《数学分析选论》（练习题）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——《数学分析选论》（练习题）处连续,在(1,1,1)处Fx?2,Fy?4,Fz?6,于是,得切平面方程为

2(x?1)?4(y?1)?6(z?1)?0,

x?1y?1z?1??即x?2y?3z?6.法线方程为.123

第十三章.重积分

21设D是由直线x?0,y?1,和y?x围成,试求I???x2e?ydxdy的值.

D解先对x积分后对y积分I??dy?x2e?ydx?001y2113?y2yedy.?03由分部积分法,知I?11?.63eD2设D是由矩形区域|x|?1，0?y?2围成,试求I???|y?x2|dxdy的值.

?y?x2,解由于|y?x|??2?x?y,2y?x2y?x22则

12I???|y?x|dxdy??dx?D021x20x?ydy??dx?2y?x2dy0x23218xdx??(2?x2)3/2dx???cos4tdt03306301813?5????(1?)??8646343设D={(x,y):y?0,x2?y2?1,x2?y2?2x?0},试求I???xydxdy的值.

??11

?/4D解利用极坐标变换

I???xydxdy??D?/30d??2cos?1r2cos?sin?rdr1?/394(16cos??1)cos?sin?d??4?016

4试用变量代换计算下面的积分

y

（1）I???(1?)2dxdy,D由y?0,y?x,x?y?1围成.

xDy（2）I???dxdy,D?{(x,y):x?0,y?0,x?y?1}.

31?(x?y)D解（1）令u?x?y,v?y/x，则D变成D1?{(u,v):0?u?1,0?v?1，且积分

?成为（J?u/(1?v)2)111I???(1?v)2Jdudv???ududv??udu?dv?.002DD1

（2）令u?x?y,v?x?y，则D变成D1?{(u,v):0?u?1,?u?v?u，且原积分成为

6

11duuI??(u?v)dv?2?1.401?u3??u

5设f(x)是[a,b]上的正值连续函数，试证

f(x)2dxdy?(b?a)，其中D是a?x?b，a?y?b.??f(y)D证明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此f(x)1f(x)f(y)dxdy?[dxdy?dxdy]??????f(y)2f(y)f(x)DDD1f(x)f(y)2[?]dxdy?dxdy?(b?a).????2Df(y)f(x)Ddxdydz6计算???2,其中V为由平面x?1,x?2,z?0,y?x,与z?y所围成.2Vx?y解V在oxy平面上的投影区域为D??(x,y):0?y?x,1?x?2?,于是

2xy2xdxdydzdzydy12122x?dxdy?dx?ln(x?y)|dx?ln2.0?????????22222210010122x?yx?yVx?y7计算I????z2dxdydz,

V其中积分区域为x2?y2?z2?a2，x2?y2?(z?a)2?a2的公共部分.

解法1用球坐标计算积分，积分区域分解成；V?V1?V2，其中

???V1??(r,?,?):0?r?a,0???,0???2??；

3??????V2??(r,?,?):0?r?2aco?s,???,0???2??，

32??于是

2??/3a2222??/2I??d??d??rcos?rsin?dr??d?0000?/3?d?2acos?2023rcos?rsin?dr?2?a526?a559527=sin?cos?d??sin?cos?d???a.?5?54800?/3解法2用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一〞法，有

a/2a2?/3?/2I????zdxdydz?V2?z0dzax2?y2?2aZ?Z2??dxdy??za/22x2?y2?a2?z2??dxdy

a/2=??(2az?z)zdz?022a/2222??(a?z)zdz?1?x2595?a.4808变换为球面坐标计算积分

?dx?010dy?2?x2?y2x?y22z2dz.

解积分区域变换为球面坐标为V??{(r,?,?):0?r?2,0???于是,

?4,0????2}.

7

?dx?011?x20dy?2?x2?y2x2?y2z2dz=??/20d???/40sin?d??r2cos2?r2dr

0222?/422?1??sin?cos2?d???.05159设函数f(t)连续，F(t)????[z2?f(x2?y2)]dv,

??dFF(t)和lim2.

t?0?tdt解由于区域?为柱状区域，被积函数中其次项为f(x2?y2)，所以用柱坐标法比较便利．

其中?:0?z?h，x2?y2?t2，求

F(t)????zdv????f(x?y)dv??zdz22??h20x2?y2?t2??dxdy??th0dzx2?y2?t2??f(x2?y2)dxdy

00033dF23??ht?2?htf(t2).利用洛必达法则,有于是,dt3F(t)?h2tf(t2)?h2lim2??lim2?h???hf(0).t?0tt?032t310.求曲面x2?y2?z2被柱面z?y2与平面z?y?2所割下部分的面积.

?xy?xz解曲面方程表示为x?y2?z2,,,??2222?y?zy?zy?z??h3t?h?d??f(r)rdr?22?t2?h3t2?2?h?f(r2)rdr.

于是所求面积

2y?22?x2?x21?()?()dydz?22?dy?2dz?22?(y?2?y2)dy?92.D?1y?1?y?z

第十四章.曲线与曲面积分

1计算?yds，其中L是摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost),

S=??L的一段（a?0,0?t?2?）.

tx?2(t)?y?2(t)?2asin,

22?2?tt3220?t?2?,则?yd=a.s?a(1?cost)2asindt?4a2?sin3dt?00L223dx?dy2计算?，其中ABCDA为以A(1,0)，B(0,1)，C(?1,0)，D(0,?1)为

ABCDA|x|?|y|顶点的正方形封闭围线.

解AB段：直线方程y?1?x，0?x?1，

0dx?dydx?dy?AB|x|?|y|??1x?(1?x)?0.

BC段：直线方程y?1?x，?1?x?0，

解由x?(t)?a?acost,y?(t)?asint,可得

8

?dx?dy?1dx?dxBC|x|?|y|??0?x?(1?x)??2.

CD段：直线方程y??1?x，?1?x?0，

?dx?dy0dx?dxCD|x|?|y|???1?x?(1?x)?0.

DA段：直线方程y??1?x，0?x?1，

?dx?dy1dx?dxDA|x|?|y|??0x?1?x?2.于是有，?dx?dyABCDA|x|?|y|=0.

3计算?Lxy2dy?x2ydx，其中L为四分之一x2?y2?a2(x,y?0)

的边界，依逆时针方向.

解设??x?acos?sin?，??y?a0???2，则

?原式＝?20?a3cos?sin2?acos??a3cos2?sin?asin??d?

??＝?24sin22?4402a4d??a24?0?1?cos4??d???a8.4解答以下问题

（1）设P(x,y),Q(x,y)是光滑弧AB上的连续函数，AB长度记为l，则|(x,y)dx?Q(x,y)dy|?lM，M?，

AB?p(xm,y)?aABx{P2?Q2}(2)设L:x2?y2?R2，I?xdyR??ydxL(x2?xy?y2)2，则Rlim???IR?0，

（3）设L是曲线y?2x?x2上从(0,0)到(1,1)之线段，证明:

I??L[y2x?x2?x(1?x)]ds?1.

解(1)注意到柯西不等式

|Pcos??Qsin?|?(P2?Q2)1/2(cos2??sin2?)1/2?(P2?Q2)1/2，I?|?AB(Pcos??Qsin?)ds|??AB|Pcos??Qsin?|ds

??2ABP?Q2ds?M??ABds?Ml。

（2）由于P(x,y)?y(x2?xy?y2)2，Q(x,y)??x(x2?xy?y2)2，可知P2?Q2?x2?y2(x2?xy?y2)2.采用极坐标，可得

P2?Q2?R114(R2?xy)2?R3(1?sin?cos?)2?R3(2?sin2?)2.由此知M?(mx,ya)?Lx{P2?Q2}?4R3,利用题（1），有9

48???0，(R???).R3R2dx（2）由于ds?1?(y?)2dx?，所以

22x?xdxdydx???2x?x2，cos???y??1?x。cosdsdxds|IR|?2?R?I??(ycos??xcos?)ds??ydx.?xdyLL将曲线L:y2?(x?1)2?1用参数式表示，即令x?1?cost，y?sint，且取顺

时针方向为正，可知

?/2??I??{?sin2t?(1?cost)cost]dt???1??1.

0445判别以下表达式(4x3y3?y2)dx?(3x4y2?2xy)dy.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.

?P?Q解设P(x,y)?4x3y3?y2,Q(x,y)?3x4y2?2xy，由于,?12x3y2?2y??y?x则(4x3y3?y2)dx?(3x4y2?2xy)dy是某函数u?x,y?的全微分.且u?x,y??????x,y??0,0?0,y??4x?3y3?y2dx?3x4y2?2xydy

?x,y??0,y????0,0?0dy???4x?3y3?y2dx

??x4y3?xy2.

6求I??[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy,其中C是点A(2,0)到点O(0,0)的上半

C圆周.

解用ox轴上直线段oA,使上半圆周和直线段oA构成封闭曲线.设p(x,y)?exsiny?y,Q(x,y)?excosy?1.有

?Q?P??excosy?(excosy?1)?1.?x?y于是,由格林公式知

I??aboa[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy=??dxdy?D?2.

其中在直线段oA上,有y?0,(0?x?2),则

?oA[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy?0.

.

2?oA27计算以下积分（1）I??f(x2?y2)(xdx?ydy)，L是R2中的一条简单光滑闭曲线，f(x)在R因此I??L?[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy??上连续可微.

21?y2f(xy)x[y2f(xy)?1]LA(3,)到点B(1,2)的直线（2）I??，是从点dx?dy23yyL段,f是R上的连续函数.

10

解（1）由P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2)可知

?Q(x,y)?P(x,y)，(x,y)?D,?2xyf?(x2?y2)??x?y其中D是L所围区域，由格林公式,可得

?Q(x,y)?P(x,y)I???(?)dxdy?0.

?x?yD1?y2f(x,y)x[y2f(x,y)?1]（2）由P(x,y)?,Q(x,y)?可知，当y?02yy2?P(x,y)?Q(x,y)时，有。从而取点C(1,)。并作AB，CB使ABCA形闭曲?3?y?x线，记ABCA所围区域为D，于是

1?y2f(xy)x[y2f(xy)?1]1?y2f(xy)x[y2f(xy)?1]I??dx?dy??dx??dy22yyyyABCAACCB132221?0??[?f(x)]dx??[f(y)?2]dy

322/333y??3??22/32f(t)dt??22/3f(y)dy?1??4.

8求曲面z2?2xy被平面x?y?1,x?0,y?0截下部分之曲面面积S.

(x?y)2(x?y)2解由z?2xy得zx?y/z,zy?x/z，从而1?zx?z?。?z22xy注意到该曲面上的点关于平面xoy对称，且其上半部分在平面xoy上的投影为区域D:0?x?1,0?y?1?x，从而有

22yS?2??D11?xx?yxdxdy?2?dx?(?00y2xy1y)dyx1(1?x)3?22?[x(1?x)?]dx

03x?2(1/2)??.?229计算曲面积分

??S(xy?yz?zx)dS,其中S为圆锥面z?x2?y2被曲面

x2?y2?2ax所割下的部分.解对于圆锥面z?x2?y2，则

?z??xxx?y22，

?z??yyx?y22

S在xy平面上投影区域为Dxy：(x?a)2?y2?a2，于是

??(xy?yz?zx)dS?S2??[xy?(x?y)x2?y2]dxdy

Dxy2acos?0?2??/2??/2(sin?cos??sin??cos?)d???/20r3dr

?42a4??82a

4(sin?cos??sin??cos?)cos4?d?cos5?d??82a44?264?2a4.5?315??/2023

10计算I???Seyx2?z2围成立体表面的外侧.

解曲面S1取负侧，而投影区域为D1：x2?z