有限差分法和变分法

第五章

用差分法和变分法解平面问题5－1差分公式的推导5－1差分公式的推导差分法：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。差分法的数学基础：

泰勒公式；微分中值定理；图5－15－1差分公式的推导图5－1设：为弹性体的某一连续函数在平行与轴的一根网线上函数只随坐标的变化而变化。在节点0的近处将函数展成泰勒级数（a）5－1差分公式的推导节点3的坐标，节点1的坐标，带入（a）假定网格间距充分小，二阶项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为（b）（c）（d）（e）把（d）和（e）看成关于和的二元一次方程组把（d）和（e）看成关于和的二元一次方程组5－1差分公式的推导（5－1）（5－2）同理可以得到方向的上的差分公式（5－3）（5－4）注（5－1）－－（5－4）是最基本的差分公式5－1差分公式的推导混合二阶导数的差分公式（5－5）四阶导数的差分公式（5－6）（5－7）（5－8）5－1差分公式的推导讨论：（1）差分公式是微分方程在数学上的近似；（2）在推导（5－1）－－（5－4）时，略去了三阶项及更高阶项；（3）由于是或的二次函数，所以基本差分公式（5－1）至（5－4）称为抛物线差分公式；（4）要想求差分解，前提是要有微分方程。5－2应力函数的差分解5－2应力函数的差分解当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。图5－1双调和方程：5－2应力函数的差分解1、应力分量（不计体力）一旦求得弹性体全部节点的值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。图5－1（5－9）如果知道各结点的值，就可以求得各结点的应力分量。5－2应力函数的差分解双调和方程对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。应力函数在域内应该满足上式。整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式图5－1（5－10）问题：边界上的点（边界外的点）怎么办？？？？？？5－2应力函数的差分解当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的值，并包含边界外一行的虚结点处的值。为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即：

在上代入上式，即得：

（b）（a）5－2应力函数的差分解由图（5－2）可见图5-2因此，式（b）可以改写成5－2应力函数的差分解约去dy、dx得：

（c）关于边界上任一点处、的值，可将上式从基点A到任意点B，对s积分得到：（d）5－2应力函数的差分解由高等数学可知，将此式亦从A点到B点沿s进行积分，就得到边界上任一点B处的φ值。为此利用分部积分法，得：

图5-25－2应力函数的差分解将式(c),(d)代入，整理得：由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点B的（e）5－2应力函数的差分解于是式(d)，式(e)简化为：（5－11）（5－12）（5－13）讨论：（1）（5－11）右边积分式表示A－B之间，方向的面力之和；（2）（5－12）右边积分式表示A－B之间，方向的面力之和改号；（3）（5－13）右边积分式表示A－B之间，面力对B的力矩之和；（4）以上结果不能用于多连体的情况。5－2应力函数的差分解边界外一行的虚节点的值（5－14）图5－15－2应力函数的差分解用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：（2）应用公式（5－14），将边界外一行虚结点处的值用边界内的相应结点处的值来表示。取（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处的值，以及所必需的一些及值，即垂直于边界方向的导数值。（3）对边界内的各结点建立差分方程（5－10），联立求解这些结点处的值。5－2应力函数的差分解（5）按照公式（5－9）计算应力的分量。说明：如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（5－10）必须加以修正。（4）按照公式（5－13），算出边界外一行的各虚结点处的值。5－4弹性体的变形势能和外力势能5－4弹性体的变形势能和外力势能变分法：主要是研究泛函及其极值的求解方法。泛函：函数是函数的函数；能量法：弹性力学中的变分法；形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由应力和变形的最终大小确定－－保守场。

设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为5－4弹性体的变形势能和外力势能或整个弹性体内的变形能5－4弹性体的变形势能和外力势能对应于平面问题，微元的应变能（应变比能）整个弹性体内的变形能把物理方程代入微元的应变能，分别得到用应力应变表示方程对求导（5－15）5－4弹性体的变形势能和外力势能把几何方程（2－8）代入，得到用位移分量表示的微元变形势能位移分量表示的弹性体变形势能平面应力平面应变（5－16）5－4弹性体的变形势能和外力势能讨论（1）变形势能是变形分量或位移分量的二次泛函，叠加原理不再适用；（2）变形或位移发生时，变形势能总是正的；5－4弹性体的变形势能和外力势能外力的功：弹性体受面力和体力作用，在平面区域A内的体力分量，边界上的面力分量为，则外力（体力和面力）在实际位移上所做的功，用公式表示如下在静态或准静态时，外力的势能转化成外力的功，因此弹性体的外力势能（5－18）（5－17）5－5位移变分方程5－5位移变分方程设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态。命为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。

假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移，或位移变分对于三维时：一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）注：变分和微分都是微量，运算方法相同。5－5位移变分方程给出弹性体的限制条件：（1）没有温度改变（热能没变）；（2）没有速度改变（动能没变）。根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功）三维：上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程）体力的虚功面力的虚功（5－22）5－5位移变分方程二、虚功方程按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。利用（5－15）代入位移变分方程（5－24）5－5位移变分方程对应于二维情况（5－24）（5－24）就是虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。5－5位移变分方程三、极小势能原理令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变将变分与定积分交换次序，移项令极小势能原理：（5－23）极小势能原理：（5－23）5－5位移变分方程在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。位移变分方程（极小势能原理或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件。5－6位移变分法5－6位移变分法（瑞利-里茨法）位移变分法：（1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式；（2）使它们满足位移边界条件；（3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。（1）位移分量表达式（5－25）其中：和是坐标的函数，为2m个互不依赖的待定系数。（2）考察是否满足边界条件？？？？？5－6位移变分法令等于给定约束位移值；在边界上，令等于零。边界条件满足（3）怎样满足变分方程（5－22）？？？？？？体力的虚功面力的虚功（5－22）位移分量的变分5－6位移变分法注：位移分量的变分是由系数的变分来实现的。（a）形变势能的变分（b）（a），（b）代入变分方程（5－22）5－6位移变分法移项，整理变分是任意的，互不依赖的，所以系数必须为零（5－26）讨论：（1）由于系数互不依赖，所以可由方程（5－26）求出各个系数；（2）再由（5－25）求得位移分量；（3）再求应变和应力分量。5－7位移变分法的例题5－7位移变分法的例题例1：如图（5－9）所示薄板，不计体力，约束和外力如图。图：5－9（1）取位移分量表达式如下（2）考察是否满足边界条件？？？？－－－满足（5－16）（3）由（5－26）求出待定常数，得到位移分量的解答首先，由（5－16）求出形变势能（b）5－7位移变分法的例题形变势能的表达式进行积分由于不计体力，项数为1，（5－26）简化为（c）（d）（e）代入边界条件积分5－7位移变分法的例题（d），（e）式就变为（f）再把形变势能（c）代入上式解得（g）位移分量的解答（h）（4）由几何方程求出应变分量；（5）由物理方程求出应力分量；5－7位移变分法的例题例2图5－10问题描述：如图5－10，不计体力，自由边给定位移：求：薄板位移（1）取位移分量表达式如下（i）（j