必修4教学教案教师版新课标数学

数学必修4第一章(见学生第1页OAOOB【提示】x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)【提示】x轴的非负半轴重合．【提示】ααS＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个的和．(见学生第1页 【思路探究】【自主解答】①－330°角是第一象限角，显然④0°180°【答案】解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、等概念，严格辨析它们之间的联系与区别 D90°的角都是锐角【解析】－100°是第三象限角，但－100°<90°B错；90°C错；－30°90°D【答案】α＝2(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并它是第几象限角(2)θθα【思路探究】βαθk【自主解答】(1)2010°360°5k＝5，β＝210°，β＝210°∴α(2)2010°k·360°＋2令－360°≤k·360°＋26解得－7≤k<－6

将k的值代入k·360°＋2010°中，θα＋k·360°(k∈Z0°≤α<360°)k.可以用观察法(α的绝对值较小)k的α＝2010°”，改为“α＝－315°【解 ∴α 解得－8≤k8kk·360°－315°中， 【思路探究】0°～360°影部分的角的集合

【自主解答】在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以在终边落在阴影部分(不包括边界)【答案】先在－360°～360°360°区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360°区间，写出落在阴影部分的角的集合，1－1－2中阴影部分(不含边界)【解】在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角集合为(见学生第2页α【错解】90°<α<180°，所以有180°<2α<360°，α

、222αy轴非正半轴上角，α2【错因分析】α90°180°，而应是{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}才完【防范措施】【正解】(1) 2αy

kk＝2n(n∈Z)

α故2kk＝2n＋1(n∈Z)

α故2α综上可知2k(见学生第3页将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( 【解析】OMO【答案】2．(2013·开封高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是( 【解析】330°S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.【答案】 【解析】【答案】θ360°的正角，θ4θθ【解 依题意4θ＝k·360°＋θ，且k＝1k＝2，∴θ＝120°已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是( C C【解析】0°90°CBB【答案】把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( 【解析】B、Cα0°～360°范围内，A选项的结果不是－1485°D【答案】若α是第二象限角，则180°－α是( A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D.第四象限角【解析】α＝120°【答案】若α与β的终边互为反向延长线，则有( 【解析】αβ180°【答案】B B，则k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)αx【解析】ABk＝2n，k∈Z∴AB，∴BC中，αy轴的非负半轴上，∴CD【答案】6．(2013·哈尔滨高一检测)与－2002°终边相同的最小正角 【解析】与－2002°终边相同的角的集合为{β|β＝－2002°＋k·360°，k∈Z}，与－2002°k＝6时，β＝－2【答案】7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转 度，时针转 度【解析】拨慢时针为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为360°＝6°，5分钟转过30°，时针每分钟转过的度数为5

【答案】 8．(2013·哈尔滨高一检测)在四个角－20°，－400°，－2000°，600°中，第四象限的角的个数 【解析】＝360°＋240°2【答案】2αy＝－xα【解 在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°和y＝－x的角的集合是【解 与530°终边相同的角为由－360°＜k·360°＋530°＜0°k∈Zk＝－20°＜k·360°＋530°＜360°k∈Zk＝－1，故所求的最小正角为170°.由－720°≤k·360°＋530°≤－360°k∈Zk＝－31－1－3(1)OA，OB (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合为(2)由题图可知，终边落在阴影部分(包括边界)角的集合是由大于或等于－30°135°范围内的所有与之终边相同的角组成已知α是第一象限角，求 ，2，3【解 ∵α是第一象限角2αy22k为偶数时，α222k为奇数时，α22∴α233当 3∴α3nαnα或αknnnn一般地，要确定αn4nx轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是α为第几象限时，α的终边也可能落在区域．nnα180°－α【解 ∵α是第三象限角∴180°－α (1)理角弧度的意义．(2)R之间可建立起一一对应的关系．(3)能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长及扇形的面积，并能运用解决一些实际问题通过对弧度制与角度制下弧长、扇形面积的对比，让学生感受弧长及扇形面积在弧度制下的简洁美重点：弧度的概念．弧长及扇形的面积的推导与证明．首先通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值，并得出弧度与角度的换算方法．在此基础创设情境，引出问题：类比长度、重量的不同度量制，那么角是否可以用除角度以外的单位制来度量呢？引入弧度制概念创设情境，引出问题：类比长度、重量的不同度量制，那么角是否可以用除角度以外的单位制来度量呢？引入弧度制概念试探究：为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位呢？这个弧度数是否与圆半径的大小有关？引入弧度定义试探究：为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位呢？这个弧度数是否与圆半径的大小有关？引入弧度定义试回答：弧度制与角度制有何异同点呢？如何换算呢？引出换试回答：弧度制与角度制有何异同点呢？如何换算呢？引出换 来解决扇形的有关长度、面积问题归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生第3页理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．(重点在初中学过的角度制中，把圆等分成360份，其中的一份是多少度【提示】1【提示】用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等 1radrrαlα的弧度数的绝对值是r【提示】1360°＝2π2π180°＝ππ1°＝180rad≈0.017_451rad＝(度弧度0ππRl，αααl＝ ＝2(见学生第4页67.5°；(2)112°30′；9【思路探究】πrad＝180°.【自主解答】(1)67.5°＝π112°30′＝112.5°＝π

8

84π3rad＝3×(在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用“πrad＝180°”换5 【解 5 5π【解 5 5 －7π π

8－7π8α＝2010°.将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并α是第几象限的角在区间[－5π，0)α【思路探究】(1)αβ＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)βα(2)关键在于由－5π≤β＋2kπ＜0k×【自主解答】(1)2010°＝2 π＝67π＝5×2π＋7π，×

6α与7π66(2)α6k＝－3时，r＝－296k＝－2时，r＝－1766k＝－16αα在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}α在本例中，找出在区间[0,5π)α6【解 与α终边相同的角可以写为60≤β＜5π

7 ≤666又k∈Z，∴k＝0,1.k＝0时，β＝7π，当k＝1时，β66

(2013·宁德高一检测)20cm【思路点拨】rSr【自主解答】rl r＝5cm25

5cm2rad25rα，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想r

【解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，则 解得 或 ，所以θ＝8rad＞2πrad(舍去)或θ＝2

(见学生第5页将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 【错解】因为－1所以－1485°2kπ＋α【答案】【错因分析】只考虑了将－1485°写成了“2kπ”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度在同一表达式中必须统一6【防范措施】45°＋2kπ(k∈Z)k·360°＋π64【正解】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋7π.4【答案】 1 ： 弧

弧度制下的扇形面积可类比三角形的面积来引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系(见学生第5页 111【解析】D【答案】D5弧度化为角度是 【解析】 【答案】3．(2013·三一检测)把22°30′化为弧度的结果 【解析】22°30′＝22.5°＝22.5180 【答案】84．(2013·潍坊高一检测)72°20cm×【解 设扇形弧长为 π＝2π×

5

6＝7π，则α的终边在 C．第三象限D．第四象限【解析】 ∴α【答案】时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为 3 B．－37 7 【解析】1320分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13【答案】若角α的终边在如图1－1－4所示的阴影部分，则角α的取值范围是

3 {α|6＜ {α|3＜＜6 {α|3≤≤6

3 ＋6【解析 阴影部分的两条边界分别是2π和7π的终边，所以α的取值范围是 【答案】

3

k∈Z与 —3 2D．(2k＋1)π【解析】B中，2kπ－2π，k∈Zπ＋π的终边都与4π 【答案】5．(2013·玉溪高一检测)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 B．sinsinC．2sin D.sin 【解析】Rsin1＝1，∴R＝1l＝α·R＝1＝ 【答案】

sin

sin

sin 度 【解析】π × π＝－5π×【答案】

—已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角α的弧度数 【解析】由题意得∴α＝8或1.

或 【答案】2θ的终边与

5的终边相同，则 内终边与4角的终边相同的角【解析】θ＝8π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝2π＋kπ，k∈Z.k＝0,1,2,3时，θ＝2π，9π，7π，19π且5【答案】

5，10，5，2kπ＋α(0≤α＜2kπ，k∈Z)的形式：3【解 (1)16π＝4π＋4π 3

3 ≤ 3× π＝－7π＝－2π＋π，× 1－1－5AOB120°6AB【解 22∴AB2(2)∵S扇形2222S△OAB＝1×AB×OD(DAB中点22＝1×2×6cos30°×3＝92∴S扇形OAB－S△OAB＝12π－912π－92km30km10s3【解 ∵圆弧半径为R＝2km＝2000m，速度v＝303

3∴10s走过的弧长为250310s |α|＝l＝3 2 例如：2小时40分钟后，则分针所转的弧度数为 3【解析】首先注意到分针转的方向为顺时针，即为负角．又2小时40分钟＝8小时，31

3【答案】100【解 由于星期几也具有周期性，因而可类似于角的问题来解决，即100＝7×14＋2,100天后是星期三 αα的各三角函数值．(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导一．通过对定义域、三角函数值的符号、诱导一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种式．一是本小节的另一个重点．数线之间的关系；在此基础上定义任意角的三角函数，并直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导一等问题．*引导学生探究：单位圆中三角函数的定义并推广至任意角三角函数定义，理解三角函数是以角为自变量，坐标或坐标的比值为函数值的函数引导学生探究：单位圆中三角函数的定义并推广至任意角三角函数定义，理解三角函数是以角为自变量，坐标或坐标的比值为函数值的函数通过引导学生回答所提问题，使学生理解并掌握三角函数值的符号法则、三角函数线等概念，以及如何应用 通过引导学生回答所提问题，使学生理解并掌握三角函数值的符号法则、三角函数线等概念，以及如何应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生第5页3xMP(x，y)，|OP|＝r.α【提示】sin cos tan 【提示】1中，取|OP|＝1时，sinα，cosα，tanα【提示】sinα＝y，cosα＝x，tan

单位圆：OαP(x，y)yαsin_αsinxαcos_αcos xαtan_αtan正弦函数sinα的定义域是R；余弦函数cosα的定义域是R；正切函数tanα的定义域是{x|x∈R，且 【提示】αα30°，390°，－330°【提示】sinα＋k·2πsinα＋k·2π＝sintanα＋k·2π＝tancosα＋k·2π＝cossinα，cosα，tanαMP，OM，AT【提示】可以，sinα＝|MP|，cosα＝|OM|，tanα＝|AT|.(见学生第6页＝已知角θ的终边上有一点P(－3，m)，且sin 2m，求cosθ与tanθ的值．＝【思路探究】mcosθtanθ【自主解答】点P到原点的距离 － ∴sin ＝2mm＝0m＝± m＝0时，cosθ＝33＝－1，tan-864--3-864--3

，tan

-45-3-8-45-3-8

，tan

α注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin ，余弦值 .αP(－4a,3a)(a≠0)sinα，cosα，tanααy＝3xsinα，cosα，tanα【解 a＞0r＝5a，αsin cosα＝r＝5atanα＝y＝3a a＜0r＝－5a，αsinα＝－3，cosα＝4，tan (2)αy＝3x所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝ a2＋3a2＝2|a|(a≠0)．a＞0α为第一象限角，r＝2asinα＝3a＝ cosα＝a atanα＝3a＝aa＜0α为第三象限角，r＝－2asinα＝3a＝－3，cosα＝－a＝－1，tanα＝3a＝

求下列各式的值：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1

11π —6 cos5π·tan【思路探究】利用诱导，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值【自主解答】(1)原式＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos cos5π·tan＝sin(－2π＋π cos5π·tan 利用诱导一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想 cos3π＋tan(－42sin810°＋tan1125°＋cos2【解 cos3π＋tan(－4＝cos(8π＋π 原式＝sin90°＋tan45°＋cos αα≥sin 3 (2)cos ≥2 【思路探究】sinα＝3，cosα＝－1α 2【自主解答】(1)y＝3A，BOA，OBOAOB围成的区域(图(1)中阴影部分)α2故满足条件的角α的集合为 x＝－1C，DOCODOCOD围成的区域(图(2)中的阴影部分)α故满足条件的角α的集合为 3 y＝2cosx－1【解 由题意得：2cosx－1≥0，则有cos

2xM1OM1＝1M1xP1，P22OP1OP2围成的区域(如图中阴影部分)x∴满足cos 1的角的集合即 2cosx－1的定义域为

(见学生第8页y＝sinx·tanxx的取值范围．【错解 由题意知，只需要sinx·tan

①或 x的取值范围为

x＜2kπ或

＝2【错因分析】y＝sinx·tanxxtanx【防范措施】sincostan 【正解 所求x应满足 22

22xx{x|2kπ－π＜x＜2kπ2kπ＜x＜2kπ＋π 诱导一指的是终边相同的角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，可结合三角函数的定义进行(见学生第8页 —22C.

DD．－【解析】cos(－11π)＝cos(－2π＋π

π＝6【答案】

2．(2013·包头高一检测)已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ是( A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【解析】cosθtanθ＜0知，cosθtanθθ【答案】sin1cos1 【解析】sin1>cos【答案】sin1>cosαP(5，a)tan

＝－5

sinα＋cosα【解 ∵角α的终边过点P(5，a)且tan

＝－5 ∴5＝－5r＝|OP|＝52＋a2＝13，sin

cos

sinα＋cos

5 7.αP(

，则cos 22C.

1

2B.＝【解析】由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos 3＝【答案】已知 2kπ(k∈Z)，则cos2α的值为 3 【解析】cos

【答案】

3．(2013·铜川高一检测)已知角α的终边过点P(－3,4)，则sinα＋cos 5 5 【解析】 ∴sinα＋cos

.＝【答案】

r4．(2013·周口高一检测)如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么θ在( A．第一象限B．第二象限C．第三象限D【解析】由题意知

，∴sinθ＞0cosθ＜0θ【答案】3若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为 3333333

【解析】由三角函数的定义有：tan420°＝a∵tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝∴a＝3，∴a＝－4【答案】6．(2013·沈阳高一检测)cos1110°的值 2【解析】cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝2【答案】2α为第二象限时，|sin

|cos sinαcosα【解析】α为第二象限角，所以|sinα|＝1，|cos【答案】

sin

cos角α的终边上有一点M(a，a)，a∈R且a≠0，则sinα的值 【解析】当a＞0时 a2＋a2＝2a，sinα＝y＝a＝ 2当a＜0时 a2＋a2＝－2a，sinα＝y＝ ＝－ － 2∴sinα＝2或－ 2【答案】2或－ sin105°·cossin240°·sincos 3·sincos4·cos【解 ∴sin∴cos∴sin105°·cos230°＜0.∴sin∴sin∴sin240°·sin∵sin∴cos 3π·sin∵4∴cos4＜0，又∵5∴cos∴cos4·cos5＜0.sin(－1320°)cos(1110°)＋cos(－1020°)sin

23＋—3 tan4【解 (1)原式＝sin120°cos30°＋cos60°sin＝3×

11αy＝3xsinα＜0P(m，n)α终边上一点，且|OP|＝10m－n【解 由题意，P(m，n)是解α终边上一点，sin αy＝3x重合，n＝3m＜0，∴m＜0，OP＝10m2＋n2＝10，n＝3m，∴n＝－3，(2013·聊城高一检测

如果4＜＜2cosα＜sinα＜tan B．tanα＜sinα＜cosC．sinα＜cosα＜tan D．cosα＜tanα＜sinαMPOMATOM＜MP＜ATcosα＜sinα＜tan【答案】3(1)sin 3

5

3

5

3cos5如图，画出角2π与4π的正弦线、余弦线、正切线，sin2π＝M1P1，sin4π＝M2P2，tan2π＝AT1，tan4π＝AT2，cos2π＝OM1，cos

∴(1)sin2π＞sin4π；(2)tan2π＜tan4π；(3)cos2π＞cos

5用三角函数线证明：|sinα|＋|cos【证明】α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)r(r＝1)．所以|sinα|＋|cosα的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cos综上有|sinα|＋|cosα|≥1.的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．sin，cos，tan分别是英语单词sine[sain]，cosine[′kosain]，tangent[tnd sinα.cosαtanαcotαsecαcscα，其中关系为：cot

cos

1sec1 sec ，csc

＝sinα＝tancos sin*引导学生结合直角三角形中的勾股定理探究平方关系，利用单位圆中的三角函数定义探究商数关系引导学生结合直角三角形中的勾股定理探究平方关系，利用单位圆中的三角函数定义探究商数关系通过引导学生回答所提问题，理解平方关系、商数关系中通过引导学生回答所提问题，理解平方关系、商数关系中 的结构特征、成立条件，以及它们可以用来解决哪些问题完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识(见学生第9页sin230°＋cos230°＝12＋(3 2cossin60°＝tan60°＝cossin150°＝tan150°＝－cos 3结合以上四例的结果，试猜想：sin2α＋cos2α＝？(α∈R)；sin

【提示】1；tanα；能.1.平方关系：sin2α＋cos2

cos

商数关系：sin cos

2α1α(见学生第9页已知tan α是第三象限角，求sinα，cosα的值＝33【思路探究】sinα＝4cosαsinα，cosα3【自主解答】tanα＝sincos 3得sinα＝4cos 3又 由①②得 29coscos2α＝9α5∴cos55sin5已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系(2013·琼海高一检测)sin

cosθ，tanθ【解 ∵sinθ＝5＞0，∴θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时cos 1－5tanθ＝sin

5

cosθcos tanθ＝sin 13 -cos -tanθ－sinθtantanθ－sinθtanθ＋sin

tanθ－sintanθ－sintanθ＋sin【思路探究 首先弦切互化，减少三角函数的名称，对

，考虑到因式

sin1－cos

的特征，需等价化为11－cos1＋cosθ1－costanθ－tantanθ－tanθ·costanθ＋tanθ·cos【自主解答】原式 1－cos1－cos1＋1－cos1＋cossinθ·1－cosθ1－cos 1－cosπ0<θ<2，∴sinπcos故原式＝sincos

·

sin1－cos1－cos 弦切互化是三角函数式化简的最常用方法，一般是化切为弦，通过减少函数名称，达到化简的目的，但对于关于sinθ，cosθ的 1＋sin化简 (α

1－sin【解 ∵α是第二象限角，∴cos1＋sin1＋sin－cos

1＋sin

1＋sin—|cos－1＋1＋sin＝cos2α

cosα

coscos＝sinα＝tancossinα－cos 1＋sin求证：(1)sinα＋cosα－1＝cosα2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4【思路探究】解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法等变形技巧【证明】(1)sinα－cosα＋1sinα＋cos＝sinα＋cosα－1sinα＋cossinα＋12－cos2＝sinα＋cossin2α＋2sinα＋1－1－sin2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos2sin2α＋2sin＝1＋2sinαcos2sinαsin 1＋sin 2sinαcos

cosα＝(2)左边＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4－3(sin4θ＋cos4＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝不论哪法，一般要遵循由繁到简的原则sinα－cos

cosαsinα＋cosα－

－sin

sinα－cossinα＋cos[sinα－cosα－1][sinα＋cos [sinα＋cossin2α－cos

α＋2sinαcosα－1＋cossin2α－cos2α－2cos2

α＋2sinαcosα－1＋cosα－2cos1－cos2α－cos2α＋2cos＝21－cosα－2sinα1－cos ＝＝2cosα1－cos cos ＝21－cosα1－sin 1－sin(见学生第10页若sinA

5sin＝5A是三角形的一个内角，求15cosA7【错解】因为sinA＝4，所以cos 1－sin2 5sin所

3

15cos

5【错因分析】sinA＝4AcosA5【防范措施】sinα＝±1－cos2αcosα＝±1－sin2αα所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需按象限【正解】∵sin ∴A当A为锐角时，cosA＝ 当A为钝角时，cosA＝－ ∴原式

43

3

sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosαsinα，cosα，tanαsinα，cosαcosαα(见学生第11页α是第四象限角，cos

sinα等于

BB

DD【解析】由条件知sin 1－122＝－5 【答案】＝已知sin 5，则sin4α－cos4α的值为( ＝ 【解析】 【答案】tan

2sinα－cosα sinα＋2cosα

34 42sinα－cos

2tan

sin

＝tanα＋2

＋2cos 【答案】 1－2sinαcosα1＋2sinαcos．化简：cos2α－sin2α 【解 原式sinα－cossincos2α－2sin

sinα＋cossin2sin如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是 costanα＝－sincos

cosα＝－1－sin2sinα＝－1－cos2 D．tan

cos＝sin【解析】A、Dα为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0B【答案】α

π)，sin

cosα等于 55

4

【解析】∵α

π)，∴cosα<0，∵sin2α＋cos2α＝1.∴cosα＝－ 【答案】

已知α是第四象限角

sin 55

DD【解析】∵α是第四象限角，∴sintanα＝－5得sinα＝－5 cos ∴cos 5sinsin2α＋cos2α＝1 5sin∴169sin2α＝1，sinα＝ ∵sinα<0，∴sinα＝－5【答案】＝－2已知sinα－cos＝－2

＋tantan 1＋tan 【解析】tanα＋1＝sinα＋cos

tan1

cos

sin＝sinαcosα＝sinαcos∵sinα－cosα＝－5，∴1－2sinαcos ∴sinαcos sinαcos【答案】sin

，cosθ

＝m＋5

m的值为 C．0或 【解析】sin2θ＋cos2θ＝1 (

m＝08【答案】 6．(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角， cos 2sinα 【解析】∵α∴sinα<0，cos

1－sin2

1－cos2∴原式＝cosα＋2sinα＝cosα＋2sinα|cos

|sin

－cos

－sin【答案】7．(2013·高一检测

4sinα－2cos＝10，则tanα的值 若5cosα＋3sin【解析】

4sinα－2cos5cosα＋3sin

∴4sinα－2cosα＝50cosα＋30sin∴26sinα＝－52cosαsinα＝－2cos∴tan【答案】8．(2013·德州高一检测)在△ABC中，2sinA＝3cosA，则角 【解析】由题意知cosA＞0，即A为锐角．将2sinA＝3cosA2sin2A＝3cosA.∴2cos2A＋3cos2cosA＝1cosA＝－2(舍去2【答案】3 9．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cos 1) 1 tan sin cos【证明】左边＝sinθ(1＋sinθ)＋cosθ·(1＋cos

cos

sinsinθ＋cosθ＋cosθ＋sin

(sinθ＋sinθ)＋(cosθ＋cos sin

cos ＝1＋1＝sin cos

1－cos

1＋cos2<α<2π

1＋cos 【解 ，∴sin

cos21－cos1－cos1＋cosα1－cos1＋cos1－cosα1＋cos11－cos|1－cos

1＋cos1＋cos＝|sinα|

|sinα|∵sin1－cos

1＋cos∴原式 2sin

sinα

sin11tanα＝33cosα－sin 3cosα＋sin (2)2sinα－3sinαcos5sin3α＋cos 2cosα＋sinαcos【解 因为已知tanα＝3，所以逆用把弦函数化成切函数∵tanα＝3；∴cos3－tan3＋tan3－tan3＋tan cos 原式

3cosα＋sincos

＝－2＋1－1＋2sin2α－1－1＋原式

2tan2α－3tan 5sin3α＋cosαsin2α＋cos2原式

2cos3α＋sin2αcos

＝11cos25tan3α＋cos2法二：原式

2＋tan2

＝11sinα±cosα、sinα·cosα【典例】已知sinα＋cos α∈(0，π)，求tan【思路探究】sinα＋cosαsinα－cosαsinα，cosαtanα5【自主解答】∵sinα＋cos55∴(sinα＋cos5∴2sinαcos∵α∈(0，π)，∴sinα＞0，cos∴sinα－cos∴sinα－cos 1－2sin＝

5由①②可得：sinα＝3，cos5 ∴tanα＝sincos α±cosα)2＝1±2sinαcosα.sinα＋cosαsinα－cosα 已知－2<x<0，sinx＋cosx＝5sinx－cosx【解 ∵sinx＋cos

∴sin2x＋2sinxcos 1∴2sinxcos ∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosπ

又∵－2<x<0，∴sinx<0，cos∴sinx－cosx<0.∴sinx－cos

由三角函数的定义知：sin

cos

tan

cot

sec csc∴sinα·csc y

＝rcosα·sec

xxcot

cos＝y＝y＝sinrsin2α＋cos2α＝1cos2α1＋tan2α＝sec2α；sin2α＋cos2α＝1sin2α1＋cot2α＝csc2α.商数关系：tanα＝sinα，cot

coscos

＝sin倒数关系：tanα·cotα＝1，sinα·cscα＝1，cosα·sec(1)理解正弦、余弦的诱导．(1)能运用一、二、三推导 并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明通 四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质重点：诱 的探究，运用诱 进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，提高对数学内部联系的认识难点：发现圆的几何性质(特别是对称性)y＝x

三角函数的诱导y＝x、原点等的对称性出发研究诱导，是一个自然的思路．利用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导(数)与单位圆(形)得到紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且还有利于学生对的，减轻了学生的负担．诱导应当在理解的基础上，而且应当使学生学会利用单位圆帮助．教科书对诱导的特点进行了概括，教学中要留有时间让学生思考、讨论、归纳，引导学生建立各组与相应图形的联系，并对各个的异同进行比较，以此加深的理解．创设问题情境，你能说说从圆的对称性可以得到哪些三角函数的性质吗？引出诱创设问题情境，你能说说从圆的对称性可以得到哪些三角函数的性质吗？引出诱 二 明？引 三、四 明？引 五、六 将负角、大角的三角函数转化为锐角三角函数错误!⇒错误!⇒(见学生第11页32二，并由此探究相关的其他诱 二二αP1(x，y)，π＋α【提示】π＋αα【提示】三三α与－α的终边与单位圆的交点有怎样的位置关系？你能用三角函数的定义验证－αα的三角函数值的关系吗？【提示】x四四απ－α【提示】y1．四2．一～四可以概括为α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±αααπ－ααy＝x【提示】2αP1(x，y)，则π－αP2(y，x)2 sin(2－α)＝x＝cosα；cos(2－α)＝y＝sin α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系得出【提示】能．将 五、三即可 变为五 六 五和六可以概括为π2±α的正弦(余弦)α的余弦(正弦)α(见学生第12页

31π

10π—6 －3(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan【思路探究】利用诱导将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数【自主解答】(1)原式＝－sin(4π＋7π－cos(2π＋4π＝－sin(π＋π－cos(π＋π

6 3

(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan(3)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos60°)sin30°＋tan(－cos60°)sin30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos60°)sin30°－tan 到360°间的角的三角函数若这时角是90°到180°间的角再利用180°－α的诱导化为0°～90°间的角的三角函数若这时角是180°～270°间的角，则用180°＋α的诱导化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是270°～360°间的角，则利用360°－α的诱导化为20～2π0～π2sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1【解 原式＝sin(－30°)sin30°＋cos210°cos150°＋(－tan＝－sin230°＋(－cos30°)·(－cos30°)＋tan60°·tan22 【思路探究】将式中各三角函数中的角构造诱导中需要的形式进行化简．将角统一然后再运用同角基本关系式化简【自主解答】(1)原式sin[360°＋180°＋α]·cos sin180°＋αcos－tan

tan－sinαcos sincos

＝－cos2cosθ·－cos原式＝sincosθ·cos2θ·－sin sinθ·－sinθ·－cos＝cos3θsin2－sin2θ·cos2

＝－cos进行三角函数式化简时：一是注意化异角为同角、化异名为同名、化异次为齐次即化异为同是关键；二是对“切弦混合”问题，化简：sin2500°＋sin2770°－cos21【解 原式＝＝＝＝1－cos2x＝－sin已知 α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值【思路探究】105°＋α＝180°＋(α－75°)sin(α－75°)3【自主解答】∵cos(α－75°)＝－1<0α3 3 3233＝－sin(α－75°)＝23【解 3sin(α－75°)＝－23＝2＝2 cos tan(75°－α)＝－tan(α－75°)＝－2所以

2

＝－tan【思路探究】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导进行化简，逐步地推向右边【自主解答】原式左边－sinα·－sinα·cos －sin＝cosα·－cosα·sinα＝cos＝－tanα＝

2

＝－tanα.sinα＋2cosα＋2tan－α－sin【证明】左边

－cosαsin－tanα－sinαcos －cosαsin ＝－tanα＝(见学生第13页(12分)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝2 3求：(1)sinα－cos【思路点拨】借助同角三角函数基本关系及立方差求解3【规范解答】(1)sin(π－α)－cos(π＋α)＝3＝得：sinα＋cos 2 2＝3对上式平方得：2sinα·cosπ

7 3∵2<α<π，∴sinα>0>cos 4sinα－cosα＝sinα－cos＝＝sin2α＋cos2α－2sinα·cos 69(2)由(1)得：sinα·cos 7，cosα－sinα 8 9＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋sin2 10

7 12sinα＋cosαsinα－cosαcos3α－sin3αcosα－sinα，sinα·cosα的关系诱导一～四的作用在于化任意角的三角函数为

诱导是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的进行化简计算，对形如nπ±α型的角，要注意对n进行讨(见学生第14页1．(2013·西安高一检测)sin690°的值为 22

2

－22【解析】sin690°＝sin(720°－30°)＝－sin22【答案】 A．sin(α＋180°)＝－sinαC．sin(－α－360°)＝－sinα【解析】cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)B【答案】已知sin

【解析】cos(π＋α)＝－sin —【答案 —5

224．(2013·高一检测)已知角α终边经过点P(－4,3)，

cos2－αsin2【解 ∵角α终边经过点P(－4,3)，∴tan

－sinα·sin

＝tancos

－sinα·cos 2－αsin21．sin(－1560°)的值是 AB AB

D. 2【解析】sin(－1560°)＝－sin1560°＝－sin(4×360°＋120°)＝－sin120°＝－2【答案】 16π 16π的值为 —3 －3 1＋ 1－

3＋1．－ 2 2【解析】原式【答案】

3

＝cos3－sin3 若sin 22

2

－2【解析】∵sin π＋α)＝－sin2【答案】

若f(cosx)＝2－sin2x，则f(sinx)＝( A．2－cos2x B．2＋sin2xC．2－sin D．2＋cos【解析】∵f(cosx)＝2－sin∴f(sin 2＝2－sin(π－2x)＝2－sin

【答案】

sinα＋cosα的值为 A．

＝－4 【解析】tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan∴tanα＝－3，∴sincos ∵cos2α＋sin2α＝1，α∈π，3πtan 2 ∴α∴cosα＝－4，sinα＝3，∴sinα＋cos 【答案】6．已知

tan 3【解析】tan(π＋2α)＝tan3—【答案 —3 sin【解析】原式

的值等 cos225° sin135°－sin－cos＝-- ＝ 【答案 若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2009)＝2，则f(2 【解析】∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2＝－[asin(2009π＋α)＋bcos(2【答案】sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°【解 原式＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan＝3×

α sin2－α求sinα＋π sin3π－α＋5cos3

【解 4 ∴sinα＝y＝－3，cosr

＝ ＝

＝cosαtanα 1 sinα＋π4∵tan4

－sinα－cos

cos 2∴2∴sin3α－5cos3 －3cos

α·costan3 －3＋tan

11．(2013·湛江高一检测)已知6<α3【解 因为

＋3＝m(m≠0)tan3－α

6<α30<3 所以

k为整数，化简【思考探究】解答本题可结合(一)～(四)，对角中的参数k分k＝2n或k＝2n＋1两种情况进行讨论【自主解答】法 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，原式 －sinα－cos＝sinπ＋αcosα

－sinαcos

kk＝2m＋1(m∈Z)，法二由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，…故原式

－sinkπ＋α·coskπ＋α用诱导进行化简，碰到kπ±α的形式时，常对k进行分类讨论，其目的在于灵活运用诱导，进行化简．常见的一些关于参k(1)sin(kπ＋α)＝(－1)ksinα(k∈Z)(2)cos(kπ－α)＝(－1)kcosα(k∈Z)sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sinα(k∈Z)(4)cos(kπ＋α)＝(－1)kcosα(k∈Z) 化简 【解 原式＝cos[nπ＋ nn＝2k(k∈Z)原式 nn＝2k＋1(k∈Z)原式＝cos[2kπ＋π＋(π＋α)]＋cos[2kπ＋ππ＋α)]＝cos[π＋(π＋α)]＋cos[π

44综上可知，原式 六组诱导的再探处理，能认识到这一点，对于我们灵活利用诱导进行变形是十分重要的．用类比的方法掌握基础知识 引导学生回忆正弦函数与余弦函数的联系cos引导学生回忆正弦函数与余弦函数的联系cos利用单位圆中的三角函数线作出 x，x∈R的图象，明确图象的形状根据关系cos π，作出y＝cosx，x∈R的图象通过利用单位圆中的三角函数线作出正弦函数、余弦函数的图象的过程，让学生体验、理解数形结合这一方法*通过引导学生回答预设问题，探究正弦曲线、余弦曲线的特征及用法 通过引导学生回答预设问题，探究正弦曲线、余弦曲线的特征及用法完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识(见学生第14页y＝sinx在[0,2π]【提示】y＝sinx在[0,2π]【提示】y＝sinx，x∈[0,2π]y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(2π个单位长度)y＝sinx，x∈Ry＝sinxy＝cosxy＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R【提示】cos

x)只需把y＝sin

y＝cosx，x∈R 的图象向左平移2y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R正弦曲线和余弦曲线“五点法正弦曲线和余弦曲线“五点法”y＝sinx，x∈[0,2π]【提示】x“五点法”作图的一般步骤是列表⇒描点⇒2(2(2(见学生第15页用“五点法”用“五点法”(1)y＝1＋2sin(2)y＝2＋cos【思路探究】在[0,2π]【自主解答】x0πsin01001＋2sin1311，

x0πcos10012＋cos32123“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”xy＝2sinx，x∈[0,2π]【解 按五个关键点列表x0π2sin0200利用“图象变换”利用“图象变换”(1)y＝1－cosx；(2)y＝|sin【思路探究】对(1)y＝cosxy＝－cosx1个单位即可；对(2)sinx在[0,4π]xx【自主解答】(1)y＝cosx，x∈[0,2π]xy＝－cosx，x∈[0,2π]y＝1－cosx的图象(如图①所示(2)y＝sinx，x∈[0,4π]xx轴上方(x轴上方的部分不变)y＝|sinx|的图象(如图②所示函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，－f(x)与f(x)的图象关于轴对称，－f(－x)f(x)的图象关于原点对称，f(|x|)yy＝1－sin2x【解 y＝1－sin2x＝cos2x＝|cosy＝cosx(x∈R)y＝|cosx|yy＝cosx(x∈R)xx轴上方(x轴上方部分保留)y＝|cosx|的图象(如图所示

2【思路探究】y＝sinxy＝122【自主解答】y＝sinx，x∈[0,2π]2 ∴当0≤x≤2π时，sin 1的解为

∴不等式sin 1的解集

6≤6 6sinx>a(或cosx>a)y＝a，y＝sinx(y＝cosx)sinx＝a(cosx＝a)x选取一个合适周期写出sinx>a(或cosx>a)的解集，要尽量使解集为续区间sinx>a(cosx>a)(1)sinx＝a(cosx＝a)x1sinx<2【解 作出y＝sinx，x∈π，5π]及y＝1的图象如下

sinx<21 16π<x<61sinx<21 x|2kπ＋6π<x<2kπ＋6 (见学生第16页(12分)求下列函数的定义域：(1)y＝2sin(2)y＝sinx－cos【思路点拨】写出使得函数有意义时所满足的条件→结合三角函数的定义域→2【规范解答】(1)要使 2sinx＋1有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥－1.22知函数 2sinx＋1的定义域 x|2kπ－6≤x≤2kπ6 6 (2)要使函数有意义，必须使sinx－cos 8利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所 10在[0,2π]sinx＝cosxx为π，5π 所以定义域为x|4＋2kπ≤x≤4 12 x(见学生第17页用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 B．

【解析 【答案】y＝－sinx在[0,2π] 【解析】y＝sinx在[0,2π]xD【答案】函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线

【解析】y＝cosx，x∈[0,2π]1【答案】在[0,2π]y＝－sinx－1【解 (1)按五个关键点列表x0πy0对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是( y＝cosxxy【解析】A、B、C均正确，D【答案】

m)在函数y＝sinx的图象上，则m等于 【解析】由题意－m＝sin

【答案】

y＝sinx，x∈[0,2π]sin个值B．2C．3个值D．4

x有 【解析】当x∈[0,2π]时

【答案】y＝cosx|tan

sinx

π的图象是下列图象中的 2【解析】y＝cosx|tan22sinx，0≤x＜π或22 －sin【答案】在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是

π

．

，4

C． ． (4，4 4，2【解析】如图所示(阴影部分)sinx>cos【答案】利用余弦曲线，写出满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的区间 【解析】y＝cosx，x∈[0,2π]cosx>0的区间为[0，π∪【答案】

π

(

2lo1sinlo1sin【解析】

log2sin

≥00<sinx≤1【答案】 有且只有两个交点则m的取值范围 【解析】y＝sinx，x∈[0,2π]y＝mm＝1m＝－1时二图象只有一个交点；当－1<m<1【答案】1y＝1－cosx(0≤x≤2π)【解 列表x0πcos10011－cos01210y＝2cosx(0≤x≤2π)y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)【解 观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形有 y＝2cosxy＝2OABC∴S矩形

，4]y＝f(sinx)【解 依题意，有

∴－2≤sin

－6≤x≤2kπ＋62kπ6≤x≤2kπ6即

－6，(1)方程x2－cosx＝0的实数解的个数是 (2)方程sinx＝lgx的解的个数 【思路探究】(1)y＝x2，y＝cosx图象，数形结合判断；(2)y＝sinxy＝lgx图象【解析】(1)y＝cosxy＝x2(2)xOyy＝sinx，x∈[0,2π]2πy＝sinx的图象．描出点1，－1)，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．sinx＝lgx3【答案】 f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]y＝kk【解 在同一坐标系内作函数图象(如图)1<k<3时，y＝f(x)y＝k有两个不同的交点．k的取值范围为(1,3)．了．类似于一个人从到纽约，这个人还是他本人，只是他所在的位置改变了．由平移变换知：函数f(x)＝sin

位得函数 π

π的图象．根据诱

动态演示用几何法与描点法作出正弦函数，余弦函数的图象(1.4.1正弦函数，余弦函数的图象，，数学的可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象以及诱导一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期2π.取最大(小)x的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳．*引导学生根据研究周期性的方法，直观地观察出正弦、余弦函数的其他性质引导学生根据研究周期性的方法，直观地观察出正弦、余弦函数的其他性质通过引导学生回答所提问题，加强对正弦、余弦函数的性质以及用法的理解通过引导学生回答所提问题，加强对正弦、余弦函数的性质以及用法的理解归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生第17页y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点海水会发生潮汐现象，大每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次1211分钟运行一周．【提示】观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个可以反映这种规律【提示】具有．sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx.f(x)Txf(x＋T)＝f(x)f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Zk≠0)y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Zk≠0)x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx【提示】y＝sinx，x∈Rsin(－x)＝－sinxy＝sinxy＝cosx，x∈Rcos(－x)＝cosxy＝cosxy【提示】【提示】 3π上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点－2，2【提示】y＝sinx在 π上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在

y1

[2，21.y＝siny＝cos处RR在 πk∈Z)上是增函数；在 π π πk∈Z)x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(见学生第18页 π＋3)；(2)y＝|cos【思路探究】解答本题(1)可利用代换z＝π＋3，将求原来函数的周期转化为求y＝sinz的周期再求解，或利 【自主解答】(1)法 令z＝π＋3，且y＝sinz的最小正周期为 因 ∴由周期函数定义，T＝4是 π＋3)的最小正周期法 π＋3)的周期 2y＝|cosx|y＝|cosx|对于形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且ω≠0)函数的周期求法常直接利用T＝2π来求解；形如ωx|y＝|Acosωx|

π 【解

π

(2)∵y＝cos|x|＝cos

＝2f(x)＝2sin

3πsin(4＋2f(x)＝1－cosx＋cos【思路探究】f(－x)f(x)及－f(x)【自主解答】(1)f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin

3x＋3π

sin(

cos

＝－cos3x＋3πsin( 2

cosf(x)＝0要注意诱导在判断f(x)与f(－x)之间关系时的作用(1)f(x)＝

(2)f(x)＝lg(sinx＋【解 (1)函数的定义域为R，f(x)＝2sin(2x＋5π)＝2sin(2x＋π＝2cos2x，显然有f(－x)＝f(x)成立2∴f(x)＝2sin(2x＋5π)2(2)f(－x)＝lg(－sin

sin

＝－lg(sin ∴函数f(x)＝lg(sin 求函数 【思路探究】本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导，将

π－x)y＝－sin(x－πy＝sin(x－π【自主解答】 π－x)＝－sin(x－π

6z＝x－πy＝－sin6y＝－sinzsinz2即 2 y＝sin(π－x)的单调递减区间为 y＝Asin(ωx＋φ)＋by＝Acos(ωx＋φ)＋b(A≠0，w>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余求函数 【解 ，由得

y1＝a－bcosx的最大值是3，最小值是－1y＝－4asin3bx 【思路探究】yay1【自主解答】y1的最大值是3

当b>0时，由题意得

22

b<0

2 2y＝－2sin3xy＝2siny＝asinx＋by＝acosx＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到正、余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑sinx或cosx的范围．求函数y＝3－2cos π的值域【解 ∴

4≤2≤cos2∴－1≤－cosx≤－2∴－2≤－2cosx≤－∴1≤3－2cosx≤3－y＝3－2cosx，x∈[－π，π的值域为[1,3－ (见学生第20页y＝1－2cos2x＋5sinx【错解 y＝1－2cos2x＋5sin＝2sin2x＋5sin＝2(sin

8 8y＝1－2cos2x＋5sinx的最小值为－338【错因分析】sinx的值介于[－1,1]sinxR，所以本题中的以sinx为自变量的二次函数的定义域不是R，而是[－1,1]．【正解】y＝1－2cos2x＋5sin＝2sin2x＋5sinx－1＝2(sin

5

—8sinx＝tt∈[－1,1]

5

—8y在[－1,1]t＝sinx＝－1时，函数取得最小值－4t＝sinx＝1(见学生第21页2下列函数中，最小正周期为π的是( A．y＝sinx B．y＝cosx2【解析】T＝2πD

D．y＝cos【答案】 B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝|sin【解析】y＝sinx【答案】y＝cos

B．

【解析】y＝cosx在[0，π∴cos y≤cos0，即【答案】

【解

π－x)＝－2sin(x－π 4z＝x－πy＝－2sinzsinz4由 k＝0

4≤ 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象的一条对称轴是 A．y B．xC．直线

【解析】x＝π时，y取最大值，∴x＝π 【答案】函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是 【解析】φ＝π时，y＝sin(2x＋π＝cos2xy＝cos2x 【答案】函数 π的最小值，最大值分别是 【解析】 π

π π

【答案】

π

3 2，3【解析】令 2kπ＋3π，k∈Z可 f(x)的递减区间为[2kπ＋π，2kπ＋4π【答案】

3 sin11°<cos10°<sinsin168°<sin11°<cossin11°<sin168°<cossin168°<cos10°<sin【解析】∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sinsin11°<sin12°<sin80°sin11°<sin168°<cos【答案】

4π 【解析】∵4π＝2π，∴ω＝±【答案 ±2

函数y＝sin2x＋sinx－1的值域 【解析】y＝(sin ∵－1≤sin2∴0≤(sin2

44【答案】 若已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝sin2x＋cosx．则x<0时 【解析】x<0∴f(－x)＝－sin2x＋cos∴f(x)＝－[－sin2x＋cosx]＝sin2x－cos【答案】sin2x－cos

＋2sinx1－sin

1－sin 2【解 (1)函数f(x)的定义域是R，f(x)＝sin(2x＋3π＝－cos2∴f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos(2)sinx≠1f(x)的定义域为

，k∈Z

x)【解

π－x)＝－3sin(x－π

由 3≤解得 ≤y＝3sin(π－x)的单调增区间为 [

－3)＋b的定义域为

，2]1，最小值为－5ab【解

∴－ ≤1， a>0f(x)min＝－由 －33解得 b＝－23＋12a<0时，f(x)max＝－－由

3，解得 3b＝19－12比较下列各组值的大小．sin sin425 5sin194°与cos【思路探究】(1)首先将角21π和42π化为[0,2π]内的角，再依据单调性比较大小．(2) 【解 (1)由于sin21π＝sin(4π＋π＝sin sin42π＝sin(8π＋2π＝sin 5 5 π2π 0<55<2y＝sinx在[0，2]

55

2π

5

5(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sincos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin0°<14°<70°<90°y＝sinx在[0，π上单调递增，所以sin14°<sin70°，－sin14°>－sin70°sin194°>cos三角函数值．对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，π]或π，3π]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或 (1)sin(－320°)sin (2)cos8cos9【解 ＝sinsiny＝sinx在[－π，π ∴sin∴sin(－320°)>sin

cos8 cos9y＝cosx在[0，π] cos8<cos9y＝sinxy＝cosxy＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为 πy＝cosx的对称中心为 f(x)＝sinx＋acosx

π

6【解析】可先对f(x)的解析式化简，要求其对称轴方程，使其中的一个对称轴方程为x＝π，从而求出a66∵f(x)x＝π6∵f(0)＝π即 ∴a＝3，故填【答案 f(x)＝sinxf(a＋x)＝f(a－x)x

πf(x)＝cosxf(a＋x)＝－f(a－x)x对正切函数，教科书采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图对正切函数的周期性，教科书是分步骤完成的．先由诱导说明，正切函数是周期为π的周期函数．然后在研究了它的图象图象．教学中，还可鼓励学生利用工具画出正切函数的图象(见本节的“应用”)．学生在初次接触正切函数的图象时，对“它是由被互相平行的直线 kπ，k∈Z所隔开的无数多支曲线组成”，以及“直线 ＝2＋kπ，k∈Z是图象的渐近线”等的认识可能 —2，－2)，(－2，2)，(2，2 ππ上，都有一支曲线与x轴交于一点(如(0,0))，且与渐近线(引导学生结合诱 ，类比推理正切函数的周期性、奇偶性；借助于单位圆获得其单调性、值域引导学生结合诱 ，类比推理正切函数的周期性、奇偶性；借助于单位圆获得其单调性、值域*归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生第21页【提示】我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y＝tan

π【提示】能．三个关键点

，两条平行线

4

＝2，正切曲线是被相互平行的直线

kπ，k∈Z【提示】{x|x∈R，且 诱导tan(π＋x)＝tanx说明了正切函数的什么性质【提示】诱导tan(－x)＝－tanx说明了正切函数的什么性质【提示】

【提示】函数y＝tanx(x∈R且 y＝ta