概率论与随机过程1作业答案homeworkvector marginal solution

1.1.i个射手每次命中的概率为p௜（0௜p௜௜1，iൌ01。求两射手均停止射时各自脱靶数X1和X2的联合分布。参考解答：即௜ሺXଵൌݔଵሻൌሺ1ൌ௜ଵሻ௫భ௜ଵ,ݔଵൌ0,1,2௜ሺXଶൌݔଶሻൌሺ1ൌ௜ଶሻ௫మ௜ଶ,ݔଶൌ0,1,2脱靶数X1和X2的联合௜൫Xଵൌݔଵ，Xଶൌݔଶ൯ൌ௜ሺXଵൌݔଵሻ௜ሺXଶൌൌ௜ଵ௜ଶሺ1ൌ௜ଵሻ௫భሺ1ൌ௜ଶሻ௫మ,ݔଵ,ݔଶൌ0,1,2脱靶数X1和X2的联合分布函௫భ ܨ൫ݔଵ，ݔଶ൯ൌ௜௜௜൫Xଵൌ，Xଶൌ൯ൌ௜ሻ௜ሺXଶ௜௜௜ ௜ ௜

ൌሾ1ൌሺ1ൌ௜ଵሻ௫భଵሿሾ1ൌሺ1ൌ௜ଶሻ௫మଵሿ,ݔଵ,ݔଶൌ本题部分同学没有理解脱靶数的含义，认为Xଵ与Xଶ服从几何分布，得到了pቀXଵXଶൌxଶቁൌpଵpଶሺ1ൌpଵሻ୶భሺ1ൌpଶሻ୶మ的错脱靶数即没有射中的次数，并不是总次数。总次数Xଵ௜1与Xଶ௜1均服从几何分布，非Xଵ与Xଶ服从几何分布。求。部分同学将分布函数与分布列概念相；分布函数一般用Fቀxଵ，xଶቁ表示，P一般）（注意。xଵ,xଶ的取值范围需要写清楚。2.2.5615min1௜Xሺݔሻൌ

0௜ݔ௜ 1௜Yሺݕሻൌ

0௜ݕ௜ ݊ሺݔ,ݕሻൌ௜Xሺݔሻ௜Yሺݕሻ

0௜ݔ௜60,0௜ݕ௜

௬

0௜ݔ,ݕ௜ 0௜ݔ௜60,ݕ௜,ݕܨ

ൌන

݊

ݕ݊ݔ݊

ݕ 0௜ݕ௜60,ݔ௜ஶ ݔ,ݕ௜

൫成功碰头൯ൌ

௜ൌ

௫

ሺ ሻ݊

௬

1ൌන

,ݔ݊

නൌݔ݊ݕ

݊

ൌ1ൌ3600ൌ设随机矢量ሺ݊

ሻԢ的密度函数 0௜ݔ௜1,0௜ݕ௜௜ሺݔݕሻൌቊ 其求

ቀ0௜

௜ଵ,ଵଶ

௜（4）݊解答

ൌ௜݊参ଵ భ

ሻభ

మమ

；,௜݊௜1ቁൌ

௜భ

ൌݕ݊ݔ݊ݕ,ݔ

௜భ

ଶ ௜ ௜ ൌሻൌ0;（平面内一条线段ൌݔ݊ݕ݊ݕݔ4௜ଵ௜ଵൌݔ݊ݕ݊ሻݕ,ݔ௜ሺ௜ଵ௜ଵൌሻ௜௜ ௜

௜ሻൌ

ൌሻ௜

的取值空间，然后进行积分运算即可。比较特别的是

ൌሻൌ0，因

݊对应于平面内的一条线段，在二中的面积为0，故其概率为设随机矢量ሺ݊

ሻԢ的密度函求（）ሺ݊௜

௜ሺݔ,ݕ,

݊ሺ௫௬ ݔ௜0,ݕ௜0,ݖ௜ൌൌ

݊ൌݖ݊ݕ݊ݔ݊௭ሻ௬ሺ௫݊௜௬௜௭௜ஶൌሻ௜݊௜݊ሺ݊(1) ௜ (2ሺ݊ൌ݊௜ሻൌ௜ஶ௜௭௜௬݊ሺ௫௬௭ሻݔ݊ݕ݊ݖ݊ൌ0;（三

௜(3的边缘分布密ஶ ሺ

݊ ݔ௜

௜௜

ൌ

z,ݕ,ݔ௜න

ஶ本题与第 PሺXൌY௜ሻൌ0，因为 XൌY௜对应于三 积为连续型 量

相互独立，当且仅当其联合密度函数可以௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌሺݔሻ݊ሺݕሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜并试将该性质推广到判断元随 量ଵ,,௜相互独。证明必要性：若连续型 量

相互独立，则其联合密度函数可以写௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌሺݔሻ݊ሺݕሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜因为连续型 量

相互独立௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌ௜௜ሺݔሻ和௜௜ሺݕሻ,ݔሻ௜ݔሻ，ݕሻ௜௜ݕሻ，即可

边缘率密௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌሺݔሻ݊ሺݕሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜充分性：若 量

的联合密度函数则 量

௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌሺݔሻ݊ሺݕሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜相互独由于 量,的联合密度函数௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌሺݔሻ݊ሺݕሻ，则,݊边缘概率 ஶሻݔሺൌݕ݊ሻݕሺ݊ሻݔሺනൌݕ݊ሻݕ,ݔ௜௜,௜ሺනൌሻݔ௜௜ሺݕ݊ݕ݊ ஶ ஶ ሻݕሺൌݕ݊ሻݕሺ݊ሻݔሺනൌݔ݊ሻݕ,ݔ௜௜,௜ሺනൌሻݕ௜௜ሺݔ݊ ஶ ஶ ሻݕሺ݊·ݕሻݕሺ݊නሻݔሺ݊ൌሻݕሻ௜௜ሺݔ௜௜ሺ

ሻݔሺ݊ ஶஶ ஶሻݔሺ݊නݕሻݕሺ݊නሻݕሺ݊ሻݔሺ݊ൌ ஶஶ݊ݔሻݕሺሻݔሺනනሻݕሺ݊ሻݔሺൌஶ由联合密度函数 ݕሻ的正则性 ஶݔ݊ ஶஶ

݊ሻݔሺ݊

௜௜,௜ሺݔ,即௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌ௜௜ሺݔሻ௜௜ሺݕሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜∞,随 相互综上可证，连续型 量

相互独立，当且仅当其联合密度函数可成推广

௜௜,௜ሺݔ,ݕሻൌሺݔሻ݊ሺݕሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜将该性质推广到判断元 量ଵ,,௜相互独立的情形，即元 ଵ,,௜其中，݊௜ሺݔ௜ሻ为仅与随量ݔ௜有关的函。

௜ሺݔ௜ሻ,ൌ∞௜ݔଵ 一、解答过程中出现的主要问题有3点：充要条件的证明要从两个方向分别证明，即充分性和必要性，部分同学仅仅证明命题ABB则A则B。 ሻݒሺ݊ሻݑሺනනൌݑ݊ݒ݊ሻݒ,ݑ௜௜,௜ሺනනൌሻݕ,ݔ௜,௜ሺܨஶஶ

ஶஶൌ

ݑ݊ሻݑሺ

ሻݒሺ ஶൌܨ௜ሺݔሻܨ௜ሺݕሻ（有的同学写为n元随量Xଵ,,X୬相互独立，当且仅当其联合密度函数可以写pXభ,X௜ሺxଵ,x୬ሻൌ௜Xభሺxଵሻ௜Xమ 而且也没有注明௜X௜ሺx௜ሻ代表什么如果没有说明 ሺx௜ሻ一般代表的就是X௜的边缘概率密度函数，pXభ,X௜ሺxଵ,x୬ሻൌ௜Xభሺxଵሻ௜Xమሺxଶሻ௜X௜ሺx୬ሻ,ൌ∞௜xଵ,x୬௜首先请看2个例子：௜ݕ,ݔ௬,݊௫݊6ൌሻݕ,ݔሺ݊݊ሺݔ,ݕሻൌ24ݕݔ,0௜ݔ௜1,0௜ݕ௜1,0௜ݔ௜ݕ௜݊ሺݔݕሻൌ6݊ଶ௫݊௬ൌ݊௫·6݊ଷ௬ሺ仅举一种分解）ൌሺݔሻ݊݊ሺݔݕሻൌ24ݕൌ4ݔ·6ݕሺ仅举一种分解）ൌሺݔሻ݊因此，根据该条件的充分必要性，可得，CaseA和CaseB中随量X,Y均独立。pX,Yሺx,yሻൌhሺxሻgሺyሻ,ൌ∞௜ݔ,ݕ௜上式成立需要对随量X,Y所有可能的取值都成立。一个函数可以分解为两个子函数因此，对于Case

fሺx,yሻൌ6eଶ୶eଷ୷,x,y௜可以分解为hሺxሻൌe୶,x௜0和gሺyሻൌ6e୷,y௜0两个子函数的乘积，因此量X,Y独立但是，对于Case݊ሺݔ,ݕሻൌ24ݕݔ，0௜ݔ௜1,0௜ݕ௜1,0௜ݔ௜ݕ௜尽管形式上函数fሺx,ሻൌ24xy可以分解为hሺxሻൌ4,gሺሻൌ6y的乘积，但是其hxሻ与ሺሻ的定义域无法定义，因此，本质上ሺ,ሻ无法分解为两个一元函数的乘积所以，量,不独立。 量ଵ,ଶ,ଷ相互独立，则ሺ݊ଵ,ଶሻ与ଷ相互独立么？ 量ଵ与ଶ独立，݊ଶ与ଷ独立，则ଵ与ଷ相互独立么参考解答：（1）ሺ݊ଵ,ଶሻ与ଷ相互独证明：如果 量

ଷ相互独立，则联合概率密௜௜భ,௜మ,௜యሺݔଵ,ݔଶ,ݔଷሻൌ且௜௜భ,௜మሺݔଵ,ݔଶሻൌ故௜௜భ,௜మ,௜యሺݔଵݔଶ,ݔଷሻൌ௜௜భ,௜మሺݔଵ,ݔଶሻ·因此，ሺ݊ଵ,ଶሻ与ଷ相互独（2）݊ଵ与ଷ独立性无法