IIR滤波器的完全设计函数

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以上介绍了IIR滤波器设计原理和基本方法步骤，并给出了一些例子说明如何用MATLAB编程分步实现这些步骤。由这些步骤可知我们必需屡屡调用MATLAB信号处理工具箱中的基本工具函数。

实际上，MATLAB信号处理工具箱还提供了IIR滤波器设计的完全工具函数，用户只要调用这些工具函数即可一次性完成设计，而不需要调用那些基本工具函数分步实现。IIR滤波器设计的完全工具函数有butter,cheby1,cheby2,ellip。这些工具函数既可用于设计模拟滤波器，也可用于设计数字滤波器。这里介绍这些函数在IIR数字滤波器中的应用。在这两类滤波器设计中，这些工具函数调用格式基本一致，只是在频率处理上有所不同。在MATLAB滤波器设计工具箱中，数字滤波器采用归一化频率，取值为0~1之间，归一化频率1对应的数字角频率为?，对应的真实频率为采样频率的一半。在应用MATLAB工具函数设计数字滤波器时应注意这一点。数字IIR滤波器的完全设计函数有：[b,a]=butter(n,wn[,'ftype'])[z,p,k]=butter(n,wn[,'ftype'])[b,a]=cheby1(n,Rp,wn[,'ftype'])[z,p,k]=cheby1(n,Rp,wn[,'ftype'])[b,a]=cheby2(n,Rs,wn[,'ftype'])[z,p,k]=cheby2(n,Rs,wn[,'ftype'])[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn[,'ftype'])[z,p,k]=ellip(n,Rp,Rs,wn[,'ftype'])

在上面的调用方式中，n为滤波器的阶数，wn为滤波器的截止频率，取值为0~1。需根据采样频率Fs来定，如滤波器的截止频率为Fc（Hz），则wn的计算公式为：

wn?2*Fc（1）Fs这样就转换为0~1的归一化频率。其中wp,ws等边界频率都要根据此公式进行转换。'ftype'滤波器的类型为：

‘high’为高通滤波器，截止频率为wn.

‘stop’为带阻滤波器，截止频率为wn=[w1,w2](w输入信号210-1-200.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1输出信号0.30.20.10-0.1-0.200.010.020.030.040.050.06时间/s0.070.080.090.1

图所设计滤波器的输入和输出信号

由上图可看出，在100~200Hz为通带，其衰减小于1dB；在50Hz以下和250Hz以上，其衰减大于30dB，完全符合滤波器的设计要求。下图说明滤波器的相位为非线性。将30Hz、100Hz和270Hz的合成振动输入滤波器后，可以看到完全滤除了在阻带范围内的30Hz和270Hz的振动，起到了滤波效果。

设计一个带通ChebyshevII型滤波器，设计参数与例5一致。假设一个信号

x(t)?sin2?f1t?0.8cos2?f2t，其中f1=10Hz,f2=100Hz。试将原信号与通过该滤波器的输

出信号进行比较。采样频率为1000Hz。

%Samp6_10

Fs=1000;%采样频率

wp=[100200]*2/Fs;ws=[50250]*2/Fs;%通带和阻带边界频率（归一化频率）（6-20式）Rp=1;Rs=30;Nn=128;%通带波纹和阻带衰减以及绘制频率特性的数据点数[N,Wn]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs);%求取数字滤波器的最小阶数和归一化截止频率[b,a]=cheby2(N,Rs,Wn);%按最小阶数截止频率和阻带衰减设计数字滤波器figure(1)

[H,f]=freqz(b,a,Nn,Fs);%按传递函数系数、数据点数和采样频率求频率特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)));xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');gridon;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/^o');gridon;

figure(2)

f1=10;f2=100;%输入信号的频率成分N=500;%输入信号的数据点数dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt;%时间序列

x=sin(2*pi*f1*t)+0.8*cos(2*pi*f2*t);%输入信号

subplot(2,1,1),plot(t,x),title('输入信号')%绘制输入信号y=filtfilt(b,a,x);%对输入信号进行滤波，输出为y.subplot(2,1,2),plot(t,y)%绘制输出信号波形title('输出信号'),xlabel('时间/s')

0-20振幅/dB-40-60-80050100150202350300频率/Hz350400450500400200相位/o0-200-400050100150202350300频率/Hz350400450500

图所设计滤波器的频率特性上图：幅频特性；下图：相频特性

输入信号210-1-200.050.10.150.20.25输出信号0.30.350.40.450.510.50-0.5-100.050.10.150.20.25时间/s0.30.350.40.450.5

图所设计滤波器的输入和输出信号

可以看出，100~200Hz之间为通带，其衰减不大于1dB；在50Hz以下和250Hz以上，衰减大于30dB，完全符合滤波器的设计要求。但在阻带内有振荡，这是ChebyshevII型滤波器的特点。当滤波器输入10Hz和100Hz两种信号的合成时，滤波器可以滤除处于阻带内的10Hz的低频信号，达到滤波的目的。

设计一个带阻椭圆滤波器，阻带频率从100Hz~200Hz,通带波纹小于1dB,阻带衰减为50dB,两边过渡带宽为50Hz,采样频率1000Hz。假设一个信号

x(t)?sin2?f1t?0.5cos2?f2t?0.5sin2?f3t，其中f1=50Hz,f2=200Hz,f3=270Hz。试将原

信号与通过该滤波器的输出信号进行比较。

%Samp6_11

Fs=1000;%采样频率

ws=[100200]*2/Fs;wp=[50250]*2/Fs;%通带和阻带边界频率（归一化频率）Rp=1;Rs=50;Nn=512;%通带波纹和阻带衰减以及绘制频率特性的数据点数

[N,Wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs);%求取数字滤波器的最小阶数和归一化截止频率[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'stop');%按最小阶数、截止频率、通带波纹和阻带衰减设计滤波器figure(1)

[H,f]=freqz(b,a,Nn,Fs);%按传递函数系数、数据点数和采样频率求得滤波器的频率特性

subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)));xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');gridon;

subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)))

xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/^o');gridon;figure(2)

f1=50;f2=200;f3=270;%输入信号的频率成分N=100;%输入信号的数据点数dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt;%时间序列

x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);%输入信号subplot(2,1,1),plot(t,x),title('输入信号')%绘制输入信号y=filtfilt(b,a,x);%对输入信号滤波subplot(2,1,2),plot(t,y)%绘制输出信号title('输出信号'),xlabel('时间/s')

0-20振幅/dB-40-60-80-100050100150202350300频率/Hz350400450500500相位/o0-500050100150202350300频率/Hz350400450500

图所设计滤波器的频率特性上图：幅频特性；下图：相频特性

输入信号210-1-200.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1输出信号1.510.50-0.5-100.010.020.030.040.050.06时间/s0.070.080.090.1