耦合电感和谐振电路

第4章耦合电感和谐振电路(inductorofcouplingandresonancecircuit)本章主要介绍：①②③①②③耦合电感元件，耦合电感的串、并联；含有耦合电感的正弦电流电路的分析，理想变压器的初步概念;①②③①②③4.1耦合电感元件(coupledinductors)磁耦合：两个线圈的磁场存在着相互作用，这种现象称为磁耦合，亦具有互感。本节只讨论一对线圈相耦合的情况。一.互感（mutualinductance）互感:当两个电感线圈物理上相互靠近，一个线圈所产生的磁通与另一个线圈相交链，使之产生感应电压的现象。图为两个有耦合的线圈。设线圈芯子及其周围的磁介质为非铁磁性物质。线圈1的匝数为^1,线圈2的匝数为N2。规定每个线圈电流与电压为关联参考方向，电流与其产生的磁链（或电流与磁通）的参考方向符合右手螺旋法则，也是相关联。耦合线圈无耦合线圈耦合线圈无耦合线圈自感磁链：「L在线圈1中产生的磁通为%及磁链为匕1，即：%1=NFn*在线圈2中产生的自感磁链%2,即：中22=L2‘2互感磁链：「‘1在线圈2中产生的磁链%1，即：匕1=N2气1，M21—一线圈1与2的互感。‘2在线圈1中产生的磁链匕2,即：匕2=M12'I，M12—一线圈2与1的互感。由于磁场耦合作用，每个线圈的磁链不仅与线圈本身的电流有关，也和与之耦合的线圈电流有关，即中=f(',i)及中=f(',i)1112及2212由于线圈周围磁介质为非铁磁性物质，上两式均为线性的，即磁链是电流的线性函数。结论：①互感系数：只要磁场的介质是静止的，根据电磁场理论可以证明M12=M21，所以，统一用M表示，简称互感，其SI单位：亨利（H）。互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。互感的大小不仅与两线圈的匝数、形状及尺寸有关，还与两线圈的相对位置有关。如果两线圈使其轴线平行放置，则相距越近，互感便越大，反之越小。而两线圈轴线相互垂直，如图所示在这种情况下，线圈1产生的磁力线几乎不与线圈2相交链，互感磁链接近零，所以互感接近零。耦合系数：一对耦合线圈的电流产生的磁通只有部分磁通相交链，而彼此不交

链的那一部分磁通称为漏磁通。表征耦合线圈的紧密程度，用耦合系数k表示，其定义为k=—VL1L20WkW链的那一部分磁通称为漏磁通。表征耦合线圈的紧密程度，用耦合系数k表示，其定义为k=—VL1L20WkW1线圈1、2同时分别有电流，1和‘2时，线圈1、2的总磁链可以看作是，1和‘2单独作用时磁链的叠加。取电流和磁通的参考方向符合右手螺旋法则，电压和电流为关联参考方向，则两个耦合线圈的磁链可表示为中=中+中=Li+Mi1111211.2.当自感磁链和互感磁链参考方向一致1时，线圈的磁链是增强的，M前面取的是“+”号;当自感磁链和互感磁链参考方向相反时，线圈的磁链是减弱的，M前面取的是“一”号。二・同名端（dottedterminals）同名端定义：当'^22在耦合线圈中产生的磁场方向一致时，即线圈的总磁链是增强的，电流'1和‘2流入（或流出）的两个端钮称为同名端。同名端标注的原则：当两电感元件电流参考方向都是由同名端进入（或流出）元件时，互感为正。同名端标注的符号：用一对“•”或“*”、“△”标记。两个耦合线圈的同名端可以根据线圈绕向和相对位置来判别，也可以通过实验方法确定。两个耦合线圈的同名端确定之后，便可用图（b）所示的电路模型来表示。例电路如图所示，试确定开关S打开瞬间，22'间电压的实际极性。解：假定'及电压u根据同名端原则可得当开关S打开瞬间diM的参考方向如图所示，d解：假定'及电压u根据同名端原则可得当开关S打开瞬间dium=M-^正值电流减小，即dt<0,所以um<0,其极性与假设极性相反，所以，22'间的电压的实际极性是2'为高电位端，2为低电位端。三.互感电压（mutualinductancevoltage）忽略互感线圈的内阻后，线圈1对线圈2的互感电压可表示为u21dwu2121dt

（a）（b）选择互感电压与互感磁链的参考方向符合右手螺旋法则，如图所示，则上式为U21dwU2121dt因为E>0一虹>0一edtdt21因为Ev0一虬v0一edtdt21当电流为正弦交流量时，互感电压用相量表示为式中Xm式中Xm=roM称为互感电抗，单位：欧姆。结论：①互感电压的方向与两耦合线圈的实际绕向有关。②互感电压与产生该电压的电流的参考方向对同名端一致（即相关联）时，互感电压取正，不一致（非关联）时为负。4.2含有耦合电感的正弦电流电路(sinusoidalcurrentcircuitwithcoupledinductors)互感电路：含有耦合电感的电路。（简称互感电路）的正弦稳态计算可采用相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感电压和互感电压叠加而成的。根据电压，电流的参考方向及耦合电感的同名端确定互感电压的正、负是互感电路分析计算的难点。由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还和与之有耦合支路的电流有关，所以互感电路的分析计算一般采用支路电流法或网孔电流法。一.耦合电感的串联（seriesconnectionofcoupledinductors）耦合电感的串联联接有两种方式：顺向串联和反向串联。顺向串联(b)①电路图及方程：耦合电感的顺向串联是异名端相接，如图（a）所示。电流是从两电感的同名端流入（或流出），其线圈磁链是增强的。(b)（a）按图示参考方向，KVL方程为:U=j®LI"+j^MI=jw(L+M)I111U2=j®L21+j®MI=jw(L2+M)IU=U+U=jw(L+L+2M)I=j®LI其中L=L1+L2+2M1212

②等效（去耦等效）电感：L=L1+L2+2M反向串联电路图及方程：耦合电感的反向串联是同名端相接，如图（a）所示。电流是从一个线圈的同名端流入（或流出），从另一个线圈的同名端流出（或流入），其线圈的磁链是减弱的。(b)（a）按图示的参考方向，(b)（a）按图示的参考方向，KVL方程为:U]=j叫广―j®MI=jw（L1-M）IU2=j®L21-j^MI=jw（L2—M）IU=U+U=jw（L+L-2M）I=j®LI其中L=L]+L2—2M1212②等效（去耦等效）电感：L=L1+L2-2M注意：去耦后，耦合电感支路等效为（L「M）和（L2-M）,这两者其中之一有可能为负值。但其耦合等效电感L不可能为负（因为有L]+L2>2M）。二.耦合电感的并联（parallelconnectionofcoupledinductors）耦合电感的并联也有两种方式：同侧并联和异侧并联。同侧并联所示。(b)①电路图及方程：耦合电感的同侧并联是两个同名端连接在同一个节点上，如图（a）（a）在正弦稳态情况下，按图示的参考方向有U=j叫4+jwMI^U=j叫J+jwM/]因为'=4+「2，所以上两式可写成，一U=jwMI+jw（L]-M）11'U=jwMI+jw（L-M）12由上式得到去耦等效电路如图（b）2所示。注意去耦等效之后原电路中的节点A的对应点为图（b）中的A点而非A'点。所示。(b)②等效（去耦等效）电感:LL②等效（去耦等效）电感:LL-M2

L=——匕+L2-2M由图(b)电路可求出等效阻抗为z=j,m,由图(b)电路可求出等效阻抗为z=j,m,j叫—M)-j硕A—M)=j.LL-M2)j应j硕L-M)+j«(L2-M)L+L2-2M/示o可以证明，只要改变同侧并联电路图（b）中M前符号就是其等效电路，如图（b）所/示oTLL-M2L=1―2②等效（去耦等效）电感：Li+L2+2M耦合电感的两个线圈有一个端钮相连接时耦合电感的两个线圈虽然不是并联，但它们有一个端钮相连接，即有一个公共端，去耦法仍然适用，仍然可以把有耦合电感的电路化为去耦后的等效电路。如图（a）所示。由图（a）可得U13U23由于1=4+<所以上式可写成-U13=jw（L1-M）I]+jwMI]U23=jw（L-M）12+jwMI由上式可得去耦等效电路如图（b）所示。如改变图（a）中耦合线圈同名端的位置，如下图（a）同样可推导其去耦等效电路如下图（b）o

三.含耦合电感电路的一般计算方法(analysismethodscircuitwithcoupledinductors)在计算含有耦合电感的正弦电流电路时，采用相量表示电压、电流，则前面介绍的相量法仍然适用。但由于某些支路具有耦合电感，这些支路的电压不仅与本支路的电流有关，同时还与那些与之有耦合关系的支路电流有关，因而象阻抗串并联公式、节点电压法等不便直接应用。而以电流为未知量的支路电流法、网孔电流法则可以直接应用，因为互感电压可以直接计入KVL方程中。例已知图中，L1=1H，L2=2H，M=0.5H，R1=R2=1KQ，试求电路中电流，及耦合系数K。u=100sin200兀tV解：支路的阻抗为Z=7?i+7?2+Jco(Z1+Z2—2M)=2000+J40OxQ.u=100sin200兀tV所以i=己=42^3/-32.FU=10Z0。V,R=R=3Q,roL1121所以i=己=42^3/-32.FU=10Z0。V,R=R=3Q,roL1121耦合系数为例=roLi=42.3sin(200兀t-32.1。)A7M0.5k==「=0.354X：LL<2'12电路如图所示，=4。,roM=2Q，试求开路电压"2。2解法一：由题意知12一0根据图示电路的参考方向可得.M=(&+仙匕1)11+i・・・・=j9叫1+(拓+枝4)&+%解得

4=—=10^T=■-53.1七Ai+JoZi3+j4U2=.10.^1+^!=j5x2Z-53.1Q+10210：=〔.4/10.3。y解法二：原电路的去耦等效电路如图(b)所示/.%=—视2^i+joj[Zii+M.J+jojL-M)=史纹10/0°4.3理想变压器(idealtransformer)一.理想变压器模型3(idealtransformermodel)理想变压器几个参数i）K=1理想变压器几个参数i）K=1.理想变压器特性一（ideal.理想变压器特性一（ideal理想变压器：是无记忆性，输能量的元件。ui+ui=0因为1122理想变压器的变阻抗：

原边的入端阻抗为••

丁UnUZ==2.iI1-Lin2ii）Ni、N2为原边、副边的匝数iii）n=N「「N2（常量），理想变压器的变比理想变压器方程按图（a）中所示的同名端及电压、电流参考方向原、副边电压和电流关系为u=nu，'—1"1n2J变压器的理想化条件：「K=1L1、L2和M均为无限大I=n采用的措施:广芯子用磁导率H很高的磁性材料J保持匝数比N"不变情况下，尽可能增加匝数采用的措施:使K接近于1,即尽量紧密耦合transformermodel）无动态过程，无损元件。理想变压器是一个变换信号和传U=n2(-^^)=n2ZIL2理想变压器输出端口接有阻抗Z［，则输入端口的入端阻抗（折合到原边）为n2气=1Q,R2=1Q,R2=50Q,"S=10sin101V求u例图（a）理想变压的匝数比为1：10及解法一：用回路电流法，根据图（a）可得&+尊1=理想变压器的电压、电流关系为10U-…解得u=-—^s=—33.3sin(10t)V解法二：用阻抗变换法，等效电路如图（b）所示。解得兄勺=/彘=击区50=0.5Qu=缉——u=—uR+RS3S1绍1u=——u=——un13S・u=-33.3sin(10t)V..24.4串联谐振(seriesresonance)谐振：端口电流与外加电压同相的现象。谐振电路：发生谐振的电路。谐振条件：使谐振发生的条件。谐振的实际意义：①在无线电工程中广泛的应用在电力系统中应避免，谐振可能会破坏系统正常工作。.RLC串联电路的谐振条件（conditionofseriesresonanceonRLCseriescircuit）串联谐振：RLC串联电路中发生的谐振。谐振的条件如图RLC串联电路中，电路的阻抗为1一,Z=R+j(roL—r)=R+j(Xl-Xc)=R+jX=|Z|Z甲发生串联谐振时阻抗的虚部为零joj-Z+房一1发生串联谐振时阻抗的虚部为零joj-Z+房一1八「yI①L—0即1m口=0或杯谐振角频率和谐振频率（固有频率）分别为1①.——0心f=—=02rLC结论：谐振频率由电路结构参数决定。RLC串联电路的谐振频率由L、C决定，与R无关。串联谐振电路的特点ofseriesofseriesresonanceonRLCseriescircuit)谐振时电路的特点阻抗为最小值（Z=R），"阻抗为最小值（Z=R），"Uc=QU电流为最大值（10=UR）特性阻抗P和品质因数QT1p=口L=0Q=空1RcoLI_UURi—UR=UQ=里R品质因数Q的定义：为了维持谐振电路中的电磁振荡，激励源必须不断供给能量以补偿电路中电阻损耗的能量。与谐振电路所储存电磁场总能量相比，每振荡一次电路消耗能量愈减少，即维持一定能量的振荡所需功率愈小（Q愈大），则振荡电路的“品质”愈好。因此Q的定义为2kfLcoLI_UURi—UR=U2kfL_cdL

R—RQ=2兀x—-——=2兀x谐振时一周期内电路中损耗能量T1..TX—RI2过电压现象：Q>>1时，在电感和电容两端出现大大高于外施电压〃的高电压的现象。实际电路的Q值可达200〜500，甚至更高。串联谐振电路中的磁场能量和电场能量RLC串联电路中储存能量的总和为设谐振时外加电压为u=克Usin°0'V，•uU.则有i=v2rsinrot=、21sinrotA

克Icosrot=-72QUcosrotV又因为所以=w;2U—^—sin(wt-90)=-0则有克Icosrot=-72QUcosrotV又因为所以___11_W——L(、21sinrot)2+—C(一气2QUcosrot)2—LI2sin2①t+CQ2U2cos2①t1—LI2—CQ2U2=-CUc—常量结论：磁场能量和电场能量的总和为一常数。即：在电感和电容之间，周期性地进行着磁场能量与电场能量的交换。例串联谐振电路如图所示，已知L=500口H,C=2000pF,Q=50，电源电压有效值U=100mV，试求电路的谐振频率f0，谐振时的电流I和电容上的电压"解：4=一=—丁]=0.159MHz2%\1LC27r^500xl0-3x2000xl0~12R=Q谐振时的电流500X10-6

50|/2000X10-12=1R=Q谐振时的电流皿10x10-31=飞=—To—=1独谐振时电容上的电压UC=QUS=50X10X10-3=0.5V三.频率特性和电流谐振曲线(frequencycharacteristicandcurrent-resonantcurve)频率特性：电压、电流、阻抗和幅角、电抗等与频率的关系。Uc与刃的关系曲线。谐振曲线：I、Ul1.电抗的频率特性X=X-X2.电流谐振曲线I=U=uR:谐振电//0I刃L'、R/―0-谐振曲线：I、Ul1.电抗的频率特性X=X-X2.电流谐振曲线I=U=uR:谐振电//0I刃L'、R/―0-/—)2/CR10I1J刃刃0■1+Q2(\一一1)2①①U■1+Q2(流；R.1+Q2(1n=—刃。：相对频率，即电源频率与谐振频率之比。图示谐振曲线称为通用谐振曲线。可见：输出具有选择性。门=1(谐振点)时，曲线出现高峰，输出为最大。门＜1和门＞1时，输出逐渐下降，随门一0和门一8而下降为零。选择性：对偏离谐振点的输出有抑制能力，在谐振频率附近频域内有较大幅度的输出。电路选择性的优劣取决于对非谐振频率输入信号的抑制能力。滤波性质：谐振电路的这种只允许一定范围频率的电流信号通过的性质。通频带：通频宽度，又称带宽。它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。一般规定，以通用曲线上—=L=0.70710侦2综上分析，品质因数Q值越大，电流比就下降得越多，电路的通频带越窄，表明电路对不是谐振角频率的电流具有较强的抑制能力，即选择性较好；反之，品质因数。值很小，则在谐振点附近电流变化不大，选择性很差。Q值称为品质因数即来源与此。4.5并联谐振(parallelresonance)串联谐振电路适合于激励源内阻很小的情况，如果激励源的内阻很大，采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因数，使电路的选择性变坏。此时应采用并联谐振电路。一.RLC并联谐振的谐振条件resonanceonRLCparallelcircuit)并联谐振：RLC并联电路中发生的谐振。谐振的条件如图RLC并联电路中，电路的导纳为resonanceonRLCpara