高等数学同济大学第六版-高等数学课件第一章函数与极限

高等数学同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的.无限集4/5/20232数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.4/5/202332.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,4/5/20234称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.4/5/202353.邻域:4/5/202364.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.4/5/202375.绝对值:运算性质:绝对值不等式:4/5/20238因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念4/5/20239自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.4/5/202310定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．4/5/202311(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo4/5/202312(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线4/5/202313有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数4/5/202314(4)取最值函数yxoyxo4/5/202315在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.4/5/202316例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压4/5/2023174/5/202318例2解故4/5/202319三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:4/5/2023202．函数的单调性:xyo4/5/202321xyo4/5/2023223．函数的奇偶性:偶函数yxox-x4/5/202323奇函数yxox-x4/5/2023244．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.4/5/202325

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数4/5/202326五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数4/5/202327思考题4/5/202328思考题解答设则故4/5/202329练习题4/5/2023304/5/202331练习题答案4/5/2023324/5/202333一、基本初等函数1.幂函数4/5/2023342.指数函数4/5/2023353.对数函数4/5/2023364.三角函数正弦函数4/5/202337余弦函数4/5/202338正切函数4/5/202339余切函数4/5/202340正割函数4/5/202341余割函数4/5/2023425.反三角函数4/5/2023434/5/2023444/5/202345幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.4/5/202346二、复合函数初等函数1.复合函数定义:4/5/202347注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.4/5/202348例1解4/5/202349综上所述4/5/202350三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数4/5/202351奇函数,有界函数,4/5/202352双曲函数常用公式4/5/2023532.反双曲函数奇函数,4/5/2023544/5/202355奇函数,4/5/202356四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)4/5/202357思考题4/5/202358思考题解答不能．4/5/202359一、填空题:练习题4/5/2023604/5/202361练习题答案4/5/2023624/5/2023634/5/202364“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入4/5/202365正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积4/5/2023662、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”4/5/202367二、数列的定义例如4/5/202368注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数4/5/202369播放三、数列的极限4/5/202370问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:4/5/2023714/5/202372如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：4/5/202373几何解释:其中4/5/202374数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：4/5/202375例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.4/5/202376例3证4/5/202377例4证4/5/202378四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界4/5/202379定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.4/5/2023802.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.4/5/202381例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.4/5/2023823.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a4/5/202383五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.4/5/202384思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立4/5/202385思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值4/5/202386从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为4/5/202387练习题4/5/202388“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入4/5/202389三、数列的极限4/5/202390三、数列的极限4/5/202391三、数列的极限4/5/202392三、数列的极限4/5/202393三、数列的极限4/5/202394三、数列的极限4/5/202395三、数列的极限4/5/202396三、数列的极限4/5/202397三、数列的极限4/5/202398三、数列的极限4/5/202399三、数列的极限4/5/2023100三、数列的极限4/5/2023101三、数列的极限4/5/20231024/5/2023103播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023104通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.4/5/20231054/5/20231062.另两种情形:4/5/20231073.几何解释:4/5/2023108例1证4/5/2023109二、自变量趋向有限值时函数的极限4/5/20231104/5/20231112.几何解释:注意：4/5/2023112例2证例3证4/5/2023113例4证函数在点x=1处没有定义.4/5/2023114例5证4/5/20231153.单侧极限:例如,4/5/2023116左极限右极限4/5/2023117左右极限存在但不相等,例6证4/5/2023118三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性4/5/2023119推论3.不等式性质定理(保序性)4/5/2023120定理(保号性)推论4/5/20231214.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4/5/2023122证4/5/2023123例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.4/5/2023124例7证4/5/2023125二者不相等,4/5/2023126四、小结函数极限的统一定义(见下表)4/5/2023127过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后4/5/2023128思考题4/5/2023129思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.4/5/2023130一、填空题:练习题4/5/20231314/5/2023132练习题答案4/5/2023133一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023134一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023135一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023136一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023137一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023138一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023139一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023140一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/2023141一、自变量趋向无穷大时函数的极限4/5/20231424/5/2023143一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.4/5/2023144例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.4/5/20231452.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性4/5/2023146意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证4/5/2023147注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.4/5/2023148定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证4/5/2023149推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小4/5/2023150二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.4/5/2023151特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.4/5/2023152不是无穷大．无界，4/5/2023153证4/5/2023154三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证4/5/2023155意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.4/5/2023156四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.4/5/2023157思考题4/5/2023158思考题解答不能保证.例有4/5/2023159一、填空题:练习题4/5/20231604/5/2023161练习题答案4/5/20231624/5/2023163一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得4/5/20231644/5/2023165推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，4/5/2023166二、求极限方法举例例1解4/5/2023167小结:4/5/2023168解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例24/5/2023169解例3(消去零因子法)4/5/2023170例4解(无穷小因子分出法)4/5/2023171小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.4/5/2023172例5解先变形再求极限.4/5/2023173例6解4/5/2023174例7解左右极限存在且相等,4/5/2023175三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.4/5/2023176思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？4/5/2023177思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．4/5/2023178一、填空题:练习题4/5/2023179二、求下列各极限:4/5/20231804/5/2023181练习题答案4/5/20231824/5/2023183一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限4/5/2023184定义:4/5/2023185例1解例2解4/5/2023186常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,4/5/2023187二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证4/5/2023188例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意4/5/2023189例4解解错4/5/2023190例5解4/5/2023191三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.4/5/2023192思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？4/5/2023193思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时4/5/2023194练习题4/5/20231954/5/20231964/5/2023197练习题答案4/5/20231984/5/20231994/5/2023200一、函数的连续性1.函数的增量4/5/20232012.连续的定义4/5/20232024/5/2023203例1证由定义2知4/5/20232043.单侧连续定理4/5/2023205例2解右连续但不左连续,4/5/20232064.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,4/5/2023207例3证4/5/2023208二、函数的间断点4/5/20232091.跳跃间断点例4解4/5/20232102.可去间断点例54/5/2023211解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.4/5/2023212如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点4/5/20232133.第二类间断点例6解4/5/2023214例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.4/5/2023215狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★4/5/2023216在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:4/5/2023217例8解4/5/2023218三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)4/5/2023219可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx4/5/2023220思考题4/5/2023221思考题解答且4/5/2023222但反之不成立.例但4/5/2023223练习题4/5/20232244/5/2023225练习题答案4/5/20232264/5/20232274/5/2023228一、四则运算的连续性定理1例如,4/5/2023229二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.4/5/2023230定理3证4/5/2023231将上两步合起来:4/5/2023232意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解4/5/2023233例2解同理可得4/5/2023234定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,4/5/2023235三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★4/5/2023236定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)