大学数学概率论及试验统计第三版41

第四章随机变量的数字特征1§4.1数学期望与方差2

分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，有些问题并不要求去全面地考察随机变量的取值规律，而只要求知道随机变量的某些取值特征就可以了。这一章里，主要讨论随机变量常见的数字特征：数学期望、方差和矩。3引例1分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望4把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAA

B

BABBA胜两局A胜B胜B胜A胜B胜两局

A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为5因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:6

设甲、乙两个射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击,(命中的环数是随机变量).射中情况记录如下引例2射击问题甲射中的环数X8910概率0.30.10.6乙射中的环数Y8910概率0.20.50.3谁的技术更好？7解甲平均射中环数甲的技术更好些。乙平均射中环数设两个射手各射N次，则他们打中靶的环数大约是：“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加8随机变量数学期望（均值）的定义：若级数不是绝对收敛，即级数发散，称X的数学期望不存在。9关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数和积分的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.10随机变量X的算术平均值为假设它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.11注意：并不是所有的随机变量都存在数学期望。虽有收敛。但非绝对收敛，故X的数学期望不存在。又如柯西分布故X的数学期望不存在。例随机变量X12解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例1

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?13随机变量的函数的数学期望:设

(1)X为离散型随机变量,其分布率为如果绝对收敛,则有(2)设X为连续性随机变量,密度为p(x),如果积分绝对收敛,则14例2设X的分布列为:求(1)2X+1;(2)X2的数学期望.解：15二维随机变量数学期望的定义：16二维随机变量函数的数学期望:为离散型时,为连续型时,17例3设随机向量的分布列为XY求的数学期望。解：18例4设(X,Y)的联合密度函数为求解:19性质1设C为常数，则E(C)=C数学期望的性质：性质2设X为随机变量，C为常数，则E(CX)=CE(X)性质3对于任意的两个随机变量X，Y有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质4设X，Y是相互独立的随机变量，则 E(XY)=E(X)E(Y)20

只证性质3、4，且随机变量为连续的情形.3.设(X,Y)的概率密度为f(x,y),其边缘概率密度为fx(x),fy(y)，则有214.因为X与Y相互独立，有f(x,y)=fx(x)fy(y),于是22例若随机变量X和Y相互独立，试证因为X与Y相互独立，所以与也相互独立.证:由性质323二、方差

方差的引入

设随机变量X均值为EX,实际上，X的取值并不一定恰好都是EX,而是有所偏离，在EX周围波动。实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.

较好方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.24又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心25

设X是一个随机变量，若

方差的定义：称为X的方差。也记作称为均方差或标准差。26方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.

方差的意义27随机变量方差的计算

(1)利用定义计算

证明(2)利用公式计算28解：29（3）设X，Y相互独立，则方差的性质：（1）设C是常数，则D(C)=0（2）设X是一随机变量，C是常数，则30只证明（3）：311.

两点分布已知随机变量X的分布律为则有重要概率分布的数学期望与方差322.二项分布则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为333.泊松分布

则有34所以354.

均匀分布则有36结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.375.指数分布

则有386.正态分布则有3940分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布41定义

设X是随机变量，若存在，则称它为X的k阶原点矩。若存在，