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1§1.2行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例第一章行列式2性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.

记一、行列式的性质3证明按定义

又因为行列式D可表示为故证毕4性质2

互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式变换两行得到的,5于是即当时,当时,由行列式的定义知证毕6例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式的值为零.证明互换相同的两行，有7性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2

行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0.8推论3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．证明9性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如10性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．例如11二、应用举例

利用行列式的性质，把行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式，从而算得行列式的值．计算行列式的常用方法例1

计算四阶行列式【注】以

ri表示行列式的第i行，以ci表示第i列.交换

i,j两行记作ri

rj

,交换i,j两列记作cicj.12解13【总结】

化上三角形行列式的基本步骤：如果第一列第一个元素为0，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一列第一个元素不为0；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。例2

计算行列式14解1516171819解将第列都加到第一列得例3

计算n阶行列式2021例4

计算n阶行列式解2223解例5

计算小结24计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值．

行列式的5个性质及推论.(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立)25思考题作业：P307(4),8

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