matlab 酵母培养物的离散阻滞增长模型

本文格式为Word版，下载可任意编辑——matlab酵母培养物的离散阻滞增长模型数学建模试验报告

辽宁工程技术大学上机试验报告

试验名称酵母培养物的离散阻滞增长模型院系理学院专业理科试验班级姓名学号日期2023.4.20简述本次试验目的：试验把握酵母培养物的阻滞增长差分方程模型的分析与建模方法，并会利用Matlab作数值计算与误差分析.目的你为本次试验做了哪些准备：试验上课听讲，下课复习课本，不明白之处查阅资料。准备试验进度本次共有1个练习，完成1个。本次试验的收获、体会、经验、问题和教训：试验总结教师评语1

陈瑞颖：数学建模习题四

具体处理过程和相应试验结果：

已知从测量酵母培养物增长的试验收集的数据如表：

时刻/h生物量/g时刻/h生物量/g

09.610513.3

1

2

347.213629.4

471.114640.8

5119.115651.1

6

7

8350.718661.8

9441.0

18.329.011559.7

12594.8

174.6257.

316

17

655.9659.

6

试验要求：

1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.2、建立酵母培养物的增长模型.

3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预计效果图.4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预计效果图.5、请分析两个模型的区别，作出模型的评价.试验内容：

1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.（1）增长数据：

绘制x关于k的散点图：

x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];k=0:1:18;plot(k,x,'k+')

xlabel('时间k（小时)')ylabel('生物量x（克）')title('x关于k的散点图')

x关于k的散点图700600500生物量x（克）40030020230000246

即x关于k的散点沿s型曲线分布，x随着k单调增加，x可能趋于稳定值，极限可能存在。

（2）增长率：

绘制x差值关于k的散点图以及绘制x差值关于x的散点图：

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810时间k（小时)12141618数学建模试验报告

xk=[8.7,10.7,18.2,23.9,48,55.5,82.7,93.4,90.3,72.3,46.4,35.1,34.6,11.4,10.3,4.8,3.7,2.2,0];k=0:1:18;subplot(1,2,1);plot(k,xk,'k+')

xlabel('时间k（小时)')

ylabel('一阶差分xk（克）')title('xk关于k的散点图')

xk=[8.7,10.7,18.2,23.9,48,55.5,82.7,93.4,90.3,72.3,46.4,35.1,34.6,11.4,10.3,4.8,3.7,2.2,0];

x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];subplot(1,2,2);plot(x,xk,'k+')

xlabel('生物量xk（克)')ylabel('一阶差分xk（克）')title('xk关于x的散点图')

xk关于k的散点图100908070一阶差分xk（克）xk关于x的散点图100908070一阶差分xk（克）6050403020230051015时间k（小时)2060504030202300202300600生物量xk（克)800

观测x差值关于k的散点图，难以发现二者的近似而简单的函数关系。观测x差值关于x的散点图，发现二者近似二次函数关系△xk=-a1*xk^2+a2*xk;,

实质就是离散阻滞增长模型。

（3）相对增长率：

绘制rk差值关于k的散点图以及绘制rk关于xk的散点图：

rk=[0.90625,0.5847,0.62759,0.50636,0.67511,0.46599,0.47365,0.363,0.25749,0.16395,0.090395,0.62712,0.058171,0.018112,0.016074,0.0073721,0.0056411,0.0033354,0];k=0:1:18;

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陈瑞颖：数学建模习题四

subplot(1,2,1);plot(k,rk,'k+')

xlabel('时间k（小时)')ylabel('增长率rk（%）')title('rk关于k的散点图')

rk=[0.90625,0.5847,0.62759,0.50636,0.67511,0.46599,0.47365,0.363,0.25749,0.16395,0.090395,0.62712,0.058171,0.018112,0.016074,0.0073721,0.0056411,0.0033354,0];

x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];subplot(1,2,2);plot(x,rk,'k+')

xlabel('生物量xk（克)')ylabel('增长率rk（%）')title('rk关于x的散点图')

rk关于k的散点图10.90.80.710.90.80.7rk关于x的散点图增长率rk（%）0.60.50.40.30.20.10051015时间k（小时)20增长率rk（%）0.60.50.40.30.20.100202300600生物量xk（克)800

观测rk关于k的散点图，难以发现二者的近似而简单的函数关系。观测rk关于xk的散点图，发现二者近似线性递减关系

rk=r*(1-xk/N);

由rk=(x(k+1)-x(k))/x(k),代入上式，建立离散阻滞增长模型。2、建立酵母培养物的增长模型.

在营养有限的环境下，假设用前差公式计算的增长率rk随着生物量xk的增加而线性递减，即

rk=rk=(x(k+1)-x(k))/x(k)=r*(1-x(k)/N),k=0,1,2…..根据模型假设，即可建立离散阻滞增长模型x(k+1)=x(k)+r*x(k)*(1-x(k)/N),k=0,1,2,…

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数学建模试验报告

3、利用线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预计效果图.

首先，根据rk和xk的数据拟合出r(k)=r*(1-x(k)/N)的参数r和N，拟合效果图如1.（3）-1图所示。然后根据观测数据直接取x0=9.6，用循环语句依照

x(k+1)=x(k)+r*x(k)*(1-x(k)/N),k=0,1,2,…进行迭代计算，算出第0~18小时酵母生物量的模拟值，，并计算误差平方和，绘制模拟效果图和模拟误差图。用matlab编程如下：t=0:18;

x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];

r=(x(2:19)-x(1:18))./x(1:18);a1=polyfit(x(1:18),r,1);r1=a1(2),N1=-a1(2)/a1(1)x1=x(1);fork=1:18

x1(k+1)=x1(k)+r1*x1(k)*(1-x1(k)/N1);end

resd1=x-x1;sse1=sum(resd1.^2)subplot(2,1,1),plot(t,x,'k*',t,x1,'ks')

axis([-1,19,0,670]),legend('观测值','模拟值',4)xlabel('时间k（小时）'),ylabel('生物量x_k（克）')title('（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，线性拟合')subplot(2,1,2),plot(t,resd1,'k.',[-1,19],[0,0],'k')axis([-1,19,-40,40]),legend('观测值','模拟值',4)xlabel('时间k（小时）'),ylabel('模拟误差')

title('（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，线性拟合')结果：r1=0.6693N1=635.7055sse1=6.2932e+03

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陈瑞颖：数学建模习题四

（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，线性拟合生物量xk（克）6004002000观测值模拟值0810121416时间k（小时）（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，线性拟合246184020模拟误差0-20-40024681012时间k（小时）14观测值模拟值1618

4、利用非线性拟合估计模型参数，并进行模型检验，展示模型拟合与预计效果图.用matlab编程如下：函数文件fun_3_4_2.m：functiony=fun_3_4_2(b,x)y=zeros(size(x));y(1)=b(3);

fork=2:length(x)

y(k)=y(k-1)+b(1).*y(k-1).*(1-y(k-1)./b(2));end

脚本：t=0:18;

x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];

[a2,resd2]=nlinfit(t,x,@fun_3_4_2,[0.5,660,9.6])sse=sum(resd2.^2)subplot(2,1,1)

plot(t,x,'k*',t,fun_3_4_2(a2,t),'ks')axis([-1,19,0,670])

legend('观测值','模拟值',4)

xlabel('时间k（小时）'),ylabel('生物量x_k（克）')

title('（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，非线性拟合')subplot(2,1,2)

plot(t,resd2,'k.',[-1,19],[0,0],'k')axis([-1,19,-40,40])

xlabel('时间k（小时）'),ylabel('模拟误差')

title('（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，非线性拟合')

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数学建模试验报告

结果如下：

a2=0.5604652.463414.9997

resd2=-5.3997-4.9118-6.7562-7.4948-11.6748-4.1746-4.70215.134111.840610.87271.0384-14.2442-17.8488-4.1982-3.06402.48075.13937.88769.6673sse=1.3535e+03

（1）离散阻滞增长模型的模拟效果图，非线性拟合6004002000观测值模拟值0810121416时间k（小时）（2）离散阻滞增长模型的模拟误差，非线性拟合24618生物量xk（克）模拟误差40200-20-40024681012时间k（小时）141618

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