XX衡水中学2023高三内部数学试题

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衡水中学2023届高三测试（一）

数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要

求的，选出正确选项填在答题卡相应位置.

1、已知是虚数单位，m和n都是实数，且m(1?i)?11?ni，则(

A．

B．?i

C．1

m?ni2023)等于（）m?niD．-1

2、若函数y?f(x)的图象和y?sin(x?A．cos(x??4)的图象关于点P(?4,0)对称,则f(x)的表达式是

?)B．?cos(x?)C．?cos(x?)D．cos(x?)

44441的最小整数n125???3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|c，试求sin2

18、(本小题总分值12分)在平面xoy内，不等式x2CAA1?3sincos?的取值范围2222?x?2y?0确?y2?4确定的平面区域为U，不等式组??x?3y?0定的平面区域为V.

（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点〞.在区域U任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V．．．．．．．．的概率；

（Ⅱ）在区域U每次任取个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列．．．

和数学期望．

19．（本小题总分值12分）

如图，D,E分别是正三棱柱ABC?A1B1C1的棱AA1、B1C1的中点，且棱AA1?8，AB?4.（Ⅰ）求证：A1E//平面BDC1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M，使二面角M?BC1?B1的大小为60，若存在，求AM的长，若不存在，说明理由。

20．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

的椭圆过点（

，

）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

21、(本小题总分值12分)设函数f(x)?lnx?(1)当a?b?12ax?bx.21时，求函数f(x)的最大值；21a(2)令F(x)?f(x)?ax2?bx?，（0?x?3）

2x1其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

22(3)当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值．

22、4-1（几何证明选讲）（本小题10分）

如图,?ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过点A的直线,且?PAC??ABC.(Ⅰ)求证:PA是⊙O的切线;

(Ⅱ)假使弦CD交AB于点E,AC?8,P

C

CE:ED?6:5,

AE:EB?2:3,求sin?BCE.

23.选修4-4：坐标系与参数方程

A

E

.O

B

在直角坐标系xOy中,过点P(33,)作倾斜角为?的22D直线与曲线

C:x2?y2?1相交于不同的两点M,N.

(Ⅰ)写出直线的参数方程;

(Ⅱ)求

11?的取值范围.PMPN24.选修4-5：不等式选讲

设不等式2x?1?1的解集为M,且a?M,b?M.(Ⅰ)试比较ab?1与a?b的大小;

(Ⅱ)设maxA表示数集A中的最大数,且h?max?

25、试验班附加

已知函数f(x)??2?a,a?bab,2??,求h的范围.b?13x?bx2?cx?d，设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，f?(x)为3f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)．

（Ⅰ）设g(x)?xf?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；

（Ⅱ）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数的取值范围．

ABCDDAAAADAB13.x?1或x?313514.15.16.

21012?1??0,??4?17.

18.解：（Ⅰ）依题可知平面区域U的整点为：(0,0),(0,?1),(0,?2),(?1,0),(?2,0),(?1,?1)共有13个，上述整点在平面区域V的为：(0,0),(1,0),(2,0)共有3个，

1C32C1015?.……………（4分）∴P?3C13143

（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为??22?4?，

1?2.

8211?23?1,得???，也可用向量的夹角公式求?）.

（设扇形区域中心角为?，则tan??1141??23?1?，随机变量X的可能取值为：0,1,2,3.在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为

8?813431121471P(X?0)?(1?)3?，P(X?1)?C3?()(1?)?，

85128851211211313P(X?2)?C32?()2(1?)?，P(X?3)?C3?()?，

885128512∴X的分布列为X0123343147211P5125125125123431472113?1??2??3??.………………（12分）∴X的数学期望：E(X)?0?512512512512813?1?（或者：X～B?3,?，故E(X)?np?3??）.

88?8?平面区域V与平面区域U相交部分的面积为???2?19、

解】（Ⅰ）在线段BC1上取中点F，连结EF、DF.

则EF//DA1，且EF?DA1，∴EFDA1是平行四边形……3′∴A1E//FD，又A1E?平面BDC1，FD?平面BDC1，∴A1E//平面BDC1.……5′

（Ⅱ）由A1E?B1C1，A1E?CC1，得A1E?平面CBB1C1.

过点E作EH?BC1于H，连结A1H.

则?A1HE为二面角A1?BC1?B1的平面角……8′在Rt?BB1C1中，由BB1?8，B1C1?4得

8545，∴EH?，又A1E?23，55AE15∴tan?A1HE?1??3，∴?A1HE?60.……11′

EH2∴M在棱AA1上时，二面角M?BC1?B1总大于60.BC1边上的高为故棱AA1上不存在使二面角M?BC1?B1的大小为60的点M.……12′建立如下图的空间直角坐标系，

则B??2,0,0?、D?2,4,0?、A1?2,8,0?、C10,8,23、C1??2,8,0?、E?1,8,3.∴DB???4,?4,0?、DC1??2,4,2?????3?、AE???3,0,3?、AB???4,?8,0?、AC???2,0,23?、

1111BB1??0,8,0?、BC1?2,8,23.……4′

??

（Ⅰ）∵A1E?1DB?DC1且A1E?平面BDC1，2∴A1E//平面BDC1.……5′

???3?（Ⅱ）取m??3,?，则m?A1B?0，m?A1C1?0.,1???2??∴m?A1B，m?A1C1，即m为面A1BC1的一个法向量………7′同理，取n??3,0,1，则n?BB1?0，n?BC1?0.∴n?BB1，n?BC1，n为平面B1BC1的一个法向量……9′

??cos?m,n??又∵m?nm?n??219，∴二面角M?BC1?B1为arccos215?arctan.21915?3，∴二面角M?BC1?B1大于60.……11′2∴M在棱AA1上时，二面角M?BC1?B1总大于60.

故棱AA1上不存在使二面角M?BC1?B1的大小为60的点M.……12′20.解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为

（a＞b＞0），则

则故

所以，椭圆方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由

2

2

消去y得

2

（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0，

2222222

则△=64kb﹣16（1+4kb）（b﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0，且

，

2

．

2

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=kx1x2+km（x1+x2）+m．由于直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以

=k，

2

即+m=0，又m≠0，

2

所以k=，即k=

2

．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

22

0＜m＜2且m≠1．

设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．

，

21.

所以a≥(?

12x0?x0)max，x0?(0,3]21211当x0?1时，?x0?x0取得最大值，所以a≥………8分

2222(3)由于方程2mf(x)?x有唯一实数解，

m?m2?4m1?1，解得m?……………12分由于h(1)?0，所以方程（*）的解为x2?1，即22

??22.（Ⅰ）证明：AB为直径，??ACB?2,?CAB??ABC?2，

??PAC??ABC??PAC??CAB??2

?PA?AB,AB为直径，?PA为圆的切线……4分

（Ⅱ）CE?6k,ED?5k,,AE?2m,EB?3m?AE?EB?CE?ED?m?5k

??AEC∽?DEB?BD38?m6k?BD?45??CEB∽?AED?BC225m2?643k225AD2?25m2?80?(m)?m?2,k?5?AB?10,BD?45在直角三角形ADB中sin?BAD?BDAB?4510?255??BCE??BAD?sin?BCE?255……10分?23.（Ⅰ）??x?3?tcos??2(t为参数）……4分

???y?32?tsin??x?3?t（Ⅱ）??cos??2(t为参数）代入x2?y2?1，得???y?32?tsin?t2?(3cos??3sin?)t?2?0，??0?sin(???66)?31PM?1PN?1t?1?t1?t2?(3cos??3sin?)?3sin(???)?2,3?1t2t1t226?24.（Ⅰ）M??x|0?x?1?，a,b?M,

?0?a?1,0?b?1

ab?1?a?b?(a?1)(b?1)?0?ab?1?a?b………4分

（Ⅱ）h?2a?ba,h?ab,h?2b

4(a?b)4(a2?b2h3?)4?2abab?ab?ab?8

h??2,???…………10分

25、（Ⅰ）f?(x)?x2?2bx?c，

f?(2?x)?f?(x)，

?函数y?f?(x)的图像关于直线x?1对称，则b??1．

10分……

直线y?4x?12与x轴的交点为(3,0)，?f(3)?0，且f?(3)?4，即9?9b?3c?d?0，且9?6b?c?4，解得c?1，d??3．则f(x)?13x?x2?x?3．32222??x?x,x?1,故f?(x)?x?2x?1?(x?1)，g(x)?x(x?1)?xx?1??

2??x?x,x?1.

其图像如下图．当x2?x?（ⅰ）当0?m?1?21时，x?，根据图像得：

241时，g(x)最大值为m?m2；2（ⅱ）当

11?21时，g(x)最大值为；?m?2241?2时，g(x)最大值为m2?m．……………8分22（ⅲ）当m?（Ⅱ）方法一：h(x)?ln(x?1)?2lnx?1，则h(x?1?t)?2lnx?t，h(2x?2)?2ln2x?1，

当x?[0,1]时，2x?1?2x?1，

?不等式2lnx?t?2ln2x?1恒成立等价于x?t?2x?1且x?t恒成立，

由x?t?2x?1恒成立，得?x?1?t?3x?1恒成立，

当x?[0,1]时，3x?1?[1,4]，?x?1?[?2,?1]，??1?t?1，又

当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，

因此，实数的取值范围是?1?t?0．……12分

y

2

1

?1O11?222x

方法二：（数形结合法）作出函数y?2x?1,x?[0,1]的图像，其图像为线段AB（如图），

?y?x?t的图像过点A时，t??1或t?1，?要使不等式x?t?2x?1对x?[0,1]恒成立，

必需?1?t?1，又

当函数h(x?1?t)有意义时，x?t，

?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，

因此，实数的取值范围是?1?t?0．…………………12分

方法三：

h(x)?ln(x?1)2，h(x)的定义域是{xx?1}，

?要使h(x?1?t)恒有意义，必需t?x恒成立，

x?[0,1]，?t?[0,1]，即t?0或t?1．①

由h(x?1?t)?h(2x?2)得(x?t)?(2x?1)，即3x?(4?2t)x?1?t?0对x?[0,1]恒成立，令?(x)?3x?(4?2t)x?1?t，?(x)的对称轴为x??2222222?t，32?t??2?t?2?t?1,?0,?0???1,????则有?或?或?333????(