经济数学模型

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谢杜杜06信管（1）班2023429020239

我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预计、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究大量特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。一、经济数学模型的基本内涵

数学模型是数学思想精华的具体表达，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。

经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综繁杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。运用经济数学建模来分析经济问题，预计经济走向，提出经济对策已是大势所趋。

在经济数学模型中，用到的数学十分广泛，有些还相当精深。其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点定理、变分发、控制理论、动态规划、凸集理论、概率论、数理统计、随机过程、矩阵论、微分方程、对策论、多值函数、精明测度等等，它们应用于经济学的大量部门，特别是数理经济学和计量经济学。二、建立经济数学模型的基本步骤

1、模型准备。首先要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识，对现实经济现象及原始背景进行细致观测和周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行加工分析、分组整理。

2、模型假设。通过假设把实际经济问题简化，明确模型中诸多的影响因素，并从中抽象最本质的东西。即抓住主要因素，忽略次要因素，从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。

3、模型建立。在假设的基础上，根据已经把握的经济信息，利用适当的数学工具来刻画变量之间的数学关系，把理想化的自然模型表述成为一个数学研究的题材——经济数学模型。

4、模型求解。使用已知的数学知识和观测数据，利用相关数学原理和方法，求出所建模型中各参数的估计值。

5、模型分析。求出模型的解后，对解的意义进行分析、探讨，即这个讲解明白什么问题？是否达到了建模的目的？根据实际经济问题的原始背景，用理想

化的自然模型的术语对所得到的解进行解释和说明。

6、模型检验。把模型的分析结果与经济问题的实际状况进行比较，以考察模型是否符合问题实际，以此来验证模型的确凿性、合理性和实用性。假使模型与问题实际偏差较大，则须调整修改。

三、建立经济数学模型应遵从的主要原则

1、假设原则。假设是某一理论所适用的条件，任何理论都是有条件的、相对的。经济问题向来错综繁杂，假设正是从繁杂多变因素中寻求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近实际状况的假设，从假设中推出初步结论，然后再逐步放宽假设条件，逐步加进繁杂因素，使高度简化的模型更接近经济运行实际。作假设时，可以从以下几方面来考虑：关于是否包含某些因素的假设；关于条件相对强弱及各因素影响相对大小的假设；关于变量间关系的假设；关于模型适用范围的假设等等。

2、最优原则。最优原则可以从两方面来考虑：其一是各经济变量和体系上达到一种相对平衡，使之运行的效率最正确；其次是无约束条件极值存在而达到效率的最优、资源配置的最正确、消费效用或利润的最大化。由于经济运行机制是为了实现上述目标的最优可能性，我们在建立经济数学模型时必需紧紧围绕这一目标函数进行。

3、均衡原则。即经济体系中变动的各种力量处于相对稳定，基本上趋于某一种平衡状态。在数学中所表述的观点是几个函数关系共同确定的变量值，它不单纯是一个函数的变动去向，而是整个模型所共有的特别结合点，在该点上整个体系变动是一致的，即达到一种经济联系的平衡。如需求函数和供给函数形成的均衡价格和数量，使市场处于一种相对平衡状态，从而达到市场配置的最优。4、数、形、式结合原则。数表示量的大小，形表示量的集合，式反映了经济变量的联系及规律，三者之间形成了规律的统一。数学中图形是点的轨迹，点是函数的特别值，因而也是函数和曲线的统一。可以认为经济问题是繁杂经济现象中的一个点，函数则是经济变量之间的相互依存、相互作用关系，图形就是经济运行的规律和机制。所以，数、形、式是建模的主要工具和手段，是解决客观经济问题的三个要素。

5、抽象与概括的原则。抽象是思维的延伸，概括是思维的总结，抽象原则透露了擅长从纷繁繁杂的经济现象延伸到经济本质，挖掘其本质的反映，概括是经济问题的纵横比较与分析，以便把握其本质属性，透露其规律。

四、经济数学模型的种类

反映经济数量关系繁杂变化的经济数学模型，可按不同的标准分类。（一）、按经济数量关系，一般分为三种：经济计量模型、投入产出模型、最优规划模型。

1、经济计量模型反映经济结构关系，用来分析经济波动的原因和规律，是一种社会再生产模型。

2、投入产出模型反映部门、地区或产品之间的平衡关系，用来研究生产技术联系，以协调经济活动。

3、最优规划模型反映经济活动中的条件极值问题，是一种特别的均衡模型，用来选取最优方案。

（二）按经济范围的大小，模型可分为：企业的、部门的、地区的、国家的和世界的五种。

1、企业模型一般称为微观模型，它反映企业的经济活动状况，对改善企业

的经营管理有重大意义。

2、部门模型与地区模型是连结企业模型和国家模型的中间环节。

3、国家模型一般称为宏观模型，综合反映一国经济活动中总量指标之间的相互关系。

4、世界模型反映国际经济关系的相互影响和作用。

（三）按数学形式的不同，模型一般分为线性和非线性两种。1、线性模型是指模型中包含的方程都是一次方程。2、非线性模型是指模型中有两次以上的高次方程。

3、有时非线性模型可化为线性模型来求解，如把指数模型转换为对数模型来处理。

（四）按时间状态分，模型有静态与动态两种：1、静态模型反映某一时点的经济数量关系；

2、动态模型反映一个时期的经济发展过程,含有时间延滞因素。

（五）按应用的目的,有理论模型与应用模型之分,是否利用具体的统计资料,是这两种模型的区别所在。

（六）按模型的用途，还可分为结构分析模型、预计模型、政策模型、计划模型。

此外，还有随机模型（含有随机误差的项目）与确定性模型（不考虑随机因素）等等分类。这些分类互有联系，有时还可结合起来进行考察，如动态非线性模型、随机动态模型等等。

四、构建和运用经济数学模型应注意的问题

经济数学模型是对客观经济现象的把握，是相对的、有条件的。经济研究中应用数学方法时，必需以客观经济活动的实际为基础，以最初的基本假设为条件，一旦突破了最初的基本假设，就需要研究摸索使用新的数学方法；一旦脱离客观经济实际，数学的应用就失去了意义。因此，在构建和运用经济数学模型时须注意到：

1、首先对所研究的经济问题要有明确的了解，细致周密的调查。分析经济问题运行的规律，获取相关的信息和数据，明确各经济变量之间的数量关系。假使条件不太明确，则要通过假设来逐渐明确，从而简化问题。

2、明确建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能会有很大的差异。建模目的可能是为了描述或解释某一经济现象；可能是预报某一经济事件是否发生，或者发展趋势如何；还可能是为了优化管理、决策或控制等。总之，建立经济数学模型是为了解决实际经济问题，所以建模过程中不仅要建立经济变量之间的数学关系表达式，还必需明白这些表达式在整个模型中的地位和作用。3、在经济实际中只能对可量化的经济问题进行数学分析和构建数学模型，对不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能进行数量分析的。尽管经济模型是反映事物的数量关系的，但必需从定性开始，离开具体理论所界定的概念，就无从对事物的数量进行分析和探讨。

4、不同数学模型的求解一般涉及不同的数学分支的专门知识，所以建模时应尽可能利用自己熟悉的数学分支知识。同时，也应征对问题学习了解一些新的知识，特别是计算机科学的发展为建模提供了强有力的辅助工具，熟练把握一些数学或经济软件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。5、根据调查或搜集的数据建立的模型，只能算作一个“经验公式〞，只能对经济现象做出粗略大致的描述，据此公式计算出来的数据只能是个估计值。同时，

模型相对于客观实际不可避免的产生一定误差，一方面要根据模型的目的确定误差允许的范围；另一方面，要分析误差来源，若误差过大，须寻觅补救方案。

6、用所建经济数学模型去说明或解释处于动态中的经济现象时，必需注意时空条件的变化，必需考虑不可量化因素的影响作用以及在一定条件下次要因素转变为主要因素的可能性。

五、最优价格模型举例

1、模型假设：最优价格，简单的说就是使商家或企业获得最大利润的产品的价格。对于最优价格的问题，应当是每个企业关注的。假使一个厂长有权根据产品成本和销售状况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格。本文所探讨的最优价格模型，是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。为了模型的更加合理性，这里假设产品的销售量依靠于产品的价格，产品的成本与产品的产量也是相关联的。

2、模型建立:利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p,成本为q,销售量为x（与产量相等），总收入与总支出分别是I和C,则可以得到

I=px（1）C=qx(2）

另外，我们知道在市场竞争的状况下销售量x依靠于价格p，因此销售量应当是价格的函数，记作

x=f(p)（3）

这里f称为需求函数，是p的减函数。

我们再考虑成本与产品数量的关系。寻常状况下，成本是随着产品的数量逐渐降低的，因此可以认为产品的成本是产品数量的函数，记作

q=Q(x)（4）

其中,我们把Q叫做成本函数,是x的减函数。这样,x和q都可以由p来确定。可以得到销售收入和生产支出C都是价格p的函数,设利润为U,则可以表示为

U(p)=I(p)-C(p)（5）

其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。

使利润U达到最大的价格就是最优价格。设最优价格为p*,那么可以得到当dU/dp=0时p的值即为p*。即有dU/dp=dU/dp,当p=p*时。

我们把dI/dp称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量）,dC/dp称为边际支出（价格变动一个单位时的支出的改变量）。上式说明,最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。

为了得到进一步的结果，本文假设出需求函数和成本函数的具体形式。设需求函数是简单的线性函数

f(p)=abpa,b>0（6）

其中,a可以理解为这种产品免费供应(p=0）社会的需求量,称为“绝对需求量〞。b表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度（当然也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度）,它反映市场需求对价格的敏感程度。

设成本函数为Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0（7）

其中，m表示产品的最底成本，t表示产品数量增加或减少带来的幅度，n调理常数，即产品的最大成本为(m+1/n）。

将(1)～(3)和(6），(7)带入(4)式可得

U(p)=I(p)-C(p)=pf(p)-Q(f(p))f(p)=(a-bp)[p-m-1/(ta+n-tbp)]（8）

用微分的方法可以求出访U(p)最大的最优价格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0（9）

这是一个关于p的三次方程,对于实际问题,当得到a、b、m、n、t的数值带到(9)式中,再用相应的数学方法求出p*。在实际的工作之中,a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。m和n实际上是已知的常数，t也是根据产量的多少可以得出的。对于(9)式的求解在有些时候可能不简单得到确切的数值,我们可以根据实际状况得到具有一定精度的近似值。

除了上述最优价格模型，经济学中的弹性理论，金融工程中的期货期权理论，最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开拓了一条广阔的大路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力，也为社会创造了很大的物质资产，相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。

六、经济数学模型的作用和局限性

经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具。它是经济理论和经济现实的中间环节。它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。它能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用。对量大面广、相互联系、错综繁杂的经济数量关系进行分析研究，不能离开经济数学模型的帮助。但是，经济数学模型也有它的局限性。这种局限性既表现在它的建立要受人们对客观经济现实认识能力和仿真手段的限制，还表现在它的应用是有条件的，不能脱离应用者的学识、经验和判断能力。模型所说明的问题一旦触犯了人们的利益，模型本身常会遭到猛烈的反对。在阶级、社会集团的经济利益相互冲突的状况下，客观的经济发展过程绝不会完全依照经济数学模型所反映的途径发展。

用微分的方法可以求出访U(p)最大的最优价格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0（9）

这是一个关于p的三次方程,对于实际问题,当得到a、b