2－真空中的介电常数比例系数K≈9.0х109N·m2/C2库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离r12（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。库仑

(Charlse-AugustindeCoulomb1736~1806)解例7-1在氢原子内,电子和质子的间距为

.求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）库仑定律的叠加原理：如果空间存在有多个点电荷，则作用在其中任一个点电荷的力就等于其余每个点电荷单独存在时对它的作用力的矢量和。例7-2在图中,三个点电荷所带的电荷量分别为q1=－86C，

q2=50C，q3=65C。各电荷间的距离如图所示。求作用在q3上合力的大小和方向。解:选用如图所示的直角坐标系。q2q1q3F31F32F30.6m0.52m0.3mijxy按库仑定律可算得q1作用于电荷q3上的的大小为力沿x轴和y轴的分量分别为电荷q2作用于电荷q3上的力的大小为力沿x轴和y轴的分量分别为根据静电力的叠加原理,作用于电荷q3上的合力为合力的大小为

合力与x轴的夹角为q2q1q3F31F32F30.6m0.52m0.3mijxy

可见,由库仑定律算出的作用力是不小的,在距离一定时,它与带电体所带电荷量相关。例如两个各带电荷量为1C的带电体,当它们相距1m时,根据库仑定律算出其作用力达9.0×109

N,然而,通常在实验室里,利用摩擦起电使物体能获得的电荷量的数量级只是10-6C,此时相距1m时的静电力仅为10-2N的数量级,这就是说,实际上我们利用通常的起电方法不可能使一个有限大(例如半径为1m的球体)的物体的带电量达到1C或接近1C,因为早在电荷量聚集到此值前,周围的绝缘体已被击穿,物体上的电荷早已漏掉。所以通常遇到的静电力还是很小的,只能吸引轻微的物品。库仑定律§7-2静电场电场强度电荷电场电荷一、电场电场间相互作用的场的观点:实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的？静电场：静止电荷周围空间存在有一种场，叫静电场。电场的基本性质：对处在电场中的电荷有力的作用

------电场力场是一种特殊形态的物质.实物物质

场二.电场强度：电场中某点的电场强度等于单位电荷在该点所受的电场力单位：Ø

Ev为矢量：îíì=方向大小qFE:/:0

其方向为正电荷受力方向.三、电场强度的计算1、点电荷的场强2、场强叠加原理点电荷系的场强场强叠加原理：点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时该处电场强度的矢量和。解例把一个点电荷（）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为，求该电荷所在处的电场强度.大小方向电偶极矩:例7-3

求电偶极子轴线的延长线上和中垂线上的场强。

电偶极子：一对等值异号的点电荷构成的电荷系。

解:(1)延长线上:（2)中垂线上：例在直角坐标系的原点（0，0）及离原点1.0m的y轴上（0，1）处分别放置电荷量为q1=1.0×10-9C和q2=-2.0×10-9C的点电荷，求x轴上离原点为2.0m处P点场强（如图）。解:

q1在P点所激发的场强为q1Pq2F312.24m2m1mijxEE2E11200q2在P点所激发的场强的大小为E2的矢量式为q1Pq2F312.24m2m1mijxEE2E11200根据场强叠加原理，P点的总场强为3、电荷连续分布的带电体的场强线分布面分布体分布在带电体上取一电荷元dq，其线度可视为无限小，可作为一个点电荷，dq在点P处的电场强度为axP12o例7-4真空中一均匀带电直线，长度为L，总电荷量为q，电荷线密度为。线外有一点

P

，离开直线的垂直距离为a

，P

点和直线两端连线的夹角分别为

1和2。求

P

点的场强。dEdExxdxrdEy解：axP12odEdExxdxrdEy无限长带电直线：

1=

0，2=

PxxR例7-5

电荷

q

均匀地分布在一半径为R的圆环上。计算在圆环的轴线上任一给定点P的场强。rdE解：圆环上电荷分布关于x轴对称PxxRrdE讨论（1）（点电荷电场强度）（2）（3）例7-6

均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。求轴线上任一点P的电场强度。rdrRPxdE解：rdrRPxdE讨论：

无限大均匀带电平面的电场强度（点电荷电场强度）四、电场线电场强度通量1)曲线线上一点的切线方向表示该点场强的方向；2)曲线的疏密表示该点处场强的大小：1．电场线的概念:

在电场中画一系列曲线，使得

在电场中任一点处，通过垂直于电场强度E单位面积的电场线数等于该点的电场强度的数值。2.静电场中电场线的性质1）电场线起始于正电荷（或来自无限远处），终止于负电荷（或伸向无穷远处；2）电场线永不闭合；3）电场线永不相交。图电场线分布3、电通量通过某一曲面电场线数的代数和。1）．电通量的定义：

2）．电通量的计算（a）平面面积为S并与E的方向垂直（b）平面的法线单位与E成θ角SErSqSEr闭合曲面:（c）一般情况§7-3静电场的高斯定理一、静电场的高斯定理

在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷量代数和除以o。+

点电荷位于球面中心高斯定理的导出高斯定理库仑定律电场强度叠加原理结果只与q有关，与r无关+S2、点电荷在任意形状的高斯面内+S′3、点电荷在闭合曲面以外+由于电力线的连续不中断性，必然进出数目相等从通量的定义和电力线的性质不难看出4、一般情况高斯定理（不连续分布的源电荷）（连续分布的源电荷）

在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷量代数和除以o。源头尾闾高斯（CarlFriedrichGauss1777~1855）德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795~1789年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1855年2月23日在哥廷根逝世。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯定理光学。3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯定理误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。二、高斯定理的应用计算具有对称分布的电荷系（其场强分布也具有相应的对称性）的场强解题要点：

1）适当选择闭合面（高斯面）

2)计算3)计算4）由求解：分析：球壳厚度忽略不计。由于电荷分布是球对称的，所以E的分布也是球对称的。因此，在电场中任意点P的E

的方向都沿径矢；而E的大小则仅依赖于从球心到场点P

的距离r。在同一球面上，各点E的大小相等，且E与球面上各处的dS相垂直

。应用实例：例7-7：均匀带电球壳的电场强度。设一半径为R，均匀带电为Q的薄球壳，求球壳内部和外部任意点的电场强度。OR带电球壳rP高斯面解：OR带电球壳（1）求薄球壳内部任意点的电场强度当P点处的半径r＜R时，以点O为圆心，r为半径建立高斯面，高斯面内部无电荷分布，即rP由有得E＝0（r＜R）（1）表明：均匀带电球壳内部的电场强度为零。高斯面解：OR带电球壳（2）求薄球壳外部任意点的电场强度当P点处的半径r＞R时，以点O为圆心，r为半径建立高斯面，高斯面所包围的电荷为Q。rP由高斯定理得于是P点的电场强度为矢量式为高斯面（r＜R）为单位矢量。（r＜R）（2）xyOORR表明：均匀带电球壳在其外部建立的电场强度，与等量电荷全部集中在球心时建立的电场强度相同。（r＜R）（1）（r＞R）（2）由⑴和⑵式可作E－r曲线。可以看出，球壳外（r＞R）的E与r2成反比，球壳处（r＝R）的E有跃变。R例7-8

求均匀带电球体内、外的场强。（已知球体半径为R

，带电量为Q

，电荷密度为）解：（1）球外某点的场强(

r≥R)RrR（2）求球体内一点的场强r（r<R）rER例7-9

计算无限大均匀带电平面的场强分布。（电荷密度为）EE解：例7-10计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。-+BA解：EAEB平面之间：平面之外：例7-11无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为。作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性,方向沿径向。高为l,半径为r由高斯定理知解：lr（1）当r>R时，rl（2）当r<R时，r0EREr关系曲线均匀带电圆柱面的电场分布例

求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密度为）rhE解：rhE§7-4静电场的环路定理电势一．静电场力做功（保守力）点电荷电场：

－－点电荷电场力作功只与试验电荷始末位置有关，而与运动路径无关。任意电荷系的电场：－－静电场力作功只与试验电荷的始末位置有关，而与运动路径无关，即静电力是保守力。abcd即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。静电场中电场强度的环流恒为零q0沿闭合路径acbda一周电场力所作的功二.静电场的环路定理三、电势能与电势1、电势能由于静电力是保守力，可以引进势能的概念，称为电势

能，用W表示。当电荷q从M→N时，电场力作功等于电势能改变的量度。若场源电荷分布在有限区域内，通常选取无穷远处为电势能的零点，则（任意路径）2、电势单位正电荷放在该点处时的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所做的功。（任意路径）电势决定于产生电场的电荷，而与试验电荷q0无关。电势的大小与零电势的参考点选择有关。一般选无穷远处为电势零点。选择无穷远处为电势零点，则3、电势差（任意路径）三、电势叠加原理这是电势的叠加原理：电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和。点电荷的电势：四、电势的计算1、运用点电荷电势公式和电势叠加原理计算电势qa电荷连续分布的带电体的电势点电荷系的电势dqa

为代数和；为代数积分。例：在正方形四个顶点上各放置+q、+q、-q、-q

四个电荷，求正方形中心o

点的电势V。解：由例7-11计算距电偶极子相当远的地方电场中任一点的电势。式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离，由图可知解：设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P的电势为yPx+q-qre/2re/2Or+r-r由于r>>re

，所以P点的电势可写为因此yPx+q-qre/2re/2Or+r-r例7-12：均匀带电圆环，半径为R，带电为Q，求圆环轴线上一点的电势V。解：将圆环分割成无限多个电荷元：环上各点到轴线等距。例7-13

均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。求轴线上任一点P

的电势。RPxdrr解：讨论：当x>>R时，级数展开带电体距场点很远时，可视为点电荷。例7-14：均匀带电球壳半径为R，电量为q，求：球壳内、外的电势分布。高斯面解：球壳内、外的场强作高斯球面高斯面球壳内电势选无穷远为电势0点，球壳外电势选无穷远为电势0点，高斯面

求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q解:方法二叠加法(微元法)任一圆环面积由图R例.真空中半径为

R

的均匀带电球体，带电量为Q。用高斯定理求均匀带电球体内、外的的场强；(2)从场强与电势的关系求均匀带电球体内、外的电势分布。解：（1）球外某点的场强(

r≥R)Rr（2）求球体内一点的场强（r<R）Rr解qRPrP等势面的概念：静电场中，电势相等的点所组成的曲面：

常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面之间的电势差相等。五.等势面点电荷的等势面按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小．两平行带电平板的电场线和等势面++++++++++++

一对等量异号点电荷的电场线和等势面+等势面与电场线的关系:1)等势面与电场线处处正交；2)电场线指向电势降低的方向；3)等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。§7-5电场强度与电势梯度的关系1电势梯度

在电场中任取两相距很近的等势面1和2，1VV+dV2P1enP2P3

电势分别为V和V+dV，且dV>0

等势面1上P1点的单位法向矢量为en

与等势面2正交于P2

点。

则场强与电势的关系电势梯度

在等势面2任取一点P3

，设E方向与n方向相同把点电荷从P1移到P3，电场力作功为：电势沿等势面法线方向的变化率最大1VV+dV2P1nP2P3静电场中各点场强等于该点电势梯度的负值，即静电场中各点场强的大小等于该点电势空间变化率的最大值，方向则平行于使空间变化率为最大的方向并指向电势降落的一侧。电场在某点中的电势梯度矢量，在方向上与电势在该点处空间变化率最大的方向相同，在量值上等于沿该方向上电势的空间变化率定义电势梯度矢量在直角坐标系中

为求电场强度提供了一种新的途径求的三种方法利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系例7-15

均匀带电圆环，带电量为

q

，半径为

a

。求轴线上任一点

P

的场强。Pxrax解场强方向沿x轴例7-16计算距电偶极子相当远的地方电场中任意处的电场强度的大小。解：电偶极子在任意处的电势yP(x,y)-L/2+q-qL/2r-r+rOX讨论：1.在X轴上，y=0，则与用叠加原理得到的结果一致。P(x,0)-L/2L/2xyOE+q-qP(0,y)E2.在Y轴上，x=0，则§7-6静电场中的导体一、导体的静电平衡导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于静电平衡状态。导体产生静电平衡的条件:导体内任一点的电场强度为零推论-导体静电平衡时的性质：1、导体是等势体，其表面是等势面；。

。

导体内任一点-gradV==0

2、导体表面处的场强方向垂直于导体表面。假若导体表面处电场强度的方向不与导体表面垂直，则电场强度沿表面将有切向分量，自由电子将受电场力作用沿表面运动，这样就不是静电平衡了。

导体表面是等势面实心导体：导体处于静电平衡状态时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只分布在导体的表面上。证明：二.导体上电荷的分布++++++++++导体表面电场强度与电荷面密度的关系表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比,场强方向垂直于表面。+++++++++++作硬币形高斯面

S导线证明:即用导线连接两导体球则导体表面曲率越大的地方，电荷密度越大，电场强度也越大，反之越小。例7-17：带电导体尖端附近电场最强,可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象

尖端放电现象<电风实验>++++++++++（1）静电复印（2）静电除尘；（3）静电喷漆；（4）避雷针；（5）高电势仪器金属部件制成光滑球形（6）静电危害

尖端放电现象应用：1有空腔导体,空腔内无电荷电荷分布在表面上内表面上有电荷吗？三、空腔导体内、外的静电场(违反环路定理)在静电平衡状态下,导体空腔内各点的场强等于零,空腔的内表面上处处没有电荷分布.腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。空腔

+-2、空腔内有电荷的情况如果有空腔且空腔中有电荷,则在内外表面都有电荷分布，内表面电荷与q等值异号。如接地空腔外的电场消失Qq+q+q-四静电屏蔽1

屏蔽外电场外电场

空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.空腔导体屏蔽外电场如果空腔中有电荷,则在内外表面都有电荷分，内表面电荷与q等值异号。如接地空腔外的电场消失,

接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响.接地导体电势为零2

屏蔽腔内电场二、静电屏蔽例7-19在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求：（1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势；（2）小球与球壳的电势差；（3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。解：（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出-q和＋q的电荷，而Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。小球和球壳内外表面的电势分别为球壳内外表面的电势相等。（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为（2）两球的电势差为两球的电势差仍为

由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳,与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr-VR=0为止。§7-7电容器的电容例如

孤立的导体球的电容1、孤立导体的电容

单位:C决定于导体的形状、大小有关。表征导体储电能力的物理量。二、电容器的电容空腔导体B与其腔内的导体A组成的导体系，叫做电容器，A、B为电容器的两极板，导体A、B相对两表面上所带的等值异号的电荷量为电容器所带的电量。

定义电容器的电容：1

平板电容器电容的计算:++++++------（2）两带电平板间的电场强度（1）设两导体板分别带电（3）两带电平板间的电势差（4）平板电容器电容平行板电容器电容2圆柱形电容器（3）（2）（4）电容++++----（1）设两导体圆柱面单位长度上分别带电（3）球形电容器＋＋＋＋＋＋＋＋*球形电容器是由半径分别为和的两同心金属球壳所组成．解:设内球带正电,外球带．孤立导体球电容4电介质电容器

相对电容率（相对介电常量），是表征电介质本身特性的物理量。理论和实验证明以平板电容器为例电介质的电容率形状：平行板、柱形、球形电容器等介质：空气、陶瓷、涤纶、云母、电解电容器等高压电容器(20kV5~21F)(提高功率因数)聚丙烯电容器(450V20F)陶瓷电容器(20000V1000pF)涤纶电容(250V0.47F)电解电容器(160V470F)用途：储能、滤波、振荡等。三、电容器串并联1）.电容器串联特点：由有注意1.电容越串容量越小。2.可提高电容耐压程度，外加电压由各电容器分压。若面积S相同，相当于将极板间距增大。2）.电容器并联特点由注意电容越并越大，若极板间距d相同，电容并联相当增加面积S。§7-8静电场中的电介质=±C--H+H+H+H+CH4-q+q=O--H+H+H2O电介质：分子中的正负电荷束缚很紧，介质内部几乎没有自由电荷。无极分子有极分子电偶极矩宏观上电介质是呈电中性的杂乱的热运动一、有极分子和无极分子电介质1.无极分子的位移极化加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现分子电矩。2.有极分子的取向极化:在外电场中有极分子的电偶极矩要受到力矩作用，转向和外电场方向趋于一致。+-±±±±±±±±±±±±±±±+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-E0二、电介质的极化过程---+++E0无极分子的位移极化F’F+-E0+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-E0---+++E0有极分子的取向极化

在外电场的作用下，介质表面产生电荷的现象称为电介质的极化。

电介质的极化的结果：

电介质的极化：三、电极化强度1、电极化强度矢量:描述电介质的极化程度的物理量。单位体积内分子电偶极矩的矢量和。:电极化强度:分子偶极矩的单位：实验指出，对于各向同性的电介质，其中每一点的电极化强度大小P与该点的总电场强度大小E成正比，且方向相同。----称为介质的电极化率++++++------+++++++++++-----------表面极化电荷面密度四.电极化强度与极化电荷面密度的关系设在均匀电介质中截取一斜柱体，体积为V电介质极化时产生的极化电荷的面密度，等于电极化强度沿法线方向的分量。电介质就是绝缘体。特点：电介质内无自由电荷。五、电介质的静电场将电介质放入电场，表面出现极化电荷——介质的极化。外场极化场介质内部的场++++++------+++++++++++-----------二、电介质中的电场强度极化电荷与自由电荷的关系相对电容率与电极化率之间的关系§7-9有电介质时的高斯定理电位移一．有电介质时高斯定理设两个无限大带电导体板，其间充满均匀电介质。带电导体板的电荷面密度为±σ0，介质被均匀极化，极化强度为，极化电荷面密度为+++++++++++作高斯面如图，由高斯定理：-----------------++++++导体内部P=0-----------------++++++电位移矢量对各项同性介质电介质存在时的高斯定理:静电场中通过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。在各向同性介质中，电位移等于场强的倍有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。

解（1）设这两层电介质中的场强分别为E1

和E2

，电位移分别为D1和D2

，E1和E2

都与板极面垂直，而且都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，如图中中间的虚线所示，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例题7-29平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两