抛物线要点知识解读

关键字：崔北祥抛物线定义解难人教A版高二年级选修2-1第二章第四节抛物线说疑解难抛物线要点知识解读一、要点知识精析1．深刻理解抛物线的定义（１）抛物线的定义还可以叙述为：平面内与一个定点Ｆ和一条直线的距离的比等于１的点的轨迹叫做抛物线．（２）定义的实质可归结为“一动三定”，即：一个动点抛物线上的任意一点M）；一个定点（抛物线的焦点Ｆ）；一条直线（抛物线的准线）；一个定值（抛物线上的点到焦点和准线的距离的之比等于常数１，这个常数又叫抛物线的离心率）．（３）定点Ｆ不在定直线上，这是一个重要的隐含条件，否则动点Ｍ的轨迹不是抛物线，而是过点Ｆ垂直于直线的一条直线，比如，到点F(1,0)和直线：的距离相等的点的轨迹方程为，轨迹是一条直线．（４）抛物线的定义是与椭圆、双曲线的第二定义统称为圆锥曲线的统一定义，从定义中揭示出了这三种曲线的内在联系——动点到定点的距离与到定直线的距离的比值都是常数．当０＜＜１时，曲线为椭圆；当＝１时，曲线为抛物线；当＞１时，曲线为双曲线．２．掌握抛物线标准方程的特点抛物线标准方程或的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应．若对称轴为轴时，方程中的一次项就是的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向左时，该项取正号；开口向右时，该项取负号．若对称轴为轴时，方程中的一次项就是的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号．抛物线标准方程中的表示焦点到准线的距离，若不做说明，一般取正值．３．抛物线的焦半径、焦点弦的性质（１）设抛物线上有一点Ｐ，Ｆ是抛物线的焦点，那么线段ＰF叫做抛物线的焦半径．根据抛物线定义，可以得到：抛物线上一点Ｐ的焦半径的长是；抛物线上一点Ｐ的焦半径的长是．（２）设为过抛物线焦点的弦，，，直线的倾斜角为，则：①弦长；其最短弦长为,此时,,即轴，称为抛物线的通径．②；③以为直径的圆与准线相切；④设，则有．二、方法技巧归纳１．抛物线方程的求解策略（１）．求抛物线方程时，若由已知条件可确定曲线是抛物线，此时一般用待定系数法求解；由已知条件可确定曲线的动点规律，一般采用轨迹法求解．（２）．对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算．２．直线与抛物线位置关系的求解策略（１）将直线方程与抛物线方程联立得方程组，消元后可得到一个关于（或）的方程，方程组解的组数，即方程的解的个数就是交点的个数．当时，方程解惟一，但直线与抛物线不是相切，而是直线与抛物线对称轴平行或重合；当时，＝０，此时直线与抛物线相切；＜０，直线与抛物线相离；＞０，直线与抛物线相交于两点．（２）合理的选择设点或设线是解决直线与抛物线位置关系的常用策略．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用韦达定理，这样能避免求交点坐标的复杂运算．三、易错题分析1．忽视概念中的隐含条件例1．到定点F（1，1）和定直线的距离相等的点的轨迹是_________.错解：根据抛物线的定义可知点的轨迹是抛物线.剖析：在抛物线的定义中，定点F不在直线上，这是一个重要的隐含条件，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过定点F垂直于直线的一条直线.正解：本题中，因为定点F（1，1）在定直线上，所以动点的轨迹是一条直线，其方程为.2．错用标准方程形式例2．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．错解：由于，所以，即抛物线的焦点坐标为，故选B.剖析：上述解法对抛物线标准方程认识还清造成的，事实上，应先将其转化成标准方程，然后再求解.正解：由条件得，，则，所以，即焦点坐标是，故选C.3．对抛物线位置认识不清例3．求顶点在原点，焦点在坐标轴上且焦点到准线的距离为2的抛物线方程.错解：由题意，知，所以故所求抛物线方程为剖析：错因只考虑到焦点在轴上的情形，而遗漏了焦点在轴上的情形，本题中抛物线的四种形式都应具备.正解：根据上述求解过程得，所求抛物线方程为或4．考虑情况不全面例4．过点（0，1）与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．视值而定错解：由题意，知定点（0，1）在抛物线外部，所以过该点可作抛物线的两条切线，因而选B.剖析：上述解法中，少考虑了一种情形，即过定点（0，1）与抛物线的轴平行的直线.正解：根据上面剖析可得，过点（0，1）与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故应选C.四、典型考题分析【考例1】（2022年理湖南卷20）.若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解:（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm,ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为又点P（x0,0）在直线上，所以而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得（·）则是方程（·）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则因为0<<4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.若x0>3,则2(x0-3)(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2<x0<3,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4x0-8）上是减函数，所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2<x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.评述：本题对“相关弦”知识进行了迁移，同时也考查了存在性问题。【考例2】(07·西城区抽样)设，定点F（a，0），直线l:x=－a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M.（I）求点M的轨迹C的方程；（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量、与的夹角相等.解：（I）连接MF，依题意有|MF|=|MB|，所以动点M的轨迹是以F（，0）为焦点，直线l:x=－为准线的抛物线，所以C的方程为（II）解：设P，Q的坐标分别为依题意直线BF的斜率存在且不为0，设直线BF的方程为将其与C的方程联立，消去y得.故记向量因为所以同理因为所以即向量、与的夹角相等.评述：本题以向量运算线知识为背景,将解析几何中的各数学思想方法交汇在一起,属于思想方法的交汇,其解题方法的多样性是本题的一大特色,其每一问均有超过三种以上的解法,且每一问题在难度上逐渐递进,从多方位多角度考察了考生分析问题解决问题的能力,解析过程中注意参数的合理转化,简化了运算的过程及计算量,也体现了设而不求的解几思想.【考例3】（2022年理山东卷22)如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题意设 由得，则 所以 因此直线MA的方程为直线MB的方程为 所以 ① ②由①、②得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得： 所以x1、x2是方程的两根， 因此 又 所以 由弦长公式得 又， 所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为或（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+x2,y1+y2), 则CD的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上， 代入得 若D（x3,y3）在抛物线上，则 因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或 （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适