双曲线的复习精华版

.双曲线1．围、对称性x2y21，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方由标准方程2b2a向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：A1(a,0),A2a,0特殊点：B1(0,b),B20,b实轴：A1A2长为2a,a叫做半实轴长虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长双曲线的标准方程：yF1 F2O x

yNQB2 MA1O A2 xB1yF2xF1x2y2(＞0，＞0).y2x2(＞0，＞0).a2b21aba2b21abc2＝a2＋b2焦点在x轴上，焦点是F1(－c,0)、F2(c,0).焦点在y轴上，焦点是F1(0,－c)、F2(0,c).双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异．．渐近线经过A2、A1作y轴的平行线成一个矩形(如图)．两条直线ybxxyaabx2y21的渐近线叫做双曲线b2a2

x＝±a，经过B、B作x轴的平行线y＝±b，四条直线围21yB20aA1OA2xb.B1yy2x21(a＞0,b＞0)的渐近线为A2a2b2B1abB2xbyxOxA1y0.ab＝b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.a..．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： y x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e 2等轴双曲线可以设为： x2 y2 ( 0)，当 0时交点在x轴，当 0时焦点在y轴上．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为ybxkbx(k0)，那么此双曲线方程就一akax2y21(k0)x2y2定是：(kb)2或写成b2(ka)2a26．补充性质：焦半径：双曲线上任意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。（利用双曲线的第二定义，我们可以很容易地推导出双曲线的焦半径公式。）MF1aex07．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比e2cc，叫做双曲线的离心率围：e12aa双曲线形状与e的关系：kbc2a2c21e21，aaa2因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔(1)双曲线的形状口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线x2y2y2x2如91与116916注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭之意1）性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-13）共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为x2y2(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上1k2..三、讲解例：一、求双曲线的标准方程x2y21y2x21（a、b>0），通常是利用双曲线的有求双曲线的标准方程b2或b2a2a2关概念及性质再结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.例1求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的共轭双曲线方程.解令与双曲线x2y21有公共渐近线的双曲线系方程为x2y2k，将点22M(2,2)代入，得k22(2)22，∴双曲线方程为x2y21，由共轭双曲242x22线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为y41.2.一般地，与双曲线评此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题x2y2x2y2k（kR，且k≠0）；有公a2b21有公共渐近线的双曲线的方程可设为2b2a共焦点的双曲线方程可设为x2y21，本题用的是待定系数法.a2k2a2二、1、第一定义的应用双曲线的第一定义：已知F1、F2是平面两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|1|－|2|=±2，正常数2<|12|时，P的轨迹是双曲线.PFPFaaFF例1x2y21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠0，12124求F1PF2的面积.解由双曲线的第一定义知，PF1PF24，两边平方，得222PF1PF216.PF1PF2022220，PF121212PF12PF216∴PF1PF22，2∴SFPF21PF1PF21.122、第二定义的应用双曲线的第二定义：设F为定点，l是定直线，P是动点，、F及l共面，当且仅当它P们满足条件|PF|(1),d是P到e距离时，P的轨迹是双曲线.deee是常数【例1】已知双曲线x2y2=1的离心率e>1+2，左、右焦点分别为F、F，左准线12..为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?【解前点津】从假设存在这样的P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果.【规解答】 设在左支上存在 P点，使|PF1|2=|PF2|·d，由双曲线第二定义得：|PF1||PF2|e,即|PF2|=e·|PF1|①d|PF1|又由双曲线的第一定义得：|2|－|1|=2a②PFPF从①②中解得：2a2ae，因△PFF中有|PF|+|PF|≥2c，PFPF12e11212e12a2ae≥2c③∴e1e1而e=c，故由③得：e2－2e－1≤0解之：1－2≤e≤1+2，a∵e>1，∴1<e≤1+2这与e>1+2相矛盾，∴符合条件的P不存在.【解后归纳】对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立 .x2 y2例2：如果双曲线 1上一点P到双曲线右准线的距离 d等于8，求点P到右焦64 36点F的距离|PF|。解:Qa648,b366,c643610|PF|c|PF|10|PF|10Q,8,da8即点P到右焦点F的距离|PF|为10。如上题如何求P到左焦点F′的距离|PF′|？解：||PF′|－|PF||=2a，∴||PF′|－10=16，∴|PF′|=26例3：已知点A（5，3），F（2，0），在双曲线x2y21上求一点P，使|PA|1|PF|32的值最小。解：∵a=1，b=c2，3，∴c=2，e=ad，则|PF|1|PF|d设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为2,d2即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（2，3）。三、双曲线性质的应用例1设双曲线x2y21（0ab）的半焦距为c，a2b2直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到l的距离为3c，4..求双曲线的离心率 .c解析这里求双曲线的离心率即求，是个几何问题，怎么把a题目中的条件与之联系起来呢？∵OAa，OBb，ABc，由面积法知ab=3cc3c2，考虑到a2b2c2，44知a2(c2a2)3c4即e213e4，亦即3e416e2160，注意到a<b的条件，可求得e2.1616四、与双曲线有关的轨迹问题例1以动点P为圆心的圆与⊙A：(x5)2y249及⊙B：(x5)2y21都外切，求点P的轨迹方程.解设动点P（x，y），动圆半径为r，由题意知，PA7r，PB1r.∴PAPB6.∴A(5,0)，B(5,0)，据双曲线的定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，方程为x2y21(x0).：169例2如图2，从双曲线x2y21上任一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解析因点P随Q的运动而运动，而点Q在已知双曲线上，故可从寻求Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的.设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为(x1,y1)，则N点的坐标为(2xx1,2yy1).NPQ∵点N在直线xy2上，∴2xx12yy12①xy2又∵PQ垂直于直线xy2，∴yy11，xx1图2即xyy1x10②x131y1x2联立①、②解得2.又∵点N(x1,y1)在双曲线x221上，13yy1x2y12∴x12y121，即(3x1y1)2(1x3y1)21，化简，得点P的轨迹方程为：22222x22y22x2y10...五、与双曲线有关的综合题【例1】是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由.(1)渐近线方程为 x±2y=0；(2)点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为6.【解前点津】讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题.【规解答】假设存在同时满足题中两条件的双曲线.(1)若双曲线焦点在x轴上，可设双曲线方程为x2y21，因渐近线为a2b21bx，∴1bx2y2=1.y=±xa2，双曲线方程可化为：4b2b22a设动点P的坐标为(x，y)，则|AP|=(x5)2y25(x4)25b2(x≥2b或x≤－2b).4由条件②，若2≤4即b≤2，则当=4时，||=5b26b21，这是不min可能的.若2b>4即b>2时，则当x=2b时，|AP|min=|2b－5|=6，解之5656<2应舍去).b=(其中22此时存在双曲线方程为：x2y21(56)22562(2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为y2x2=1(x∈R)，b24b2∴||=5(x4)2b25，∵x∈，∴当x=4时，|AP=b256，4min22x2=1.∴b=1，此时存在双曲线方程为y－4【解后归纳】给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；..若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；求△F1MF2的面积.【解前点津】因e=2222222，所以c=2a=a+ba=b，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2－y2=λ(λ≠0).【规解答】(1)∵e=222222222，∴c=2a=a+ba=b，∴双曲线方程可设为：x－y=λ，∵点(4，－10)在双曲线上，∴2216－10=λ，即λ=6，故双曲线方程为：x－y=6.(2)由(1)知：F1(－23，0)，F2(23，0)，kMFm,kMFm,kMF?kMFm2m2∴122，32332319123∵点(3，m)在双曲线上，∴22kMF?kMF=－1，∴MF1⊥MF2.9－m=6，m=3，故21(3)△F1MF2的底|F1F2|=43，F1F2的高h=|m|=3，∴SF1MF2=6.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为22m·x+n·y=1(mn<0).（六）点差法的运用例1、过点P(8,1)的直线与双曲线 x2 4y2 4相交于A,B两点,且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.解设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2y2),则x124y124,x224y224,由方程组x124y124,推得,(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0x224y224,P(8,1)是段AB的中点,x1x216,y1y22.y1y2x1x22,故直线AB的斜率为2,其方程为y12(x8)x1x24(y1y2)即2xy150.例2．对于双曲线x2y21，过B(1,1)能否作直