六升七暑季 第十一讲 图形的面积

本文格式为Word版，下载可任意编辑——六升七暑季第十一讲图形的面积六升初（暑季）第十一讲图形的面积

情景导入：希波克拉底的一位病人得知希氏善几何，便拿来一题讨教（与其说是讨教不如说是“测试〞）。如何用最简便的方法将一个正方形分成面积比分别为3:4:5的三块？要求不用尺也不用圆规，同时所求面积比是确切的。

对于一贯用尺规作图的希波克拉底来讲，这道题无疑是一个挑战！然而希氏冷静冷静的思考，以及他娴熟几何知识的巧妙运用，很快将问题解决，他采用的方法是：折纸。其步骤如下：

几次折叠正方形纸片这出三条折痕，从而亦将正方形分成面积比为3:4:5的三部分①、②、③（上图（6））.

知识与技能目标：

知识纵横：计算图形面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型：①常见图形面积的计算：由于一些常见图形有计算面积的公式，所以常见图形面积一般用公式来解。

②十分规图形面积的计算：十分规图形的计算寻常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将十分规图形面积用常规图形面积的和或差来表示。

计算图形面积往往用到以下知识：①等底等高的两个三角形面积相等；

②等底的两个三角形面积的比等于对应高的比；③等高的两个三角形面积的比等于对应底的比。

思维能力：观测能力、分析能力、综合能力、转化能力。

过程与方法目标：

过程索引：

平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：

①和差法：把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算。②运动法：有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为简单观测或解决的形状，就可在动中求解。

③等积变形法：即找出与所求图形面积相等或有关联的特别图形，通过代换转化求图形的面积。

思想方法：分割思想、转移思想、分类思想、比较思想。

情感态度与价值观目标：培养学生的合作意识，借助操作等实践活动，引导学生自主解决问题，体验数学活动充满着摸索与创造。

探究12023年8月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图，它是由四个一致的直角三角形与中间的小正方形拼接成的一个大正方形。若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条直角边的立方

和是多少？

思维点拨：从向外补形入手。

思维展示1：在大正方形的外面再向外补4个一致的直角三角形，如下图：

思维展示2：补了四个直角三角形后的大正方形的面积为：13+13-1=25，所以最外层正方形的边长是5.思维展示3：从图中可以看出，直角三角形的长直角边与短直角边只差为小正方形的边长1，所以直角三角形的段直角边为：（5-1）÷2=2，长直角边为：2+1=3.

33

思维展示4：直角三角形的两条直角边的立方和是2+3=35.多思小结：探究2如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80cm，CE=60cm,DE=40cm，AE=30cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？

思维点拨：甲、乙、丙丁、四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解决本体的突破口。

思维展示1：甲与丁的高一致，且BE是ED的两倍，所以甲的面积是丁的面积的两倍，于是可设S丁=a，则S甲=2a。

思维展示2：同样丁与乙的高也一致，AE是EC的一半，即S丁是S乙的一半，所以S乙=2a。思维展示3：乙与丙的高也一致，BE是ED的两倍，所以S丙是S乙的两倍，即S丙=4a。思维展示4：丙、丁的面积和是a+4a=5a，甲、乙的面积和是2a+2a=4a，所以丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的5a÷4a=

多思小结：探究3在任意凸四边形ABCD中取个边的中点，并与它相对的一个顶点连接，如下图，那么围成的中央四边形面积与周边那四个阴影三角形的面积和相等吗？说明理由。

思维点拨：连AC（或BD），利用中点寻觅找三角形面积的关系即三角形面积和与四边形ABCD面积的关系。

思维展示1：连接BD，则可知△AB1B是△ABD面积的一半，△CDD1是△CBD面积的一半，即△AB1B与△CDD1的面积和是四边形ABCD面积的一半。

思维展示2：连接AC，同理可知，△BCC1与△DAA1的面积和也是四边形ABCD面积的一半。

思维展示3：△AB1B、△CDD1、△BCC1与△DAA1四个三角形的面积和等于四边形ABCD的面积，从图中可以看出：周边四个阴影的小三角形被重复计算了两次，而中央四边形面积则没有被计算进去，说明这四个小三角形的面积和中央四边形的面积是相等的。

5。4多思小结：

探究4有四个同样的六角螺母，如图放置，每个螺母的面积都是6，则图中△ABC的面积是多少？

思维点拨：利用DB∥AC可考虑用等积交换；或者从已知条件每个螺母的面积与△DAC面积之间的关系着手。思维展示1：（方法一）将图形嵌在一个长为a宽为b的长方形中，添加分割线，将图形合理分割成规则几何图形。如图（甲）中阴影部分的面积等于8个边长等于正六边形边长的正三角形面积；长方形面积为8+6×4=32=ab；如图（乙），BD∥AC,所以S△ADC=S△ABC,又AD=错误！未找到引用源。a，所以S△ABC=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。ab=错误！未找到引用源。ab=12。

思维展示2：（方法二）每个正六边形均可分成六个完全一样的正三角形，而且AC是此正三解边长的4倍，而AC边上的高是正三角形每边上高的3倍，故S△ABC=6÷6×4×3=12。

多思小结：

思维拷贝

1、如图，在矩形ABCD中，AE=BG=BF=错误！未找到引用源。AD=错误！未找到引用源。AB=2，E、H、G在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（）

A.8B.12C.16D.20

分秒

2、如图，三角形ABC内的线段BD、CE相关于点O，OB=OD,OC=2OE，设三角形BOE,三角形BOC，三角形COD和四边形AEOD的面积分别为S1,S2,S3,S4.

(1)求S1：S2的值，（2）假使S2=2，求S4的值。

分秒

3、如图，若长方形APHM、BNHP、CQHN的面积公别为7、4、6，则阴影部分的面积是.

分秒

4、如图，S△AFM=80,S△BFM=60,S△BMD=70,S△MEC=168,写出你所能得出的结论。

分秒

5、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连结AF,CE。设AF,CE交于点G,

S四边形AGCD则错误！未找到引用源。等于（）。

S矩形ABCDA.错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。

4C.错误！5未找到引用源。D.错误！未找到引用源。

3423分秒

6、用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。

（1）图上是的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之前的关系式。答：S=。多边形序号多边形的面积S各边上格点的个数和x①24②2.55③36④48??????（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点，此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=.

（3）请你继续摸索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？

分秒

思维拓展

1、如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

111B.错误！未找到引用源。C.5433D.错误！未找到引用源。

10A．分秒

2、如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC

222

的面积分别为25cm和35cm，那么梯形的面积是cm。

分秒

3、如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、BE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、??S8，试比较S3与S2+S7+S8的大小，并说明理由。

分秒

2

4、如图，正方形ABCD的面积是1cm，EF=2BF,则△BCF的面积是2cm.

分秒

思维创新

1、如图，梯形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点。已知△BEC的面积为8cm,三角形

22

ABF的面积为5cm，则梯形ABCD的面积为cm。

分秒

2

2、如下图，正方形ABCD的面积是120cm,E是AB的中点，四边形BGHF的面积是。

分秒

3、如图是德国1998年发行的经念在柏林召开的国际数学家大会的邮票，它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不一致的11个正方形，假使这个分割图中