幂级数的讲解纲要

幂级数的讲解纲要第1页，共32页，2023年，2月20日，星期四主要内容21函数项级数的一般概念3幂级数的运算幂级数及其收敛性4

幂级数求和第2页，共32页，2023年，2月20日，星期四则称无穷级数收敛.时,等比级数收敛;时,等比级数发散.2.等比级数

(又称几何级数)技巧:利用“拆项相消”求和“收±收=收;收±发=发;发±发=不确定”推论

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.1.知识点复习第3页，共32页，2023年，2月20日，星期四3.

定理(级数收敛的必要条件)设收敛级数则必有若级数的一般项un不趋于0,则级数必发散.如,调和级数发散.反之,不成立!4.正项级数收敛部分和序列有界.知识点复习第4页，共32页，2023年，2月20日，星期四5.利用正项级数判别法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定,比较审敛法用它法判别:部分和极限知识点复习第5页，共32页，2023年，2月20日，星期四发散

;当时,收敛

.当时,6.

p

级数

如如发散;收敛.7.利用等价无穷小：8.

含有选择比值判别法，即知识点复习第6页，共32页，2023年，2月20日，星期四10.任意项级数收敛9.交错项级数的Leibniz判别法:则交错级数收敛绝对收敛条件收敛发散如如(un单调减少趋于0)知识点复习第7页，共32页，2023年，2月20日，星期四12.(绝对值的比值、根值判别法)则(1)当(2)当时,级数绝对收敛;或时,级数发散.(3)当时,此方法失效，换其他方法.知识点复习11.绝对收敛的级数一定收敛.第8页，共32页，2023年，2月20日，星期四一、函数项级数的一般概念§12.1幂级数设为定义在区间I

上的函数项级数

.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;为定义在区间I

上的函数,称收敛,称为其收

为级数的和函数,并写成在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它第9页，共32页，2023年，2月20日，星期四若用余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即例如,等比级数∴它的收敛域是有和函数§12.1幂级数第10页，共32页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为(x-x0)的幂级数,其中当称为幂级数的系数

.时,称为x的幂级数.如§12.1幂级数第11页，共32页，2023年，2月20日，星期四定理1(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散

.时该幂级数发散

,则对满足不等式发散§12.1幂级数点收敛,发散收敛收敛发散第12页，共32页，2023年，2月20日，星期四若幂级数设则当时,即级数绝对收敛;当时,即级数发散;令发散发散收敛§12.1幂级数第13页，共32页，2023年，2月20日，星期四可以看出,的收敛域是以原点为中心的区间.

幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.当发散发散收敛§12.1幂级数第14页，共32页，2023年，2月20日，星期四幂级数在(－∞,+∞)收敛;R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=+

时,当当特别地,发散发散收敛收敛收敛R=0R=+§12.1幂级数第15页，共32页，2023年，2月20日，星期四定理2若的系数满足1)当l≠0时,2)当l＝0时,3)当l＝+∞时,则的收敛半径为说明:据此定理§12.1幂级数第16页，共32页，2023年，2月20日，星期四对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解

对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1

求幂级数§12.1幂级数第17页，共32页，2023年，2月20日，星期四例2

求下列幂级数的收敛域:解(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1§12.1幂级数第18页，共32页，2023年，2月20日，星期四例3

求幂级数的收敛半径.解时级数收敛时级数发散故收敛半径为当即当即§12.1幂级数第19页，共32页，2023年，2月20日，星期四例4求幂级数的收敛域.解

令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数收敛;因此收敛域为即§12.1幂级数第20页，共32页，2023年，2月20日，星期四三、幂级数的性质定理3

设幂级数及的令则有:其中收敛半径分别为§12.1幂级数第21页，共32页，2023年，2月20日，星期四定理4

若幂级数的收敛半径则其和函数在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:逐项求导逐项积分§12.1幂级数第22页，共32页，2023年，2月20日，星期四解

由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5求幂级数则故得的和函数.因此得设§12.1幂级数分母求导第23页，共32页，2023年，2月20日，星期四例6求幂级数的和函数解

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,故当时，§12.1幂级数第24页，共32页，2023年，2月20日，星期四例7求幂级数的和函数解§12.1幂级数例6第25页，共32页，2023年，2月20日，星期四例7

求级数的和函数解

易求出幂级数的收敛半径为1,收敛域为由和函数的连续性知§12.1幂级数第26页，共32页，2023年，2月20日，星期四例8

求数项级数解

设则§12.1幂级数的和.故第27页，共32页，2023年，2月20日，星期四例9求幂级数的和函数解

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,故当时，§12.1幂级数第28页，共32页，2023年，2月20日，星期四1.函数项级数则在收敛域上有2.3.(x-x0)的幂级数：4.x的幂级数：内容小结第29页，共32页，2023年，2月20日，星期四5.的收敛半径为逐项求导逐项积分对非标准型幂级数的收敛半径:直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求.6.幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.内容小结第30页，共32页，2023年，2月20日，星期四作业

P2061(2,3);3(1)5月28日(周六)第三阶段考考试内容：第11章第31页，共32页，2023年，2月20日，星期四阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题