2023年高考第二次模拟考试试卷数学（新高考Ⅱ卷A卷）（全解全析）

年高考数学第二次模拟考试卷数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，所以.故选：C2．已知复数，则的共轭复数为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】依题意，，所以．故选：D3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】B【详解】如图，依题意可知，，所以，1小时小时．故选：B．4．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得.故选：A.5．二项式展开式中的系数为（

）A．120 B．135 C．140 D．100【答案】B【详解】的展开式通项公式为，其中，，，故二项式中的四次方项为，即展开式中的系数为.故选：B6．已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为函数（且）图像恒过的定点，又因为定点在直线上，所以，，当且仅当，即时，取等号，所以最小值为，因为关于的不等式恒成立，所以，所以，即得，，解得，所以，实数的取值范围为.故选：A.7．已知是双曲线：的右焦点，为坐标原点，是的右支上一点，若，，则的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】如图所示：其中为双曲线的左焦点，则有，，，，且，即，所以，在中，，由双曲线定义知，，解得，在中，，则有，化简得，所以.故选：D.8．设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，的定义域为所以为奇函数，，令，，因为对任意，都有，所以，所以在上单调递增.因为为偶函数，所以在上单调递减.不等式等价于，因为，所以，所以不等式等价于，所以，即.故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下面命题中，正确的有（

）A．回归直线方程对应的回归直线必经过样本中心点B．设两个变量x，y之间的线性相关系数为r，则r越接近1，，的相关性越强C．一列数据：7，6，5，4，3，2，这列数据的上四分位数为6D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好【答案】ACD【详解】对选项A：回归直线方程对应的回归直线必经过样本中心点，正确；对选项B：，的相关性越强，则r越接近1或，错误；对选项C：7，6，5，4，3，2，，取第2个数据为，正确；对选项D：残差分布的水平带状区域的宽度越窄，拟合精度越高，拟合效果越好，正确；故选：ACD10．函数，以下正确的是（

）A．若的最小正周期为，则B．若，且，则C．当时，在单调且在不单调，则.D．当时，若对任意的有成立，则的最小值为【答案】BCD【详解】，，，故A错误；，又，且，，，，故B正确；当时，若在单调，则，且，，又，，则，由，得，此时在单调且在不单调，故C正确；当时，，又因为对任意的有成立，则，即，当时，取最小值，故D正确．故选：BCD.11．在棱长为2的正方体中，点M，N，P分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（

）A．B．直线MN与AP所成的最大角为90°C．三棱锥的体积为定值D．当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为【答案】ABC【详解】对于A，因为正方体是棱长为2的正方体，连接，因为点M、N分别是线段、线段的动点，且，所以，,所以,又,所以，因此A正确；对于B，又，因此，因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角，当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，因此B正确；对于C，，因此C正确；对于D，当P为点时，四棱锥体积最大，该四棱锥的外接球即正方体的外接球，直径为，故其表面积为，因此D不正确.故选:ABC.12．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（

）A．四边形面积的最小值为4B．线段的最小值为C．当直线的方程为时，最小D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为【答案】ABD【详解】圆的圆心，半径为，可知，，，，当取最小值时，四边形面积取得最小值，此时，所以四边形面积的最小值为，故A正确；又圆心到直线的距离，所以当取得最小值时，，可得，故最小值，故B正确；当直线的方程为时，，，则，所以直线与直线垂直，又是中点，，，所以，则，所以，易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故C错误；设M到直线的距离为，因为，且，所以，则，设，所以，即，解得，所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．故选：ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则在方向上的投影向量为________________．【答案】【详解】由于，故在方向上的投影向量为，故答案为：14．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.【答案】【详解】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.故答案为：15．过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】因为，则，设切点为()，，所以切线方程为，代入，得，即这个关于的方程有两个解，令()，，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，，且，，所以.故答案为：.16．已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是______.【答案】【详解】由题意当时，有，即，即，故令，则当时，，则在上单调递减，由于，而，即有，即，所以，即实数a的取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知数列中，，前项和.(1)求，，及的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）对于，则有：令，则，解得；令，则，解得；当时，则，整理得，则；注意到也满足上式，故.（2）由（1）可得，则，∵当时，恒成立，故.18．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，且的面积是，求AD的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，解得．因为，所以．（2）因为△ABC的面积是，所以，解得．因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即当时，AD取得最小值．19．（12分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y的概率分布列与数学期望.参考数据：若，则，，．【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元(2)14(3)分布列见解析，1【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：（百元）．∵，，∴中位数在内，设中位数为x百元，则，解得．∴估计中位数为13百元．（2）由（1）知，∵，，∴，∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．∴Y的概率分布列为Y0123P∴．20．（12分）如图，直三棱柱的体积为的面积为(1)求点到平面的距离；(2)设为的中点，，平面平面，求二面角的正切值．【答案】(1)(2)【详解】（1）设求到平面的距离为，矩形中对角线互相平分，到平面的距离也为，因为直三棱柱的体积为2，即可得，故,又，解得，所以到平面的距离为；（2）连接，因为直三棱柱中，，故为正方形，即，又平面平面，平面平面平面，故平面，平面,所以，又因为平面,平面,所以平面，且，故平面，平面,则，所以三条直线两两垂直，故建立如图以为原点建立空间直角坐标系设，则，由条件可得，解得，则的中点，所以，设平面的一个法向量为，，取，同理可求得平面的一个法向量为所以．所以二面角的正弦值为可以判断此二面角为钝角，所以二面角的正切值为．21．（12分）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点E在x轴上且对任意直线l，直线OE都平分（O为坐标原点）．①求点E的坐标；②求的面积的最大值．【答案】(1)(2)①；②【详解】（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得，所以，又焦点F与短轴两端点构成等边三角形，所以，所以，，所以椭圆C的方程为．（2）①设，当l与x轴垂直时，恒成立；当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，所以，设，，直线l的斜率为，则直线l的方程为，又，，所以，又，，所以，即，联立方程组消去y，得，，所以，，代入上式可得，即点．②当l与x轴垂直时，；当l与x轴不垂直时，，令，则，当时，即时，取到最大值，此时最大，最大为，综上，的面积的最大值为．22．（12分）已知函数．(1)若直线与曲线相切，求k的值；(2)若，，求a的取值范围．【