线段的垂直平分线 教学设计

15.2线段的垂直平分线黄山市屯溪第六中学吴磊一、教学目标1.能够利用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性；通过探究、猜想并证明线段垂直平分线的判定定理；2.经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，增强证明的意识和能力；在定理的证明过程中，体会解决问题方法的多样性，发展创新意识；3.综合运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；4.在学习过程中，培养学生的团队协作与探究精神，增强学习数学的兴趣；在数学学习中感受中华文化，增强文化自信.二、教学重难点重点：线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的证明.难点：线段垂直平分线尺规作法正确性的证明.教学过程（一）温故导新、感悟定义1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？为什么？你能找出它的对称轴吗？（操作：对折透明纸上的线段AB，使点A与点B重合）线段是轴对称图形，折痕所在的直线就是这条线段的一条对称轴。问题1：折痕所在直线是线段AB的一条对称轴，该直线与线段AB有什么特殊的关系？问题2：设这条直线与线段AB的交点为O，O点在线段AB的什么位置？（中点，通过折纸验证）问题3：这条直线与线段AB有什么位置关系？（垂直，通过折纸验证）问题4：你能给出它的一个名称和定义吗？（垂直平分线）过线段中点且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线，也叫中垂线.[设计意图]由问题引入新课，既复习了轴对称图形的概念，又通过折纸活动发现线段对称轴的特点，引导学生归纳定义，为学习新知做铺垫.（二）合作交流、探究作图任何一条线段都有垂直平分线，你能画出线段的垂直平分线吗？有哪些方法？（学生动手操作）方法一：通过折纸，画出折痕所在的直线；方法二：先利用刻度尺找出线段的中点，再利用三角板过中点作垂线；PPT出示图片（古建筑的房梁），古人是如何智慧地找到“垂直平分线”的？怎么利用尺规作图作出线段的垂直平分线？利用圆规找一点C，使得CA=CB；如何确定一条直线？（两个点）（学生自主探究，如何利用圆规找到符合要求的点）回顾尺规作图的一般步骤有哪些？已知：线段AB.求作：直线CD，使CD⊥AB，且CD平分AB.作法：分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，交于点C，D；作直线CD.（注意思考作图中问题：为什么以大于AB的长为半径画弧）[设计意图]引导学生将古建筑房梁构造图中蕴含的“智慧”应用到实际的尺规作图中，增强学生的几何直观、应用意识，提高实践能力，同时增强学生的文化自信.回顾尺规作图的一般步骤，培养学生严谨的学习态度.（三）启发引导、证明作法思考：这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？你能给出证明吗？（学生独立思考，教师适时指导）证明思路：证直线CD是线段AB的垂直平分线↓O是AB的中点，CD⊥AB↓AO=BO，∠AOC=∠BOC↓△AOC≌△BOC↓∠ACO=∠BCO↓△ACD≌△BCD（SSS）（同桌交流，口述证明过程）[设计意图]运用推理论证的方法证明尺规作图的正确性，同时在运用分析法分析证明思路中，多次把所求证的问题转化成已知的知识来解决，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的推理能力.（四）观察演示、发现结论中垂线到线段交点O以及图中点C、D与线段两端点A、B的距离相等，即OA=OB，CA=CB，DA=DB.（特殊）你能猜想线段垂直平分线上的点有什么性质吗？（一般）猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.验证：通过折纸或测量进行初步验证，最后通过几何画板动态演示，验证：随着动点在线段垂直平分线上移动，动点与线段端点之间的距离也相应变化，但与两端点距离始终相等.证明：根据命题画出图形，并写出已知和求证，分析证明思路，最后写出证明过程.思路：证明两条线段相等→看成两个三角形的边→证明这两个三角形全等（学生独立完成证明过程的书写，投影展示，并思考是否严谨）已知:如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明:∵MN⊥AB(已知)∴∠AOP=∠BOP=90°(垂直定义)在△AOP与△BOP中,∴△AOP≌△BOP(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.符号语言：∵点P是线段AB垂直平分线上的点∴PA=PB.或∵AO=BO，MN⊥AB∴PA=PB.[设计意图]引导学生从中点出发，先猜想垂直平分线上点的性质，然后通过测量、折纸、几何画板验证猜想，再通过严格证明得到结论，体现了从特殊到一般及转化的思想.同时注重符号语言，增强学生的符号意识.（五）再推定理、回归作图你能说出它的逆命题吗？她得条件和结论分别是什么？逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上.证明：（学生探究交流，教师个别指导，最后请学生演示）预设证法一：过P点作AB的垂线，交AB于点C，证明点C是线段AB的中点；预设证法二：取AB中点C,作直线PC，证明PC⊥AB；预设证法三：从尺规作图的图中出发，得到结论.判定定理：到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上.（判定垂直平分线需要证两个点）反思：再次感受古人的智慧，即两根一样长的柱子就能确定垂直平分线上的点；推出不同的尺规作图，感受数学中的简洁美.[设计意图]引导学生思考逆命题，通过证明确定判定定理，培养学生积极思考的数学分析能力.师生合作交流，体会解决问题方法的多样性，发展创新意识.通过反思，反刍作图，感受古人智慧，体会数学的简洁美，同时培养学生的应用意识.（六）例题分析、巩固新知例已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.证明:连接PA、PB、PC.∵点P在AB、AC的垂直平分线上，（已知）∴PA=PB,PA=PC,（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）∴PB=PC,（等量代换）∴点P在BC的垂直平分线上.（到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上）（引导学生用文字语言转换，并注意与三角形角平分线、中线、高的整合，分析异同点）三角形三边的垂直平分线相交于同一点，这个点到三角形三个顶点距离相等.[设计意图]通过例题的分析讲解，提高学生运用所学定理解决问题的能力，同时注重符号语言的规范性.（七）巩固练习、发展思维公路同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A、B两村的距离相等，请你确定停靠站C的位置.B村A村2.已知：AB⊥CD，DE⊥AC，垂足B、E分别是CD、AC的中点.求证：AC=DC.[设计意图]通过练习，运用性质定理解决实际问题，让学生经历建模和应用的过程，感受学以致用.同时引导学生学会用执果索因（分析法）的方法寻求证明思路.（八）课堂小结、归纳提升一个作法：尺规作图；两个定理：线段垂直平分线的性质定理和判定定理；思想方法：转化思想、从特殊到一般的研究方法.[设计意图]通过对所学内容的总结反思，明确所学知识和方法，更好地纳入知识体系，提升思维能力水平.（九）分层作业，同步提高1.必做题：教材练习第1.2.3题；2.选做题：习题15.2第3.4题.3.操作题：根据本节课的知识自己动手用木条制作一个能直接画出线段垂直平分线的工具.[设计意图]分层作业，旨在提高中等生的知识能力，提升优等生的思维能力，增加学生的数学素养.教学反思（一）教学内容本节课的内容是学生已经学习了命题与证明、全等三角形以及轴对称图形之后的新内容，是以图形的轴对称为基础，围绕图形的轴对称性展开的。线段的垂直平分线的性质是证明线段相等的重要手段。本节课也为后面学习等腰三角形的性质做了铺垫，同时为圆中垂径分弦的学习奠定了基础。（二）教学设计本节课从复习轴对称图形的定义出发，想到线段的对称轴，从而引出线段的垂直平分线，自然生成。再由古人房梁的设计，智慧地想到如何用尺规作图作线段的垂直平分线，并证明正确性，不仅培养了数学的严谨性，也自然而然地突破了教学难点。由垂直平分线上的特殊点猜想一般性质并证明，得到了垂直平分线的性质定理，紧接着证明逆命题的正确性得到判定定理，最后加以应用，连贯性地突出了教学重点。（三）思想方法本节课以陶行知“在做中学”的思想为载体，以学生为主体，通过创设问题串，不断地突破重难点。通过几何画板的演示，引导学生猜想出性质定理，渗透从特殊到一般的合情推理思想；定理证明多样性的反思中渗透分类的思想；得出定理后文字语言、图形语言和符号语言的转换