农作物施肥分析

问题重述某研究所为了研究氮肥(N)、磷肥(P)、钾肥(K)三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别对土豆和生菜两种作物做了三组实验，实验中将每种肥料的施肥量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施肥量对土豆或生菜的产量的影响时，其他两种肥料的施肥量均在第七个水平上，实验数据如下面表格所示，其中表示公顷,表示吨,表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价.施肥量与产量关系的实验数据：土豆: 氮肥 磷肥 钾肥施肥量产量015．183421．366725．7210132．2913534．0320239．4525943．1533643．4640440．8347130．75施肥量产量033．462432．474936．067337．969841．0414740．0919641．2624542．1729440．3634242．73施肥量产量0 18．984727．359334．8614038．5218638．4427937．7337238．4346543．8755842．7765146．22生菜：氮肥 磷肥 钾肥施肥量产量06．39499．489812．4614714．3319617．1029421．9439122．6448921．3458722．0768524．53施肥量产量011．022812．705614．568416．2711217．7516822．5922421．6328019．3433616．1239214．11施肥量产量015．754716．769316．8914016．2418617．5627919．2037217．9746515．8455820．1165119．40模型假设：忽略土壤现有肥力对农作物生长的影响.假设在所有作物的生长环境的阳光，空气、水、温度变化都相同.假设施肥时肥料的质量准确.问题分析：我们研究的是不同肥料的施肥量对农作物产量的影响，就是要求出施肥量与作物产量之间的关系，目前我们仅有单一施肥量与作物产量的数据，我们需要用线性回归的方法拟合出每一种肥料对作物产量影响的方程，然后根据第七个水平的共同施肥量建立多种肥料对一种作物产量影响的方程，从而找到最佳施肥量使得作物的产量最大.模型的建立和求解氮肥施肥量改变时对土豆产量的影响由现有数据建立氮肥施肥量对土豆产量的影响散点图如下:图SEQ图\*ARABIC1氮肥施肥量与土豆产量关系散点图由REF_Ref445537601\h图1氮肥施肥量与土豆产量关系散点图我们发现氮肥的施肥量与土豆产量大致成二次关系，故我们建立如下模型：经计算得正规方程组的解为则求的原假设模型为用来检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得氮肥施肥量与土豆产量拟合图形如下：计算得拟合度良好，可以较好的反映氮肥施肥量与土豆产量的关系.磷肥施肥量改变时对土豆产量的影响由现有数据画出磷肥施肥量与土豆产量关系的散点图：图SEQ图\*ARABIC2磷肥施肥量与土豆产量关系散点图由REF_Ref445537649\h图2磷肥施肥量与土豆产量关系散点图可以看出磷肥施肥量与土豆产量大致成二次关系，故可建立磷肥施肥量与土豆产量关系的模型如下：为简化计算，计算出令之为，则上述假设模型可化为：经计算得正规方程组的解为则假设模型可解得：用来检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得磷肥施肥量与土豆产量拟合图形如下：经计算得，模型拟合程度良好，可以较好的反映磷肥施肥量与土豆产量之间的关系.钾肥施肥量改变时对土豆产量的影响由现有钾肥施肥量与土豆产量的数据画出如下钾肥施肥量与土豆产量关系散点图图SEQ图\*ARABIC3钾肥施肥量与土豆产量关系散点图由REF_Ref445543575\h图3钾肥施肥量与土豆产量关系散点图可以初步看出钾肥的施肥量与土豆的产量大致成对数关系，我们因此假设土豆的产量与钾肥的施肥量模型如下：为简化计算令先将全部的计算出来用来代换，则假设模型可化为：求一元线性回归的解法如下：（1）模型假设（2）参数估计， 故方程有唯一解：（3）得到回归方程为：经计算得则假设模型为：因此可以得出原假设模型为：用检验模型拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得钾肥施肥量与土豆产量拟合图形如下：经计算得模型，因此模型拟合度良好，可以较好的反映钾肥施肥量与土豆产量之间的关系.氮、磷、钾肥施肥量共同改变时对土豆产量的影响氮肥、磷肥、钾肥三种肥料对土豆的产量的影响模型组如下：由以上模型组可以假设土豆产量（）与氮肥、磷肥、钾肥三种肥料的施肥量的关系模型如下：将30组数据汇总在一起，在没有其他肥料的施肥量数据的地方填上对应的肥料的第七水平的施肥量，分别计算出、、，然后做多元线性回归分析，经计算得：因此解出假设模型为：计算来检验模型拟合度，得，接近1拟合度很好，可以很好的反映氮肥、磷肥、钾肥的施肥量对土豆产量的影响.计算出最大产量时的氮磷肥三种肥料的施肥量如下表（MATLAB代码见附录）：表SEQ表\*ARABIC1氮磷钾肥施肥量对应土豆产量表氮肥施肥量（）磷肥施肥量（）钾肥施肥量（）土豆产量（）293.6104256.125065146.2116由REF_Ref445642792\h表1氮磷钾肥施肥量对应土豆产量表得当氮肥施肥量为293.6104，磷肥施肥量256.1250，钾肥施肥量651时土豆的产量最大值为46.2116.氮肥施肥量改变时对生菜产量的影响由现有氮肥施肥量的改变对生菜产量的影响数据，建立氮肥施肥量与生菜产量关系的散点图如下：图SEQ图\*ARABIC4氮肥施肥量与生菜产量关系散点图由REF_Ref445641525\h图4氮肥施肥量与生菜产量关系散点图可以看出生菜的产量与氮肥的施肥量大致成二次关系，故假设生菜的产量与氮肥施肥量之间的模型为：为了简化计算先计算出用代换，则原模型可化为：经计算得正规方程组的解为：则原假设模型解得：对模型进行检验，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得氮肥施肥量与生菜产量拟合图形如下：经计算得拟合度较好，可以较好的反映氮肥施肥量与生菜产量之间的关系.磷肥施肥量改变时对生菜产量的影响为了初步分析生菜产量在仅有磷肥改变时所受的影响，在现有数据的基础上建立磷肥施肥量与生菜产量关系的散点图如下：图SEQ图\*ARABIC5磷肥施肥量与生菜产量关系散点图由REF_Ref445641641\h图5磷肥施肥量与生菜产量关系散点图初步可以看出磷肥的施肥量与生菜产量之间大致呈现二次关系，故建立如下模型：计算出用代换则原假设模型可以化为如下多元线性回归方程：经计算得正规方程组的解为则模型为：用检验模型拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得磷肥施肥量与生菜产量拟合图形如下：经计算的，模型拟合度较好，故可以较好的反映磷肥的施肥量与生菜产量之间的关系.钾肥施肥量改变时对生菜产量的影响由已知钾肥施肥量与生菜产量关系数据，画出钾肥施肥量与生菜产量关系散点图如下：图SEQ图\*ARABIC6钾肥施肥量与生菜产量关系散点图由REF_Ref445641651\h图6钾肥施肥量与生菜产量关系散点图可以看出第八组数据与其他数据存在较大差异，为了保证数据的准确性，对本次实验数据进行残差检验，残差分析图如下：图SEQ图\*ARABIC7钾肥施肥量对生菜产量影响的残差分析图从残差图可以看出数据的残差离零点的远近，除了第八组数据的95%残差置信区间不包含零点，其他组数据的残差95%置信区间均包含零点，则第八组数据可视为异常点剔除.在剔除异常点后画出钾肥施肥量与生菜产量关系的修正散点图如下：图SEQ图\*ARABIC8钾肥施肥量与生菜产量关系修止散点图由REF_Ref445644122\h图8钾肥施肥量与生菜产量关系修止散点图可以看出钾肥的施肥量与生菜的产量之间大致呈现二次关系，故建立模型如下：同理将计算出来，用代换，进行多元线性回归分析.经计算得正规方程组的解为则原假设模型为：用检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得钾肥施肥量与生菜产量拟合图形如下：计算得模型的拟合度良好，可以较好的反映钾肥施肥量与生菜产量之间的关系.氮、磷、钾肥施肥量共同改变时对生菜产量的影响由4.5，4.6，4.7得氮肥、磷肥、钾肥三种肥料对生菜的产量的影响模型组如下：根据上述模型组，我们可以建立生菜产量（）与氮肥（）、磷肥（）、钾肥（）之间的模型：经计算得正规方程组的解为：则可以解出模型为:用检验模型拟合度，计算得接近于1，拟合度较高，可以较好的反映氮、磷、钾三种肥料同时施肥时对生菜产量的影响.经计算得出上述模型的最大产量时的氮磷钾的施肥量如下表（代码见附录）：表SEQ表\*ARABIC2氮磷钾肥施肥量对应生菜产量表氮肥施肥量（）磷肥施肥量（）钾肥施肥量（）生菜产量（）212.8283641.4227457.685523.5586由REF_Ref445642972\h表2氮磷钾肥施肥量对应生菜产量表可知当氮肥施肥量为213，磷肥施肥量641，钾肥施肥量458时生菜的产量最大值为23.56（为了方便施肥，对小数点数据后进行四舍五入）.模型的评价与改进我们种植农作物时，不能单一的只考虑高产量，同时还需考虑作物的售价和肥料价格，以达到收益的最大化.目前各种作物价格以及肥料价格如下表表SEQ表\*ARABIC3作物及肥料价目表种类价格（）土豆3.6生菜6.0氮肥1.6磷肥0.7钾肥3.5用、分别表示土豆、生菜的利润，、分别表示土豆、生菜的价格，、、分别表示氮、磷、钾三种肥料的单价.土豆最佳施肥根据上述价格及方程则可以建立土豆的利润模型为:带入单价得上述模型为（MATLAB代码见附录）：经计算得：表SEQ表\*ARABIC4土豆最佳施肥计算结果表氮肥的施肥量磷肥的施肥量钾肥的施肥量利润292.9003255.4611651.0000163430由REF_Ref445647231\h表4土豆最佳施肥计算结果表可知道当土豆的施肥量为氮肥293，磷肥255，钾肥651，可获得最大利润163430.生菜最佳施肥根据上述价格及方程则可以建立生菜的利润模型为:经计算得（MATLAB代码见附录）：附录土豆计算最大产量的MATLAB代码M文件：functionf=fun3(x)f=-(-0.000313*x(1)*x(1)+0.1838*x(1)-0.000147*x(2)*x（2）+0.0753*x(2)+6.0667*log(x(3))-29.7174);主程序：x0=[1;1;1];A=[100;010;001];b=[471;342;651];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;0];VUB=[];x0=[0;0;0];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)结果：x=293.6104256.1250651.0000fval=-46.2116即生菜计算最大产量的MATLAB代码：M文件：functionf=fun3(x)f=-(-8.858450+0.098706*x(1)+0.048748*x(2)+0.027461*x(3)-0.000232*x(1)*x(1)-0.000038*x(2)*x(2)-0.000030*x(3)*x(3))主程序：x0=[1;1;1];A=[100;010;001];b=[392;685;651];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;400];VUB=[];x0=[0;0;0];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)结果:x=212.7283641.4227457.6855fval=-23.5586土豆最佳施肥计算代码：M文件functionf=fun3(x)f=-(3600*(-0.000313*x(1)*x(1)+0.1838*x(1)-0.000147*x(2)*x(2)+0.075