常微分方程与差分方程

常微分方程与差分方程第1页，共14页，2023年，2月20日，星期四1、常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程.一、考试内容4、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程.—————————————————————————————————————3、线性微分方程解的性质及解的结构定理.5、差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解.2、齐次微分方程，一阶线性微分方程.7、微分方程的简单应用.6、一阶常系数线性差分方程.第2页，共14页，2023年，2月20日，星期四1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.二、考试要求4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解某些简单的非齐次线性微分方程.—————————————————————————————————————3、会解二阶常系数齐次线性微分方程.5、了解差分与差分方程的概念及其通解与特解等概念.7、会用微分方程求解简单的经济应用问题.6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.第3页，共14页，2023年，2月20日，星期四—————————————————————————————————————三、真题选讲例1：已知是微分方程的解，则的表达式为（）.

(B)

(C)(D)例2：设函数在上可导，，且其反函数为.若求第4页，共14页，2023年，2月20日，星期四例3:设位于第一象限的曲线过点,其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长.第5页，共14页，2023年，2月20日，星期四例4：在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.（1）求的方程;（2）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.第6页，共14页，2023年，2月20日，星期四例5：设函数在上连续.若由曲线，直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为，试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.第7页，共14页，2023年，2月20日，星期四例6：设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点，（1）试求曲线的方程;（2）求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小.第8页，共14页，2023年，2月20日，星期四例7：设具有连续偏导数，且满足求所满足的一阶微分方程，并求其通解.例8：设函数在上连续，且满足方程求.第9页，共14页，2023年，2月20日，星期四例9：设（是任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为——————.例10：设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限（）.（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于3第10页，共14页，2023年，2月20日，星期四例11：设函数具有二阶连续导数，而满足方程，求例12（1）验证函数

满足微分方程；（2）利用（1）的结果求幂级数的和函数

.第11页，共14页，2023年，2月20日，星期四例13：差分方程的通解为————.例14：已知某商品的需求量和供给量都是价格的函数：其中和为常数；价格是时间的函数且满足方程（为正的常数）假设当时价格为1，试求（1）需求量等于供给量时的均衡价格；（2）价格函数；（3）极限第12页，共14页，2023年，2月20日，星期四—————————————————————————————————————四、课外习题习1：差分方程的通解为————.习2：已知某商品的需求量对价格的弹性,而市场对该商品的最大需求量为1（万件）.求需求函数.习3：设函数具有连续的一阶导数，且满足，求的表达式.习4：设函数满足条件求广义积分.第13页，共14页，2023年，2月20日，星期四习6：设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，点为在轴上的投影，为坐标原点.若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为求的表达式.习5：设，其中函数在内满足