各式各样的目标函数(教师版)

各式各样的目标函数线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题．但在各级各类考试中，针对于此的考查却不拘泥于线性，有非线性的约束条件，亦有非线性的目标函数．本文将带领读者一起梳理各式各样的目标函数，这里既有大家熟悉的截距型、距离型、斜率型目标函数及其变式，又有不太为人所知的曲线型目标函数；这里既有处理此类问题的常规方法——利用目标函数的几何意义，又有笔者自己钻研的特殊方法——换元法、不等式放缩法等．下面和盘托出，与读者一一分享．1.截距型目标函数目标函数形如zaxby.求这类目标函数的最值时，常将zaxby（b0）转化az为直线的斜截式yxbbzbzb0的最值间接求出的最值.注意：当时，，z截距与同时最大和最小；当时，两者的最值情况相反.zb0bPx,y也可看作两个向量的数量积.设可行域内一点，定点新的角度：zaxbyQa,bzOPOQOPOQ，当在方向上的投影最大（小）时，OPOQ最大（小），，则z最大（小）.这也是处理截距型（线性）目标函数的一个通法.2.距离型目标函数zxy2x,y0,0，表示点与原点的距离；形如2x,ya,b，表示点与点的距离；形如zxayb22形如zx2y2，zxaybx2y22ax2bya2b2则表示相应距22离的平方；axbyc形如zaxbyc，可变形为za2b2a,b（不同时为零），表示a2b2x,y点到直线axbyc0的距离的2ab2倍.3.斜率型目标函数y形如，表示点与原点连线的斜率；zxx,y0,0yb形如zx,ya,b，表示点与点连线的斜率；xaydzcydaxb（ac0），可变形为zcbdaccx,y,连形如，表示点与点xbaac线的斜率的倍.axy20例1设实数x,yx2y50，则zyxxy的取值范围是（）15510（C）2,（D）2,,,（A）3223y解：令，表示可行域内的点与原点连线的斜率，作出可行域（图略）可得x,ytx1,2zt1，结合对勾函数的单调性可得z2,10，选（D）.其范围是.又3t3例2若实数x,y满足x3y1，则z2xxyy的最小值为（）53（A）（B）（C）（D）12235y22xyytxxy解：因为x0，zxy，令，作出可行域（图略）可得其范围是1x12t150,z1,2，选（A）.，则21t1t3xy302xy1xyx,yx2y30，求z例3已知实数满足的取值范围.x1解法1：不等式组表示的平面区域如图1中阴影部分，，故点1,1应为空心点.xy0注意到z2xy1xyx11x1tx1xy，xyxyxy，记x1因为，所以1xyx1y11y1tx1x1x1，y1其中表示点与点x,y1,1连线的斜率.由图易知x1y11y1351，则01tz1t的取值范围是,.2，得，则x12x1233uxyxvu1，则u30u00,2，作出可行域如图2中阴影部分，注意到，故点应为空心点.5u3v60vu2目标函数zv5,u,v，表示可行域内的点与原点连线的斜率，易得其范围是.u34.曲线型目标函数z如zxy，可变形为y（x0,z0），表示一系列反比例函数；x1如zyx，可变形为yzxz0z1z（，且），表示底数为的一系列指数函数；y2如zx，可变形为y2zxz0x（），表示一系列焦点在轴上的抛物线；xy22如2zx2y2，可变形为z1（z0），表示一系列离心率相同的椭圆.z22xy10x,yx2y14，则xy的最大值为（）例4设实数满足xy62549（A）（B）（C）（D）121622，表示一系列反比例函数的图象（仅考虑第一象限）.需要当反比例x2,6z函数的图象过点时较大，还是当反比例函数的图象与直线2xy10相切时z较大.zy对于前者：z2612；对于后者：联立x得2x210xz0，令0得2xy102525.综上，的最大值为，选（A）.zz22xyx,y2xy10得y102x，由解法2：因要求的最大值，故可只考虑正数.由y102x，xyx102x2x5x2x5x25，当且仅当x5x2基本不等式得225x25xy即2时等号成立.经检验取等条件满足不等式组，故的最大值为.2y5x2y1901x,yxy80，则zyx的取值范围是（）例5已知的二元一次不等式组2xy1402,1010,91,3（A）（B）2,9（C）（D）1zyx即yzx（z0，且z1），表示一系列底z数为的指数函数，其图象与可行域有交点.易得，当13,8z图象过点时，最小，为82；当图象过点1,939z2,9.z时，最大，为.于是xy40x,yy10例6已知实数满足，则x10zy2x的最大值是（）1（A）（B）（C）（D）1393y2解法1：不等式组表示的平面区域如图5中阴影部分，z即y2zx，表示顶点在xz原点，焦点为,0z0（），开口向右的一系列抛物线，其通径长为.显然，当抛物z4321线过点A1,3时，开口最大，通径最长，则最大，为z9，选（D）.x1解法2：由条件得1x4y3，同理1y3，于是y239，当且仅当2x1y3y2时取等号，故zx的最大值为9，选（D）.x3y2为.解法1：由题意知，ax9ya，则实数的最大值即为zx29y2的最小值.22min作出约束条件表示的平面区域，如图6中阴影部分.xy22zx29y20，即z1，表示一系列z9以原点为中心，长轴长为2z，离心率相同的椭圆.由图易知，当椭圆与直线xy1相切时，长xy1轴长最短，z最小.由zx29y2得10x218x9z0，令0，得z9.所109以的最小值为，即为的最大值.za10xt2解法2：令t3y，则转化为在约束条件3xt4下寻求zx29y2x2t2的3xt3最小值.新的可行域如图7中阴影部分，由x,t图易知原点到可行域内的点的距离的最小值为原点到直线3xt3的距离，为03310z，则的最小值为32123101029a，即为的最大值.xy0x,yxy40，则z3xy4x2y8的最小值是例8若实数满足（）1112（A）（B）（C）（D）1618解：作出可行域如图8中阴影部分，易知x2y80，直线3xy40与可行域交于点C0,4A1,1和x,y△OAC时，3xy40；当点x,y△ABC时，.当点3xy40.则目标函数2xy12,x,y△OACz3xy4x2y83xy4x2y8，4x3y4,x,y△ABC由图可知，z2xy12和z4x3y4Az均在点处取得最小值，所以的最小值12为31412811，选（A）.例9若实数x,y满足x2y21，则2xy26x3y的最小值是.解法1：满足x2y21x,yx,y的实数表示的点构成的区域是单位圆及其内部，如图9所示.由图可知，单位圆面在直线6x3y0的左下方，则恒有6x3y0；直3455线2xy20与圆x2y21交于点A,C1,0和x,y弓形面ANC时，，当点有2xy20；当点x,y弓形面AMC时，有2xy20.于是x2y4,x,y弓形面ANC83x4y,x,y弓形面AMCz2xy26x3y，设zx2y4，z83x4y，分别作直线y1x和y3x，并平移，容241263343.5512解法2：由绝对值不等式得2xy26x3y2xy26x3y3x4y8，3x4y8的点到直线l：3x4y80的距离.表示满足x2y21x,y其中3242如图10，作OBlB于点，与圆x2y21交于点B，与圆x2y21交于点3x4y83242834A,55315ABOBOA34.又当，时，，则，故32422xy26x3y533xy2xy26x3y3，5553故所求最小值为.x10x,y例10若实数满足约束条件1x2123z3，当且仅当xy1xyxz3时，等号成立，故的最大值为；由分式型柯西不等式得2322，xyx4xx4x4121212zy4xx4213224z时，等号成立，故的最小值为当且仅当12，即.x4xy4221110u111，11解法2：令u,1v0，则zu2v，约束条件变为，即x2yuv114uv0u11z0vu，作出可行域如图11中阴影部分.zu2v即vu，表示一系列斜22v4u1u1zuv率为的直线.当直线过点时，最大，最大，为；当直线与曲线4u1相1,1z322z切时，最小，最小，为3224z.2ab20a2b1.如果实数a,b满足条件ba10，则的最大值是.2aba1x0x2y3x12