zernike多项式及其在低温光学中的应用

Zernike多项式及其在低温光学中的应用摘要：Zernike多项式不但能精确地表示一个表面，还具有很多其它优点，在工程项目中得到了广泛的应用，特别是用以描述镜面面型。光学元件从室温降低至运行温度时，就会发生面形变化，因而对光学成像质量和探测器灵敏度有很大影响。Zernike多项式在低温光学中的应用包括镜面温度场的拟合以及镜面面形拟合。拟合编程用Matlab软件实现，用最小二乘法对超定方程进行编程求解。最后给出了一个动镜的Zernike面形拟合实例。Zernike多项式拟合的结果可以导入光学分析软件(ZEMAX)中，求出各个像差，进行热分析综合评价。关键字：Zernike多项式低温光学镜面面形热分析0引言随着空间技术的不断发展，对地探测、大气观测、及天体观测等应用卫星也不断地发展。这些卫星大都需要探测器及其相关仪器来实现观测任务。对于这些探测器和仪器来说，最主要的是减少放大器的噪声和宇宙辐射背景的噪声，来提高探测器的灵敏度和成像的质量。由于空间背景的平均温度低于4K，光学系统的热辐射成了红外探测系统的主要热背景来源。为了提高探测器的灵敏度，就需要降低光学系统本身的温度。工作在低温条件下的光学系统，与常规的光学系统有很大的不同。当光学系统从室温降低至运行温度时，就会发生热变形，特别是光学元件的面形的改变，对光学成像质量有很大的影响。在光学元件发生变形的时候，元件的表面就变的不规则起来，此时就不能用一般的标准方程来描述。有很多方法用以描述计算光学元件的表面面形，如最小二乘法、Gram-Schmidt方法、协方差法和SVD法，但是最理想的一种方法是Zernike多项式法。由于它的正交特性，它对于测量数据点两维的多项式拟合是非常可行的[1]。1Zernike多项式自1934年F.Zernike构造出Zernike多项式以来，它在工程项目中得到了广泛的应用，特别是用以描述镜面面型。它不但能精确地表示一个表面，还具有很多其它优点：它具有良好的数学性能，多项式之间是正交的和独立的；多项式的前几项的值和光学系统的初级相差相对应。Zernike多项式描述了表面变形而多出的那部分值，其表达式为：（1）式中：——多项式第i项的系数；——径向长度除以最大的径向值；——角度；N——多项式的最大项数。根据文献[2]，该表达式一般取到第28项就足够精确。热分析变形得到的结果是由直角坐标系的变形值，因此需要把公式转化成直角坐标系。如表1为的直角坐标表达式。表1的直角坐标表达式在项志数贴i扮直角坐标系表洋达式保项残数挎i誉直角坐标系表巨达式过1圣1茎15非2笛16咏3倘17寿4逗18虚5随19锡6炸20赏7拦21挎8尚22膏9歪23择10秃24修11买25蜘12军26礼13朝27庭14曾282Zernike多项式拟合2.1镜面温度场的拟合环模试验可以在玻璃表面粘贴温度传感器获得测点温度。但是热光学分析需要知道每个节点或单元的温度，实际中很难测量这些点的温度，再加上很难准确掌握内部的温度，所以需要在测量的温度的基础上分析出其它节点或单元的温度。采用Zernike多项式拟合和最小二乘法拟合的方法可以求出如公式（2）的多项式系数，并获得所有其它节点的温度值。使用该方法并通过有限元计算的表面变形结果非常吻合光学测量的结果[3]。（2）两式中视：宋—鞠—仿（话x,牺y贝）点处的温度疤值；搞x,y嘱助—牧—生盒光学元件表面厅的坐标值；稀—赢—仍啊多项式系数。疲2.2优版镜面面形拟合剩在有限元分析欢的软件中，可环以得到光学元峡件表面的变形待输出文件，包蓝括：都，史i=争1甩M张。其中，叹为光学元件表梢面的廊第逗i纳个节点上的坐订标值，藏为煤划为镜面在咱第笔i点个接点处的变捕形值盆，举M使为光学元件表浸面的接点数。架Zernik鞠e亩多项式的拟合脉采粱用软Matla督b谷软件，其实质烧是波面的拟合忙，即乳用讲Zernik桥e祖多项式对元件臭的表面拟合。横通过有限元软船件可以得到镜界面的变形值（徐），则可以凶得暴n剂项呢的延Zernik宏e殊多项式的表达围式：（3）遍（迫2锯）式中椅，菊m煤为面上的赛第歉m袖个点。诊为已知，寺可以由谁表臂1恰给出的公式求姥出，只有曲是未知量。由莫于特m术n掘,浆因此采用最小摔二乘法来求解梅参然数贿。误Matla两b锁软件对矩阵运返算的功能十分我强大，用该软天件和最小二乘内法算法编程可饺以得到很好的号计算结果。堡3授背动镜面形药的速Zernik洞e睬多项式拟合领动镜是航天某榴低温光学系统絮中的关键光学他元件之一，它卫对任何微小振练动和面形变化压都非常敏感，疑并会导致探测穷器的灵敏度下况降。动镜的温问度水平、轴向恋温差、周向温竟差和径向温差种都对系统的运绑行都有影响，格下面以轴向温牛差为例进行拟纳合分析。橡动镜前后表面贤温度相罪差猎1K弱(接温度水落平猴150K撞)惨的热分析温度搏和热应力分析刻轴向俱（蛋Z张方向）位移的鲜结果。首先铸用绝COSMOS田WORK醉S芦软件对动镜的旋热分析；根据砖动镜上下面周出边固定的边界竹限制条件，在咳热分析温度结竹果的基础上对绸动镜模型进行可热应力分析，拔可得到动镜的凳轴向位移。把鲁上下表面的轴搬向位移分别导或出，就可以得碑到镜面的变形茂值（翅）。播把上面得到的顶镜面的变形值喜（伸）分别代入公厦式记（杏3陕），然后通税过临Matla擦b邮软件，用最小侍二乘法编程求论解，就得到多薄项式系数的拟枯合结果。如下偏表是动镜必的尤Zernik宵e蜡多项式拟合结旺果：款表至2雁营动镜前后表面谊温度相储差成1K喷(犬温度水睛平袜150K争)债的热变形的拟绳合系闯数燕谷i船1辽2策3炭4株5云6垒A矿i寿×10兆-30叉0.0000喜09酿-0.000期005贼-0.000姻003卧0.0053梢49敬-0.000抚047派0.0038叨52水i常7烤8留9摔10沸11优12货A包i真×10铅-30凝-0.044拐975扒-0.006瓶469远-0.000介751免0.0014局61吊4.9041谨0.0571翅03结i丽13船14汪15乖16核17性18妄A文i驱×10项-30东-0.058宇786慌0.0236尼58辽-0.011醋188公-9.206婚3衡-6.643庸21谈12.504阅i药19寨20撇21恰22递23西24趣A寨i盆×10撇-30劣-1.546在3波2.9845爱-0.197墙81尽1.4134损1×10仇11赏-73.24尘3抵26.579轨i雅25载26蝶27进28兵

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