平面向量数量积的物理背景及其含义-教学设计

量数景及义教

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s(1),

F1W,也,而且只.熟悉把上,从而积a·好,它不熟(等),而且它积,,.,1解积2积积3积:积定.:积定积.,,,,,.,.,,Fs,F:Fs.,).,积.路面,任进行,差.结意行乘除(除零,会,意行？能,？提①a·b结还？?②,,积种乘,满足？③,任意∈(a+b)=a2

2

,(a+b)(a-b)=a2

-b2

.任意ab,否也面类结论?2=a+2a·b+b2;·(a-b)=a2-b.活:两非零a把|a||b|cos叫ab(或内积记·b,a·(0≤π).ab)叫ab上a上)投影.图为两范围0°≤≤180°图教起探,特别点拨导意两非零积,,值为两两余弦乘积零积为a符号“·〞号,能略,也能“×代替(4)0≤<时cosa·b>0;<≤πcos22ab<0.共同探明积律.:);(b=();c().:(1)0,b=0bab,b=0.3abab=bca=c.,,ca=c.3,aac);ac).b)cc,c),ca,.:,);(();c().(1)(a+b)

2

2

;(2)(a+b)·

2

-b

.:,,进行索研.给性,注,4.4θ做b在方上.并:1°,;2°θ锐θ钝负值;θ0;θ°θ=180°,:ba长b在上|b|cosθ.考:值,.同性质:设ab,eb同单.1°θ.°aa·b=0.°当a与b向时,a·b=|a||b|;当a与b反时特别地a·a=|a|

2

或|a|=

a•.4°cosθ=

a•.|a||5°|a·b|上述质要求学生结数积定义自尝推证教给予要的充和提示,在推导过程解并记忆性质讨果:①略见动②的数积的意义量积等于的度与b在a方上投影|b|cos的积〔思路1例1点AB、C满足|AB|=2,|BC|CA3,求ABBC+BCCA+CAAB值.活动:师引学生用向的数积结合向量夹角求解,先分析题.因为的,要求必.勾股定理可以意到△ABC是直角三角,然后形结结.解:由,|BC2+|2=|AB|,所eq\o\ac(△,以)ABC是直角三.而且∠ACB=90°,1从而∠ABC=,sin∠.∴∠∠∴AB与的夹角为120°,BCCA的角为90°,与AB夹角为故BC+CA·AB=2××cos120°+1×cos90°+×=-4.点:定两个向量夹角,应先平移向量的点相同,再考其角的小不是简单地看成两条的夹如例题ABBC的夹角是而是60°.与的夹角为60°,求解:2

22-|a||b|cosθ-6|b|

2=6

2

-6×4×cos60°-6×4

2=-72.例2且与不共线,当为何值时,量与互相垂直?解与相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.∵a2

=3

2

=9,b

2

=4

2

=16,∴9-16k

2

=0.3∴k=±.43也就是说当k=±时,a+kb与互相垂直4点评:此题主要考查向量的数积性质中垂直的充要条变练向量a满足:a

2

=9,a·b=-12,求|b|的取值范围解:∵|a|

2

=a

2

=9,∴|a|=3.又∵a·b=-12,∵|a·b|∴12≤3|b|,|b|故|b|的取值范围［4,+∞).思路2例1在四边ABCD中,

AB

CD=c,=d,且试问四边形ABCD的形状如何？解:∵AB++CD+DA即a+b+c+d=0,由可得(

2

,即a22=c+2c·d+d.又∵a·b=c·d,a2+b=c2+d2.同理可得a

2

+d

2

=b

2

+c

2

.由上两式可得a

2

=c

2

,且b

2

=d

2,即|且也即且BC=DA,∴ABCD是行四边.故AB=CD即又22222222即０,∴a⊥b,即AB⊥BC.综上所述是矩形点评:此,利用向量数量积解决有关垂直问,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形例是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量与的夹角.活动:师导生用量法平四形那么,出以为边的设=a,CB=b,那么=a+b,由|a|-|b|=|a+b|,知∠ABC=60°,b与所成角是我们还可以利用数量积算,得量与的夹角为了固量的关识,我们采另外一种角度来思问,教师给必要的点拨指导,即由解:a+b|,|b|=|a|,∴b22.∴2=|a|+2a·b+|b|.

ba作切入点行求解|b||∴b=-|b|2

.1而==|b|,①2由2=a

2

-2a·b+b=|b|

)|b|

2

+|b|

2

=3|b|

2

,而22=3|b|,∴b(a)∵cos〈b,a-b〉=|||代入①,得〈b,a-b〉=-

32

|b|||b|

.又∵∈［0,π］,∴

.点评:此题考查的是利用平面向量的题,解完后教师及时导学生对本解法进行反思、总结、体变练向量c=ma+nb(m,n∈R),|a|=22⊥且与的夹角为120°,求的值.解:∵a⊥c,∴a·c=0.又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·即2=ma·c+nb·c.∴2=nb·由2=16,b·∴16=-4n.∴n=-4.从而c=ma-4b.∵c=|b||c|cos