清华龙校 直线型计算汇总

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直线形计算（一）

一、知识精讲

相像三角形性质(平行线分线段成比例)

相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相像．所谓“形状完全相像〞的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相像〞，相像三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候十分有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）

AADDBGFECABAEACDEBCAGAFEG===ADB相像三角形面积之比等于对应边长之比的平方：

S?ABCS?ADEFCAB2?.AD2

在实际运用的时候，相像的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化．二、典例精讲

一、

如图，DE平行BC，若AD:DB?2:3，那么S△ADE:S△ECB?________．

ADBE

C

二、

如图，△ABC中，DE，FG，BC相互平行，AD?DF?FB，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?．

ADFBEGC

三、已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，

且AE?10cm，AF?15cm，求正方形ABCD的边长．

ABEDCF

如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC?120毫米，高AD?80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

APNBHDGC

四、图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个

三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

GEFAB

CD

如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴

影部分，求阴影部分的面积是多少？

五、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB?16，AD?10，BE?4，那么FC的长度是多少？

DCFABE

A如右图，长方形ABCD中，EF?16，FG?9，求AG的长．

DGFECB

六、(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边

的中点，E是DC边上的点，且DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG

ABGFDEC

已知长方形ABCD的面积为70平方厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影△EHO的面积是多少平方厘米？

AHBFEOGCD

三、能力检测

1.已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB?2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，求

S△ABC．

ADBE

C

2.如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

D4OE3A

BCF

3.如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是平方厘米．

AD

PBMC

4.如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC相互平行，AD?DF?FM?MP?PB，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?．

ADFMEGNQCPB

5.如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE?1:2，BC?12厘米，AH?8厘米，求长方形的长和宽．

ADBGMEF

HC

6.如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH?5cm，HF?3cm，求AG．

AGEDOHFCB

7.(2023年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD为正方形，AM?NB?DE?FC?1cm且MN?2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？

DERSPAMNBQFC

直线形计算（二）

直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。最基本的思想是等积变形。☆变式1☆一、等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

S1②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如左图S1:S2?a:b

a③两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

特例：夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD；反之，假使S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

S2bABCD④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特别的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形

ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．

AEBHDGFC

图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，假使正方

形的边长是12，那么阴影部分的面积是．

ADGEBFC(2023年北京四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部

分面积为5平方厘米，?ABC的面积是平方厘米．

BD

AEFC

图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是

AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFBDC(2023年走美六年级初赛)如下图，长方形ABCD内的阴影部分的面积

之和为70，AB?8，AD?15，四边形EFGO的面积为．

ADOEBFGC

(2023年〞华杯赛〞初赛)如下图，矩形ABCD的面积为24平方厘

米．三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米．

DMOABPNC

☆变式2☆二、鸟头定理（共角定理）

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比：如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

AADDEEBC

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，

AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积．

A

BC

DEBC

如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，

BE?3，AE?6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

AEB甲D乙C如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

D

AEBC

如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE?2:5，

BC:CD?3:2，三角形BDE的面积是多少？

ABCDEABC

D已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．

AFDBEC如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使CE?2BC；延长CA至F，使AF?3AC，求三角形DEF的面积．

F

ABDCE

☆变式3☆能力检测

1.如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与?BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？A

BFECD

2.(第三届“华杯赛〞初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？

黄红绿红

3.(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN?BN.那么，阴影部分的面积是多少？

4.如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

AFBDEC

5.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，假使三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

ADECB

6.如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?BC，

F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

12

AFBDCE

直线型面积（三）

☆变式4☆一、任意四边形模型

AS124

DS任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理〞)：SO①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4SBC②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

3(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOAD

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如下图)．假使三角形ABD的1DO?3，面积等于三角形BCD的面积的，且AO?2，那么CO的长度是DO3的长度的_________倍．AOBDC

如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．AOGBECDF

如图，边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，CF?FD，求三角形AEG的面积．AGFDBEC

☆变式5☆二、梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理〞)：①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab；

2③S的对应份数为?a?b?．

AS2aS1OS3BbCS4D梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系相互转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半

功倍的效果．

如图，S2?2，S3?4，求梯形的面积．S1S2S3S4

梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的比．2，求三角形AOD与三角形BOC的面积之3ADOBC

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？ADOBC

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积ABODEFC

(2023年〞奥数网杯〞六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．AODBCE

右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．A9214BECD

G、如图，有三个正方形的顶点D、其中正方形GFEBK恰好在同一条直线上，的边长为10厘米，求阴影部分的面积．DCGQFOHEKPAB

(2023年西城试验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．DCFHGEAB

☆变式6☆能力检测

1.图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？67

2.(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO?1，三角形ABD的面积3?，那么OC的长是多少？并且三角形CBD的面积5BAOCD

3.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．AGDFBHCE

4.如图，长方形A